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2.1 直线的倾斜角与斜率、直线的方程

【高分突破系列】 高二数学上学期同步知识点剖析精品讲义
soeasy

选择性必修第一册同步提高,难度 3 颗星!

模块导图

知识剖析

直线的倾斜角与斜率

1 直线的倾斜角
(1) 定义
当直线 l x 轴相交时,取 x 轴作为基准,x 轴正向与直线 l 向上方向之间所成的角 α 叫做直线 l 的倾斜角.

特别地,当直线 l x 轴平行或重合时,规定 α=0^∘.
(2) 范围
\alpha \in\left[0^{\circ}, 180^{\circ}\right).l x 轴垂直时,α=90^∘.
 

2 直线的斜率
(1) 定义
直线的斜率就是直线倾斜角的正切值,记作 k=\tan α(α≠ 90^∘).
当直线 l x 轴平行或重合时,α=0^∘k=tan 0^∘=0;
当直线 l x 轴垂直时,α=90^∘,k 不存在.
 

(2) 倾斜角 α 与斜率 k 之间的关系
k=\tan αα∈[0^∘ ,180^∘)
如左图,当 α∈[0^∘ ,90^∘) 时,k(α) 是递增的;
右图中斜率为 k_1,k_2 的直线对应的倾斜角为 α_1,α_2,其中 0<\alpha_{2}<\alpha_{1}<\dfrac{\pi}{2},而 k_1>k_2>0
如左图,当 α∈(90^∘ ,180^∘) 时,k(α) 也是递增的;
右图中斜率为 k_3,k_4 的直线对应的倾斜角为 α_3,α_4
其中 \dfrac{\pi}{2}<\alpha_{3}<\alpha_{4}<\pi,而 k_3<k_4<0.
{\color {Red}{(简而言之,斜率大小看倾斜角,直线越陡斜率绝对值 | k | 越大) } }

 

(3) 斜率公式
经过两点 P_1 (x_1 ,y_1),P_2 (x_2 ,y_2)(x_1≠ x_2) 的直线的斜率公式是 k==\dfrac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}.
使用斜率公式的时候要注意 x_1≠ x_2 的前提条件.
 

(4) 求斜率的方法
(1) 已知直线上两点,根据斜率公式 k==\dfrac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}\left(x_{1} \neq x_{2}\right) 求斜率;
(2) 已知直线的倾斜角 α α 的某种三角函数根据 k=\tan α(α≠ 90^∘) 来求斜率.
 

(5) 利用斜率证明三点共线的方法
已知 A(x_1 ,y_1),B(x_2 ,y_2),C(x_3 ,y_3)
x_1=x_2=x_3 k_{AB}=k_{BC},则有 ABC 三点共线.
 

直线的方程

1 直线方程的几种形式

 

2 易错点
(1) 利用点斜式求直线方程时,需要先判断斜率存在与否.
(2) 截距与距离的区别:截距的值有正、负、零。距离的值是非负数.
(3) 用截距式方程表示直线时,要注意方程的条件限制为两个截距均不能为零.
 

经典例题

【题型一】直线的倾斜角与斜率的关系

【典题 1】已知直线过 A(3,m+1),B(4,2m+1) 两点且倾斜角为 \dfrac{5}{6} \pi,则 m 的值为 \underline{\quad \quad} .
【解析】因直线 AB 的倾斜角为 \dfrac{5}{6} \pi,则其斜率 k=\tan \dfrac{5}{6} \pi=-\dfrac{\sqrt{3}}{3}
又由 A(3,m+1),B(4,2m+1)
AB 的斜率 k=\dfrac{(2 m+1)-(m+1)}{4-3}=m
则有 m=-\dfrac{\sqrt{3}}{3}
【点拨】求斜率有两种方法:k=\tan α 与斜率公式 k=\dfrac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}.

