2.2 直线的位置关系
\(\mathbf{{\large {\color{Red} {欢迎到学科网下载资料学习}} } }\)【高分突破系列】 高二数学上学期同步知识点剖析精品讲义!
\(\mathbf{{\large {{\color{Red} {跟贵哥学数学,so \quad easy!}} }}}\)
选择性必修第一册同步拔高,难度3颗星!
模块导图
![](https://cdn.nlark.com/yuque/0/2022/png/21447551/1641971885058-1bff8c4f-258a-42db-b5f0-48fb91dbe508.png )
知识剖析
1两直线的位置关系
![](https://cdn.nlark.com/yuque/0/2022/png/21447551/1641972232635-eda094ff-c6f1-43db-b3de-3b24dfbfe560.png )
\({\color{Red}{解释}}\)
对于两条不重合的直线\(l_1\),\(l_2\),其斜率存在时分别为\(k_1\),\(k_2\),
则有\(l_1 // l_2 ⇔k_1=k_2\)或\(l_1\),\(l_2\)的斜率都不存在.
有\(l_1⊥ l_2⇔k_1⋅ k_2=-1\)或\(k_1=0\)且\(l_2\)的斜率不存在或\(k_2=0\)且\(l_1\)的斜率不存在.
2 线段的中点坐标公式
若点\(P_1\),\(P_2\)的坐标分别是\((x_1 ,y_1)\),\((x_2 ,y_2)\), 则线段\(P_1 P_2\)中点坐标为\(M\left(\dfrac{x_{1}+x_{2}}{2}, \dfrac{y_{1}+y_{2}}{2}\right)\).
3 常见的直线系方程
平行于直线\(Ax+By+C=0\)的直线系方程\(Ax+By+C_0=0(C≠C_0)\);
垂直于于直线\(Ax+By+C=0\)的直线系方程\(Bx-Ay+C_0=0\);
过两条已知直线\(l_1:A_1 x+B_1 y+C_1=0\)和\(l_2:A_2 x+B_2 y+C_2=0\)交点的直线系方程
\(A_1 x+B_1 y+C_1+λ(A_2 x+B_2 y+C_2 )=0\);
(\(λ∈R\), 这个直线系下不包括直线\(l_2:A_2 x+B_2 y+C_2=0\),解题时注意检验\(l_2\)是否满足题意)
4 对称性问题
(1)点关于点的对称
点\(P(x_0 ,y_0)\)关于\(A(a ,b)\)的对称点为\(P'(2a-x_0 ,2b-y_0)\);
(2)点关于直线的对称
设点\(P(x_0 ,y_0)\)关于直线\(l:y=kx+b\)的对称点为\(P'(x' ,y')\)
则有\(\left\{\begin{array}{c}
\dfrac{y^{\prime}-y_{0}}{x^{\prime}-x_{0}} \cdot k=-1 \\
\dfrac{y^{\prime}+y_{0}}{2}=k \cdot \dfrac{x^{\prime}+x_{0}}{2}+b
\end{array}\right.\)可求出\(x'\),\(y'\),从而得到点\(P'\).
(直线\(l\)是线段\(PP'\)的垂直平分线,则\(k_{P P^{\prime}} \cdot k=-1\),\(PP'\)的中点\(\left(\dfrac{x^{\prime}+x_{0}}{2}, \dfrac{y^{\prime}+y_{0}}{2}\right)\)在直线\(l\)上)
(3)直线关于直线的对称
\((i)\)若已知直线\(l_1\)与对称轴\(l\)相交于点\(P\),则与\(l_1\)对称的直线\(l_2\)过点\(P\),再求出直线\(l_1\)上一点\(P_1\)关于对称轴\(l\)的对称点\(P_2\),则由点\(P\)与\(P_2\)可求出直线\(l_2\)的方程;
\((ii)\)若已知直线\(l_1\)与对称轴\(l\)平行,求与已知直线\(l_1\)关于对称轴\(l\)对称的直线\(l_2\),利用直线\(l_1\)、\(l_2\)到直线\(l\)的距离相等便可求.(方法其实多样,大致均可转化为点关于直线对称问题)
经典例题
【题型一】 直线的位置关系的判断
【典题1】已知\(l_1:x+my+6=0\),\(l_2:(m-2)x+3y+2m=0\),分别求\(m\)的值,使得\(l_1\)和\(l_2\):\((1)\)垂直;\((2)\)平行;\((3)\)重合;\((4)\)相交.