 

【典题 2】直线 x+y\cosθ-5=0 的倾斜角 α 的取值范围是 \underline{\quad \quad} .
【解析】
{\color {Red}{ (直线一般式 ax+by+c=0 (b≠0) 化为斜截式可知斜率 k=-\dfrac {a}{b},注意斜率是否存在) } }
\cosθ=0,则直线方程为 x=5,即倾斜角 \alpha=\dfrac{\pi}{2}
\cos \theta \neq 0,则直线方程为 y=-\dfrac{1}{\cos \theta} x+\dfrac{5}{\cos \theta},即 \tan \alpha=-\dfrac{1}{\cos \theta}
∵\cosθ∈[-1 ,0)∪(0 ,1]
\therefore-\dfrac{1}{\cos \theta} \leq-1 -\dfrac{1}{\cos \theta} \geq 1
\tan \alpha \leq-1 \tan \alpha \geq 1,解得 \alpha \in\left[\dfrac{\pi}{4}, \dfrac{\pi}{2}\right) \cup\left(\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{3 \pi}{4}\right]
{\color {Red}{ (结合 y=\tanα 图象可求) } }
综上可得 \alpha \in\left[\dfrac{\pi}{4}, \dfrac{3 \pi}{4}\right].
 

【典题 3】设点 A(2 ,-3)B(-3 ,-2),直线 l 过点 P(1 ,1) 且与线段 AB 相交,则 l 的斜率 k 的取值范围为 \underline{\quad \quad} .
【解析】如图所示,设直线 l 与线段 AB 交于点 C

PC⊥x 轴时直线 l 与线段 AB 交于点 D
当点 C BD 上运动时,斜率 k 满足 k≥k_{PB}
当点 C DA 上运动时,k≤k_{PA}
k \geq \dfrac{1+2}{1+3}=\dfrac{3}{4} k \leq \dfrac{1+3}{1-2}=-4
\therefore k \geq \dfrac{3}{4} k≤-4
即直线的斜率的取值范围是 \left[\dfrac{3}{4},+\infty\right) \cup(-\infty,-4]
【点拨】
① 注意理解直线斜率与倾斜角之间的关系与斜率大小的比较方法,结合图象思考;
② 注意到直线 l x 轴垂直的临界处.
 

巩固练习

1(★) 下列叙述正确的是 (  )
A.平面直角坐标系内的任意一条直线都存在倾斜角和斜率
B.直线倾斜角 α 的取值范围是 0^°≤α<180^°
C.若一条直线的倾斜角为 α(α≠90^°),则此直线的斜率为 \tanα
D.与坐标轴垂直的直线的倾斜角是 0^° 90^°
 

2(★) 若直线经过两点 A(m ,2)B(-m ,2m-1) 且倾斜角为 45°,则 m 的值为 \underline{\quad \quad} .
 

3(★★) 已知在直角坐标系中,等边 △ABC A 与原点重合,若 AB 的斜率为 \dfrac{\sqrt{3}}{2},则 BC 的斜率可能为 \underline{\quad \quad} .
 

4(★★) 已知 θ∈R,则直线 x \sin \theta-\sqrt{3} y+1=0 的倾斜角的取值范围是 \underline{\quad \quad} .
 

5(★★) 直线 l 经过点 A(2,1),B(3,t^2)(-\sqrt{2} \leq t \leq \sqrt{2}),则直线 l 倾斜角的取值范围是 \underline{\quad \quad} .
 

6(★★★) 已知两点 A(-3 ,4)B(3 ,2),过点 P(1 ,0) 的直线 l 与线段 AB 有公共点,则直线 l 的斜率 k 的取值范围是 \underline{\quad \quad} .
 

7(★★★)P(x ,y) 在线段 AB 上运动,已知 A(2 ,4),B(5 ,-2),则 \dfrac{y+1}{x+1} 的取值范围是 \underline{\quad \quad} .
 