【解析】(1)若\(l_1\)和\(l_2\)垂直,
\({\color{Red}{方法1 }}\)把直线化为斜截式,由斜率\(k_1\cdot k_2=-1\)求解
当\(m=0\)时,\(l_1:x=-6\),\(l_2:-2x+3y=0\),显然不满足题意;
\({\color{Red}{ (注意斜率不存在的情况)}}\)
当\(m≠0\)时,\(k_{1}=-\dfrac{1}{m}\),\(k_{2}=\dfrac{m-2}{3}\),则\(-\dfrac{1}{m} \cdot \dfrac{m-2}{3}=-1\),解得\(m=\dfrac{1}{2}\);
\({\color{Red}{方法2 }}\)从一般式来看,可得\(1\cdot (m-2)+3\cdot m=0\),\(\therefore m=\dfrac{1}{2}\);
(2)若\(l_1\)和\(l_2\)平行,则\(\dfrac{m-2}{1}=\dfrac{3}{m} \neq \dfrac{2 m}{6}\), \({\color{Red}{ (也可如(1)化为斜截式求解)}}\)
\(\therefore\left\{\begin{array}{l}
m^{2}-2 m-3=0 \\
m \neq \pm 3
\end{array}\right.\)解得\(m=-1\),
(3)若\(l_1\)和\(l_2\)重合,则\(\dfrac{m-2}{1}=\dfrac{3}{m}=\dfrac{2 m}{6}\),\(∴m=3\),
(4)若\(l_1\)和\(l_2\)相交,则由(2)(3)可知\(m≠3\)且\(m≠-1\).
【点拨】 判定直线的位置,有斜截式和一般式两种角度;由斜截式判定时,要注意直线斜率是否存在;由一般式判定时,切记不要死记结论.
【典题2】顺次连接\(A(-4 ,3)\)、\(B(2 ,5)\)、\(C(6 ,3)\)、\(D(-3 ,0)\),所组成的图形是( )
A.平行四边形 \(\qquad \qquad\) B.直角梯形 \(\qquad \qquad\) C.等腰梯形 \(\qquad \qquad\) D.以上都不对
【解析】\({\color{Red}{(要判断四边形形状,需要判断各边的位置关系,可从直线斜率入手) }}\)
\(AB\)的斜率为\(\dfrac{5-3}{2+4}=\dfrac{1}{3}\),\(CD\)的斜率为\(\dfrac{3-0}{6+3}=\dfrac{1}{3}\),
则\(k_{A B}=k_{C D}\),故\(AB||CD\);
由\(AD\)的斜率为\(\dfrac{3-0}{-4+3}=-3\)得\(k_{A D} \cdot k_{A B}=-1\),则\(AB⊥AD\);
由\(BC\)的斜率为\(\dfrac{5-3}{2-6}=-\dfrac{1}{2}\)得\(k_{A D} \neq k_{B C}\),则\(AD\)与\(BC\)不平行,
故四边形为直角梯形,故选\(B\).
【典题3】已知\(|m|<1\),直线\(l_1:y=mx+1\),\(l_2:x=-my+1\),\(l_1\)与\(l_2\)相交于点\(P\),\(l_1\)交\(y\)轴于点\(A\),\(l_2\)交\(x\)轴于点\(B\)
(1)证明:\(l_1⊥l_2\);
(2)用\(m\)表示四边形\(OAPB\)的面积\(S\),并求出\(S\)的最大值.
【解析】(1)当\(m=0\)时,直线\(l_1:y=1\),\(l_2:x=1\),显然有\(l_1⊥l_2\);
\({\color{Red}{ (确定l_2是否一定存在斜率) }}\)
当\(m≠0\)时,\(l_1\)与\(l_2\)的斜率分别为\(m\),\(\dfrac{1}{-m}\),斜率之积\(m \cdot \dfrac{1}{-m}=-1\),故\(l_1⊥l_2\).
综上,\(l_1⊥l_2\).
(2)由题意知,\(A(0 ,1)\),\(B(1 ,0)\),
由\(l_1\)与\(l_2\)相的方程联立方程组\(\left\{\begin{array}{c}
y=m x+1 \\
x=-m y+1
\end{array}\right.\),
解得点\(P\left(\dfrac{1-m}{1+m^{2}}, \dfrac{1+m}{1+m^{2}}\right)\),
因\(|m|<1\),故点\(P\)在第一象限,
\({\color{Red}{ (注意这点,否则图不准确,导致四边形OAPB判断出错) }}\)
则\(|P A|=\sqrt{\left(\dfrac{1-m}{1+m^{2}}\right)^{2}+\left(\dfrac{1+m}{1+m^{2}}-1\right)^{2}}=\dfrac{1-m}{\sqrt{1+m^{2}}}\),
\(|P B|=\sqrt{\left(\dfrac{1-m}{1+m^{2}}-1\right)^{2}+\left(\dfrac{1+m}{1+m^{2}}\right)^{2}}=\dfrac{1+m}{\sqrt{1+m^{2}}}\),
由(1)可知\(PA⊥PB\),
\(\therefore S_{\triangle A P B}=\dfrac{1}{2}|P A| \cdot|P B|=\dfrac{1-m^{2}}{2\left(1+m^{2}\right)}\),
\(\therefore S_{\text {四边形 } O A P B}=S_{O A B}+S_{\triangle A P B}=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1-m^{2}}{2\left(1+m^{2}\right)}=\dfrac{1}{1+m^{2}}\),
故\(m=0\)时,\(S\)有最大值为\(1\).
【点拨】 谨记\(l_1 // l_2 ⇔k_1=k_2\),\(l_1⊥ l_2⇔k_1⋅ k_2=-1\)成立的前提是直线斜率\(k_1\),\(k_2\)存在,若不确定要分类讨论.
巩固练习
1(★)若\(l_1\)与\(l_2\)为两条不重合的直线,它们的倾斜角分别为\(a_1\),\(a_2\),斜率分别为\(k_1\),\(k_2\),则下列命题
(1)若\(l_1∥l_2\),则斜率\(k_1=k_2\);
(2)若斜率\(k_1=k_2\),则\(l_1∥l_2\);
(3)若\(l_1∥l_2\),则倾斜角\(a_1=a_2\);
(4)若倾斜角\(a_1=a_2\),则\(l_1∥l_2\);
其中正确命题的个数是 \(\underline{\quad \quad}\) .
2(★)已知直线\(l_1:x+2ay-1=0\),与\(l_2:(2a-1)x-ay-1=0\)平行,则\(a\)的值是\(\underline{\quad \quad}\) .
3(★)三条直线\(l_1:x-y=0\),\(l_2:x+y-2=0\),\(l_3:5x-ky-15=0\)构成一个三角形,则\(k\)的取值范围是\(\underline{\quad \quad}\) .
4(★)已知直线\(l_1:mx+4y-2=0\)与\(l_2:2x-5y+n=0\)互相垂直,其垂足为\((1 ,p)\),则\(m+n-p\)的值为\(\underline{\quad \quad}\) .
5(★)直线\(l\)过点\(A(3 ,4)\)且与点\(B(-3 ,2)\)的距离最远,那么\(l\)的方程为\(\underline{\quad \quad}\) .
6(★★)[多选题] 已知等腰直角三角形\(ABC\)的直角顶点为\(C(3 ,3)\),点\(A\)的坐标为\((0 ,4)\),则点\(B\)的坐标为( )
A.\((2 ,0)\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) B.\((6 ,4)\)\(\qquad \qquad \qquad \qquad\) C.\((4 ,6)\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) D.\((0 ,2)\)
7(★★★)在\(△ABC\)中,已知\(M(1 ,6)\)是\(BC\)边上一点,边\(AB\),\(AC\)所在直线的方程分别为\(2x-y+7=0\),\(x-y+6=0\).
(1)若\(AM⊥BC\),求直线\(BC\)的方程;
(2)若\(|BM|=|CM|\),求直线\(BC\)在\(x\)轴上的截距.
参考答案
1.\(4\)
2.\(0\)或\(\dfrac{1}{4}\)
3.\(k∈R\)且\(k≠±5\),\(k≠-10\)
4.\(0\)
5.\(3x+y-13=0\)
6.\(AC\)
7.\((1) 2x+y-8=0\)\(\text { (2) } \dfrac{19}{5}\)
【题型二】对称问题
【典题1】已知直线\(y=2x\)是\(△ABC\)中\(∠C\)的平分线所在的直线,若点\(A\)、\(B\)的坐标分别是\((-4 ,2)\),\((3 ,1)\),则点\(C\)的坐标为\(\underline{\quad \quad}\) .
【解析】
\({\color{Red}{(直线y=2x是角平分线,意味直线AC与BC关于y=2x对称) }}\)
设\(A(-4 ,2)\)关于直线\(y=2x\)的对称点为\(A'(x ,y)\),
则\(\left\{\begin{array}{l}
\dfrac{y-2}{x+4} \times 2=-1 \\
\dfrac{y+2}{2}=2 \times \dfrac{-4+x}{2}
\end{array}\right.\)\((*)\),解得\(\left\{\begin{array}{l}
x=4 \\
y=-2
\end{array}\right.\),即\(A'(4 ,-2)\).