参考答案

1.BCD
2.\dfrac{3}{4}
3.-\dfrac{\sqrt{3}}{5}
4.\left[0, \dfrac{\pi}{6}\right] \cup\left[\dfrac{5 \pi}{6}, \pi\right)
5.\left[0, \dfrac{\pi}{4}\right] \cup\left[\dfrac{3 \pi}{4}, \pi\right)
6.[-1,1]
7.\left[-\dfrac{1}{6}, \dfrac{5}{3}\right]

 

【题型二】求直线方程

【典题 1】根据所给条件求直线方程
(1) 直线过点 A(1 ,2),倾斜角 α 的正弦值为 \dfrac{3}{5}
(2) 直线过点 A(1 ,3),且在两坐标轴上的截距之和为 8
(3) 直线过点 A(2 ,4)B(-2 ,8).
【解析】\text { (1) } \because \sin \alpha=\dfrac{3}{5}
\therefore k=\tan \alpha=\pm \dfrac{3}{4}
则直线方程为 y-2=\pm \dfrac{3}{4}(x-1)
{\color {Red}{(已知斜率与一点,采取点斜式) } }
3x-4y+5=0 3x+4y-11=0.
(2)
{\color {Red}{ (x、y 轴上的截距都涉及到,优先考虑截距式) } }
依题意得,直线的横截距、纵截距均不为 0
可设直线方程为 \dfrac{x}{m}+\dfrac{y}{8-m}=1
代入点 A(1 ,3),可得 \dfrac{1}{m}+\dfrac{3}{8-m}=1,解得 m=2 m=4
所以所求直线方程为 \dfrac{x}{2}+\dfrac{y}{6}=1 \dfrac{x}{4}+\dfrac{y}{4}=1
即所求直线方程为 3x+y-6=0 x+y-4=0.
(3) {\color {Red}{(已知直线过两点,可先求出斜率再用点斜式) } }
直线斜率 k=\dfrac{4-8}{2-(-2)}=-1
则所求直线方程为 y-4=-(x-2),整理得 x+y-6=0.
【点拨】
① 求直线方程的时,要注意各种形式的限制条件;
② 往往可以多种方法求解,注意最优解.
 

【典题 2】 如图所示,在平面直角坐标系 xOy 中,已知点 A(0 ,2)B(-2 ,0)C(1 ,0),分别以 ABAC 为边向外作正方形 ABEF ACGH,则点 H 的坐标为 \underline{\quad \quad} ,直线 FH 的一般式方程为 \underline{\quad \quad}
image.png
【解析】
{\color {Red}{ (求点 H 坐标相当求点 H 到 x、y 轴距离,用几何知识点求解;再求出点 H 便可求直线 FH 方程) } }
分别过 HF y 轴的垂线,垂足分别为 MN
四边形 ACGH 为正方形,
∴Rt△AHM≌Rt△CAO,可得 AM=OCMH=OA
∵A(0 ,2)C(1 ,0)
∴MH=OA=2AM=OC=1,可得 OM=OA+AM=3
由此可得 H 坐标为 (2 ,3),同理得到 F(-2 ,4)
直线 FH 的斜率为 k=\dfrac{4-3}{-2-2}=-\dfrac{1}{4}
可得直线 FH 的方程为 y-3=-\dfrac{1}{4}(x-2),化简得 x+4y-14=0
【点拨】根据题意,可知点 FH 是确定的,求出两点坐标再求直线 FH 方程就不难了。本题利用平几知识点求出点 FH 的坐标.
 

巩固练习

1(★) 【多选题】下列说法中,正确的有 (  )
A.过点 P(1 ,2) 且在 xy 轴截距相等的直线方程为 x+y-3=0
B.直线 y=3x-2 y 轴上的截距为 -2
C.直线 x-\sqrt{3} y+1=0 的倾斜角为 60^°
D.过点 (5 ,4) 并且倾斜角为 90^° 的直线方程为 x-5=0
 

2(★)【多选题】下列有关直线 l:x+my-1=0(m∈R) 的说法中不正确的是 (  )
A.直线 l 的斜率为 -m
B.直线 l 的斜率为 -\dfrac{1}{m}
C.直线 l 过定点 (0 ,1)
D.直线 l 过定点 (1 ,0)
 

3(★) 已知直线 mx+3y-12=0 在两个坐标轴上截距之和为 7,则实数 m 的值为 \underline{\quad \quad} .
 

4(★★) 若直线过点 (1 ,1) 且与两坐标轴所围成的三角形的面积为 2,则这样的直线有 \underline{\quad \quad} 条.
 

5(★★) 已知等边 △ABC 的两个顶点 A(0 ,0),B(4 ,0),且第三个顶点在第四象限,则 BC 边所在的直线方程是 \underline{\quad \quad} .
 