\({\color{Red}{(这是点关于直线对称的问题,理解到直线y=2x是AA'的垂直平分线易得(*)式)}}\)
\(∴\)直线\(BA'\)方程为\(y-1=\dfrac{-2-1}{4-3}(x-3)=-3(x-3)\),
化为\(3x+y-10=0\). \({\color{Red}{(点A'在直线BC上) }}\)
联立\(\left\{\begin{array}{l}
3 x+y-10=0 \\
y=2 x
\end{array}\right.\),解得\(\left\{\begin{array}{l}
x=2 \\
y=4
\end{array}\right.\),可得\(C(2 ,4)\).
(对称轴\(y=2x\)与直线\(BC\)的交点就是点\(C\))
【点拨】 建议通过画图去理解它们之间的关系,在图中你能更容易发现一些隐含信息.
【典题2】如图已知\(A(4 ,0)\)、\(B(0 ,4)\)、\(O(0 ,0)\),若光线\(L\)从点\(P(2 ,0)\)射出,直线\(AB\)反射后到直线\(OB\)上,在经直线\(OB\)反射回原点\(P\),则光线\(L\)所在的直线方程为\(\underline{\quad \quad}\) .
【解析】由题意知直线\(AB\)的方程为\(y=-x+4\),
设光线分别射在\(AB\)、\(OB\)上的\(M、N\)处,
\({\color{Red}{ (本题就是求直线PM方程,只要求出点M便可)}}\)
由于光线从点\(P\)经两次反射后又回到\(P\)点,
根据反射规律,则\(∠PMA=∠BMN\),\(∠PNO=∠BNM\).
\({\color{Red}{(反射问题,当然想到入射角相等,数学上是对称问题) }}\)
作出点\(P\)关于\(OB\)的对称点\(P_1\),作出点\(P\)关于\(AB\)的对称点\(P_2\),
则\(∠P_2 MA=∠PMA=∠BMN\),\(∠P_1 NO=∠PNO=∠BNM\),
\(∴P_1\),\(N\),\(M\),\(P_2\)共线, \({\color{Red}{(通过平几知识得到四点共线) }}\)
易得点\(P\)关于\(y\)轴的对称点\(P_1 (-2 ,0)\),
\(∵OA=OB=4\),\(∴∠P_2 AB=∠PAB=45°\),
\(∴P_2 A⊥OA\),\(∴P_2\)的横坐标为\(4\),
由对称性可知\(P_2 A=PA=2\),可得\(P_2\)的纵坐标为\(2\),
\(∴P_2 (4 ,2)\),
\({\color{Red}{ (求P_2的坐标常规方法是点关于直线对称的套路,但有时通过细致的观察,不走寻常路更容易得到你想要的,}}\)
\({\color{Red}{ 要善于思考、观察)}}\)
\(∴\)直线\(PP_2\)方程\(\dfrac{y}{x+2}=\dfrac{2}{4+2}\),即\(x-3y+2=0\),
联立\(\left\{\begin{array}{l}
x-3 y+2=0 \\
x+y-4=0
\end{array}\right.\),得\(x=\dfrac{5}{2}\),\(y=\dfrac{3}{2}\),则\(M\left(\dfrac{5}{2}, \dfrac{3}{2}\right)\),
\(∴\)直线\(P M: \dfrac{y}{x-2}=\dfrac{\dfrac{3}{2}}{\dfrac{5}{2}-2}\),
即光线\(L\)所在的直线方程为\(y=3x-6\).
【点拨】 反射问题的本质还是对称问题,平时处理一类问题中在掌握通法的同时也要注意“巧法”,根据题目的特殊性多思考与观察!
【典题3】已知\(O\)为坐标原点,倾斜角为\(\dfrac{2 \pi}{3}\)的直线\(l\)与\(x\),\(y\)轴的正半轴分别相交于点\(A\),\(B\),\(△AOB\)的面积为\(8 \sqrt{3}\).
(1)求直线\(l\)的方程;
(2)直线\(l^{\prime}: y=-\dfrac{\sqrt{3}}{3} x\),点\(P\)在\(l'\)上,求\(|PA|+|PB|\)的最小值.
【解析】(1)由题意可得:直线\(l\)的斜率\(k=\tan \dfrac{2 \pi}{3}=-\sqrt{3}\),
设直线\(l\)的方程为\(y=-\sqrt{3} x+b\).
可得直线\(l\)与坐标轴的正半轴交点为\(A\left(\dfrac{\sqrt{3}}{3} b, 0\right)\),\(B(0 ,b)\),其中\(b>0\).