参考答案

1.BD
2.ABC
3.4
4.3
5.y=\sqrt{3}(x-4)

 

【题型三】直线方程的综合运用

【典题 1】设直线 l:(3+2λ)x+(4+λ)y-19-6λ=0,(λ∈R)
(1) 求证:直线 l 恒过定点 M,并求出定点 M 坐标;
(2) 若直线 l 在两坐标轴上的截距相等,求直线 l 的方程;
(3) 设直线 l x 轴、y 轴的正半轴交于点 A,B,求当 |MA|\cdot |MB|(点 M 为 (1) 中的定点) 取得最小值时直线 l 的方程.
【解析】(1) 直线方程化为 3x+4y-19+λ(2x+y-6)=0
\left\{\begin{array}{l} 3 x+4 y-19=0 \\ 2 x+y-6=0 \end{array}\right.,解得 \left\{\begin{array}{l} x=1 \\ y=4 \end{array}\right.,则定点 M (1 ,4)
{\color {Red}{ (λ 视为参数,过定点的意思是 "不管 λ 取什么值,方程 3x+4y-19+λ(2x+y-6)=0 均成立",故先把 λ 提取出来,}}
{\color {Red}{ 满足 "0+λ⋅0=0" 这一形式即可,故 \left\{\begin {array}{l} 3 x+4 y-19=0 \\ 2 x+y-6=0 \end {array}\right.) } }
(2) {\color {Red}{ (截距相等,有可能两个截距均为 0,故要分类讨论) } }
当直线过原点时,-19-6λ=0, 则 \lambda=-\dfrac{19}{6}, 此时直线的方程为 4x-y=0
当直线不过原点时,则 3+2λ=4+λ,解得 λ=1
所求直线为 x+y-5=0
综上,直线方程为 4x-y=0 x+y-5=0
(3) 设 A(a ,0)B(0 ,b)(a>0 ,b>0)
{\color {Red}{ 方法 1 } } 则直线 l 的方程可设为 \dfrac{x}{a}+\dfrac{y}{b}=1
又直线 l 过点 M(1 ,4), 则 \dfrac{1}{a}+\dfrac{4}{b}=1
|M A||M B|=\overrightarrow{A M} \cdot \overrightarrow{M B}
{\color {Red}{ (利用数量积 \overrightarrow {A M} \cdot \overrightarrow {M B}=|M A||M B| \cos 0=|M A||M B | 把 “两线段乘积 “变成” 向量坐标 “处理简单多了) } }
=(1-a ,4)(-1 ,b-4)=a+4b-17
=(a+4 b)\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{4}{b}\right)-17{\color {Red}{(基本不等式巧 1 法) } }
=\dfrac{4 b}{a}+\dfrac{4 a}{b} \geq 2 \sqrt{\dfrac{4 b}{a} \cdot \dfrac{4 a}{b}}=8
当且仅当 \dfrac{4 b}{a}=\dfrac{4 a}{b} \dfrac{1}{a}+\dfrac{4}{b}=1,即 a=b=5 时等号成立,
此时直线方程为 x+y-5=0
{\color {Red}{ 方法 2 } } 设直线 l 的倾斜角为 α,由已知可知 \alpha \in\left(\dfrac{\pi}{2}, \pi\right)
如图,|M B|=\dfrac{4}{\sin (\pi-\alpha)}=\dfrac{4}{\sin \alpha}|M A|=\dfrac{1}{\cos (\pi-\alpha)}=-\dfrac{1}{\cos \alpha}

{\color {Red}{(通过图象观察引入变量 α 表示 | MA|\cdot |MB|) } }
|M A||M B|=-\dfrac{4}{\sin \alpha \cdot \cos \alpha}=-\dfrac{8}{\sin 2 \alpha}
\because \alpha \in\left(\dfrac{\pi}{2}, \pi\right)\therefore-1 \leq \sin 2 \alpha<0
显然 \sin2α=-1,即 \alpha=\dfrac{3 \pi}{4} 时,|M A||M B|=-\dfrac{8}{\sin 2 \alpha} 取到最小值 8
此时直线方程为 x+y-5=0
【点拨】处理线段问题还可以用两点距离公式,而本题中 |M A||M B|=\sqrt{1+(a-4)^{2}} \cdot \sqrt{(b-1)^{2}+16},再用消元法处理,计算量很大.
 