\(\therefore S_{\triangle O A B}=\dfrac{1}{2} \times \dfrac{\sqrt{3}}{3} b \times b=8 \sqrt{3}\),解得\(b=4 \sqrt{3}\),
\(∴\)直线\(l\)的方程为\(y=-\sqrt{3} x+4 \sqrt{3}\).
(2)由(1)可得\(A(4 ,0)\),\(B(0,4 \sqrt{3})\),
\({\color{Red}{ (求|PA|+|PB|的最小值是“将军饮马”问题,则要求点A或B关于直线l'的对称点)}}\)
设点\(A\)关于直线\(l'\)的对称点\(A'(m ,n)\),
则\(\left\{\begin{array}{l}
\dfrac{n-0}{m-4}=\sqrt{3} \\
\dfrac{n}{2}=-\dfrac{\sqrt{3}}{3} \cdot \dfrac{m+4}{2}
\end{array}\right.\),解得\(\left\{\begin{array}{l}
m=2 \\
n=2 \sqrt{3}-4
\end{array}\right.\),
\(\therefore A^{\prime}(2,2 \sqrt{3}-4)\).
\(∵|PA|+|PB|=|PA'|+|PB'|\),
\(∴\)当\(A'\),\(B\),\(P\)三点共线时,\(|PA|+|PB|\)取得最小值.
\(\therefore(|P A|+|P B|)_{\min }=\left|A^{\prime} B\right|=4 \sqrt{2+\sqrt{3}}\)
\(=2 \sqrt{2} \cdot \sqrt{4+2 \sqrt{3}}=2 \sqrt{2} \cdot \sqrt{(\sqrt{3}+1)^{2}}=2(\sqrt{2}+\sqrt{6})\).
\({\color{Red}{(对于形如\sqrt{a+b \sqrt{c}}式子的化简也是运算基本功) }}\)
【点拨】 在解析几何中最值问题也是常见的题型,你试试设点\(P(m,n)\)用函数的方法求解,感受下与本题的几何法比较.我们最好熟悉更多的模型,比如“将军饮马”,它在本题利用点关于直线对称处理了!后面我们在圆的方程、圆锥曲线中也会有.
巩固练习
1(★)原点关于\(x-2y+1=0\)的对称点的坐标为\(\underline{\quad \quad}\) .
2(★)已知点\(A(1 ,2)\)、\(B(3 ,1)\),则线段\(AB\)的垂直平分线的方程是\(\underline{\quad \quad}\) .
3(★)入射光线沿直线\(x-2y+3=0\)射向直线\(l:y=x\),被\(l\)反射后的光线所在直线的方程是\(\underline{\quad \quad}\) .
4(★)已知\(△ABC\)的顶点\(A(1 ,2)\),\(AB\)边上的中线\(CM\)所在的直线方程为\(x+2y-1=0\),\(∠ABC\)的平分线\(BH\)所在直线方程为\(y=x\),则直线\(BC\)的方程为\(\underline{\quad \quad}\) .
5(★★)已知\(A(3 ,0)\),\(B(0 ,3)\),从点\(P(0 ,2)\)射出的光线经\(x\)轴反射到时直线\(AB\)上,又经过直线\(AB\)反射回到时P点,则光线所经过的路程为\(\underline{\quad \quad}\) .
6(★★)已知直线\(l\)经过点\(P(6 ,4)\),斜率为\(k\)
(1)若\(l\)的纵截距是横截距的两倍,求直线\(l\)的方程;
(2)若\(k=-1\),一条光线从点\(M(6 ,0)\)出发,遇到直线\(l\)反射,反射光线遇到\(y\)轴再次放射回点\(M\),求光线所经过的路程.
7(★★)在直线\(l:3x-y-1=0\)上求一点\(P\),使得:
(1)\(P\)到\(A(4 ,1)\)和\(B(0 ,4)\)的距离之差最大;
(2)\(P\)到\(A(4 ,1)\)和\(C(3 ,4)\)的距离之和最小.
参考答案
1.\(\left(-\dfrac{2}{5}, \dfrac{4}{5}\right)\)
2.\(4x-2y-5=0\)
3.\(2x-y-3=0\)
4.\(2x-3y-1=0\)
5.\(\sqrt{26}\)
6.\((1) 2x-3y=0\)或\(2x+y-16=0\)\(\text { (2) } 4 \sqrt{17}\)
7.\((1) (2,5) \quad (2) \left(\dfrac{11}{7}, \dfrac{26}{7}\right)\)