【典题 2】如图,将一块等腰直角三角板 ABO 置于平面直角坐标系中,已知 AB=OB=1AB⊥OB,点 P\left(\dfrac{1}{2}, \dfrac{1}{4}\right) 是三角板内一点,现因三角板中部分 (△POB 内部,不含边界) 受损坏,要把损坏的部分锯掉,可用经过 P 的任意一直线 MN 将其锯成 △AMN
(1) 求直线 MN 的斜率的取值范围;
(2) 若 P 点满足 \overrightarrow{M P}=\dfrac{1}{3} \overrightarrow{P N},这样的直线 MN 是否存在,如不存在,请说明理由;若存在,求出此时直线 MN 的方程;
(3) 如何确定直线 MN 的斜率,才能使锯成的 △AMN 的面积取得最大值和最小值?并求出最值.

{\color {Red}{(根据观察图象易得 k_{P A} \leq k_{M N} \leq k_{P B} \Rightarrow-\dfrac {1}{2} \leq k \leq \dfrac {1}{2},但也可以设直线 MN 的方程从而求出点 M、N 的坐标, }} {\color {Red}{ 从而由点 M、N 的限制求出 k_{MN} 的范围) } }
依题意,得 MN 的方程为 y-\dfrac{1}{4}=k\left(x-\dfrac{1}{2}\right),即 y=k x-\dfrac{2 k-1}{4}
因为 AB⊥OB|AB|=|OB|=1
所以直线 OA 的方程为 y=x,直线 AB 的方程为 x=1
联立 \left\{\begin{array}{l} y-\dfrac{1}{4}=k\left(x-\dfrac{1}{2}\right) \\ y=x \end{array}\right.,得 M\left(\dfrac{2 k-1}{4(k-1)}, \dfrac{2 k-1}{4(k-1)}\right)
联立 \left\{\begin{array}{l} y-\dfrac{1}{4}=k\left(x-\dfrac{1}{2}\right) \\ x=1 \end{array}\right.,得 N\left(1, \dfrac{2 k+1}{4}\right)
所以 \left\{\begin{array}{l} 0 \leq \dfrac{2 k-1}{4(k-1)} \leq 1 \\ 0 \leq \dfrac{2 k+1}{4} \leq 1 \end{array}\right.,解得 -\dfrac{1}{2} \leq k \leq \dfrac{1}{2}
所以 k 的取值范围为 \left[-\dfrac{1}{2}, \dfrac{1}{2}\right]
{\color {Red}{(得到 M、N 的坐标,便于求解第二、三问) } }
(2) 若 \overrightarrow{M P}=\dfrac{1}{3} \overrightarrow{P N},可得 \dfrac{1}{2}-\dfrac{2 k-1}{4(k-1)}=\dfrac{1}{3}\left(1-\dfrac{1}{2}\right),解得 k=-\dfrac{1}{2}
所以直线 MN 的方程为 y-\dfrac{1}{4}=-\dfrac{1}{2}\left(x-\dfrac{1}{2}\right)
整理得 x+2y-1=0
(3) 在 △AMN 中,由 (1) 知,
S_{\triangle A M N}=\dfrac{1}{2} \cdot|A N| \cdot h=\dfrac{1}{2}\left[1-\dfrac{2 k+1}{4}\right]\left[1-\dfrac{2 k-1}{4(k-1)}\right]
=\dfrac{1}{32}\left[4(1-k)+\dfrac{1}{1-k}+4\right]
t=1-k \in\left[\dfrac{1}{2}, \dfrac{3}{2}\right]
f(t)=4 t+\dfrac{1}{t}
因为 f(t) \left[\dfrac{1}{2}, \dfrac{3}{2}\right] 是单调递增,
{\color {Red}{(利用对勾函数的性质易得) } }
所以当 t=\dfrac{3}{2} 时,f(t)=\dfrac{20}{3}
即当 1 -k=\dfrac{3}{2},即 k=-\dfrac{1}{2} 时,S_{\max }=\dfrac{1}{32}\left[\dfrac{20}{3}+4\right]=\dfrac{1}{3}
t=\dfrac{1}{2} 时,f(t)=4
即当 1-k=\dfrac{1}{2},即 k=\dfrac{1}{2} 时,S_{\min }=\dfrac{1}{32}[4+4]=\dfrac{1}{4}
所以 k=-\dfrac{1}{2} S_{\Delta \max }=\dfrac{1}{3}k=\dfrac{1}{2} S_{\Delta \min }=\dfrac{1}{4}
【点拨】
① 本题完成第一、二问,有更简便的方法,但若考虑到第三问,采取了求点 M、N 坐标的方法,故有时做题要统筹到完成的整道题目,在应试中采取综合时间、得分多方面的最优解.
② 当然本题第三问也有可能还有其他的解法,比如几何法,
如图,设过点 P 的直线 CD 与线段 ABOAy 轴分别交于 DGC
由于点 x_{P}=\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{2} O B,易证 PD=PC,同理可得 PE=PF,又因为 ∠DPF=∠EPC,所以 ∆DPF≅∆EPC,故 S_{\Delta D P F}>S_{\Delta G P H},即当直线 CD 越靠近 PBS_{\triangle A M N} 越大;
k=-\dfrac{1}{2} S_{\Delta \max }=\dfrac{1}{3}k=\dfrac{1}{2} S_{\Delta \min }=\dfrac{1}{4}..

③ 处理最值问题常见的是几何法 (通过观察图象利用几何特点与性质求解)、代数法 (引入变量,把所求量的最值问题转化为函数的最值问题).
 

巩固练习

1(★★) 已知直线 l 的方程为:(2+m)x+(1-2m)y+(4-3m)=0
(1) 求证:不论 m 为何值,直线必过定点 M
(2) 过点 M 引直线 l_1,使它与两坐标轴的负半轴所围成的三角形面积最小,求 l_1 的方程.
 
 

2(★★★) 已知直线 l 经过点 P(3 ,2)
(1) 若直线 l x 轴、y 轴上的截距互为相反数,求直线 l 的方程;
(2) 若直线 l x 轴、y 轴的正半轴分别交于 A,B 两点.当 |PA|^2+|PB|^2 取得最小值时,求直线 l 的方程.
 
 

3(★★★) 如图,射线 OA,OB x 轴正半轴的夹角分别为 45^° 30^°,过点 P(1 ,0) 的直线 l 分别交 OAOB 于点 A,B
(1) 当线段 AB 的中点为 P 时,求 l 的方程;
(2) 当线段 AB 的中点在直线 y=\dfrac{x}{2} 上时,求 l 的方程.
image.png
 
 

4(★★★) 已知直线 lkx-y+1+2k=0(k∈R)
(1) 证明:直线 l 过定点;
(2) 若直线不经过第四象限,求 k 的取值范围;
(3) 若直线 l x 轴负半轴于 A,交 y 轴正半轴于 B△AOB 的面积为 S,求 S 的最小值并求此时直线 l 的方程.
 
 

5(★★★) 在直角坐标系中,已知射线 OA:x-y=0(x≥0),过点 P(3 ,1) 作直线分别交射线 OAx 轴正半轴于点 AB
(1) 当 AB 的中点为 P 时,求直线 AB 的方程;
(2) 求 PA\cdot PB 的最小值.
 
 

参考答案

1.(1) M(-1,-2)(2) 2x+y+4=0

2.(1) x-y-1=0 2x-3y=0

\text { (2) } \sqrt{2} x+\sqrt{3} y-2 \sqrt{3}-3 \sqrt{2}=0

3.\text { (1) } y=-(\sqrt{3}+1)(x-1)\text { (2) } y=\dfrac{1}{2}(3+\sqrt{3})(x-1)

4.(1) (-2 ,1) \quad (2) [0 ,+∞) \quad (3) x-2y+4=0

5.(1) x+y-4=0 \quad (2) 4(\sqrt{2}-1)

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