2.1 直线的倾斜角与斜率、直线的方程

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模块导图

知识剖析

直线的倾斜角与斜率

1直线的倾斜角
(1) 定义
当直线\(l\)与\(x\)轴相交时，取\(x\)轴作为基准，\(x\)轴正向与直线\(l\)向上方向之间所成的角\(α\)叫做直线\(l\)的倾斜角.

特别地，当直线\(l\)与\(x\)轴平行或重合时，规定\(α=0^∘\).
(2) 范围
\(\alpha \in\left[0^{\circ}, 180^{\circ}\right)\).\(l\)与\(x\)轴垂直时，\(α=90^∘\).
 

2 直线的斜率
(1) 定义
直线的斜率就是直线倾斜角的正切值，记作\(k=\tan α(α≠ 90^∘)\).
当直线\(l\)与\(x\)轴平行或重合时，\(α=0^∘\)，\(k=tan 0^∘=0\);
当直线\(l\)与\(x\)轴垂直时，\(α=90^∘\),\(k\)不存在.
 

(2) 倾斜角\(α\)与斜率\(k\)之间的关系
\(k=\tan α\)，\(α∈[0^∘ ,180^∘)\)，
如左图，当\(α∈[0^∘ ,90^∘)\)时，\(k(α)\)是递增的；
右图中斜率为\(k_1\),\(k_2\)的直线对应的倾斜角为\(α_1\),\(α_2\)，其中\(0<\alpha_{2}<\alpha_{1}<\dfrac{\pi}{2}\)，而\(k_1>k_2>0\)；
如左图，当\(α∈(90^∘ ,180^∘)\)时，\(k(α)\)也是递增的；
右图中斜率为\(k_3\),\(k_4\)的直线对应的倾斜角为\(α_3\),\(α_4\)，
其中\(\dfrac{\pi}{2}<\alpha_{3}<\alpha_{4}<\pi\)，而\(k_3<k_4<0\).
\({\color{Red}{(简而言之，斜率大小看倾斜角，直线越陡斜率绝对值|k|越大) } }\)

 

(3) 斜率公式
经过两点\(P_1 (x_1 ,y_1)\),\(P_2 (x_2 ,y_2)\)\((x_1≠ x_2)\)的直线的斜率公式是\(k==\dfrac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}\).
使用斜率公式的时候要注意\(x_1≠ x_2\)的前提条件.
 

(4) 求斜率的方法
(1)已知直线上两点，根据斜率公式\(k==\dfrac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}\left(x_{1} \neq x_{2}\right)\)求斜率；
(2)已知直线的倾斜角\(α\)或\(α\)的某种三角函数根据\(k=\tan α(α≠ 90^∘)\)来求斜率.
 

(5) 利用斜率证明三点共线的方法
已知\(A(x_1 ,y_1)\),\(B(x_2 ,y_2)\),\(C(x_3 ,y_3)\)，
若\(x_1=x_2=x_3\)或\(k_{AB}=k_{BC}\)，则有\(A\)、\(B\)、\(C\)三点共线.
 

直线的方程

1 直线方程的几种形式

 

2 易错点
\((1)\)利用点斜式求直线方程时，需要先判断斜率存在与否.
\((2)\)截距与距离的区别：截距的值有正、负、零.距离的值是非负数.
\((3)\)用截距式方程表示直线时，要注意方程的条件限制为两个截距均不能为零.
 

经典例题

【题型一】直线的倾斜角与斜率的关系

【典题1】已知直线过\(A(3,m+1)\),\(B(4,2m+1)\)两点且倾斜角为\(\dfrac{5}{6} \pi\)，则\(m\)的值为\(\underline{\quad \quad}\) .
【解析】因直线\(AB\)的倾斜角为\(\dfrac{5}{6} \pi\)，则其斜率\(k=\tan \dfrac{5}{6} \pi=-\dfrac{\sqrt{3}}{3}\)，
又由\(A(3,m+1)\),\(B(4,2m+1)\)，
则\(AB\)的斜率\(k=\dfrac{(2 m+1)-(m+1)}{4-3}=m\)，
则有\(m=-\dfrac{\sqrt{3}}{3}\)．
【点拨】求斜率有两种方法:\(k=\tan α\)与斜率公式\(k=\dfrac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}\).

 

【典题2】直线\(x+y\cosθ-5=0\)的倾斜角\(α\)的取值范围是\(\underline{\quad \quad}\) .
【解析】
\({\color{Red}{ (直线一般式ax+by+c=0(b≠0)化为斜截式可知斜率k=-\dfrac{a}{b}，注意斜率是否存在) } }\)
若\(\cosθ=0\)，则直线方程为\(x=5\)，即倾斜角\(\alpha=\dfrac{\pi}{2}\)；
若\(\cos \theta \neq 0\)，则直线方程为\(y=-\dfrac{1}{\cos \theta} x+\dfrac{5}{\cos \theta}\)，即\(\tan \alpha=-\dfrac{1}{\cos \theta}\)，
\(∵\cosθ∈[-1 ,0)∪(0 ,1]\)，
\(\therefore-\dfrac{1}{\cos \theta} \leq-1\)或\(-\dfrac{1}{\cos \theta} \geq 1\)，
即\(\tan \alpha \leq-1\)或\(\tan \alpha \geq 1\)，解得\(\alpha \in\left[\dfrac{\pi}{4}, \dfrac{\pi}{2}\right) \cup\left(\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{3 \pi}{4}\right]\)，
\({\color{Red}{ (结合y=\tanα图象可求) } }\)
综上可得\(\alpha \in\left[\dfrac{\pi}{4}, \dfrac{3 \pi}{4}\right]\).
 

【典题3】设点\(A(2 ,-3)\)，\(B(-3 ,-2)\)，直线\(l\)过点\(P(1 ,1)\)且与线段\(AB\)相交，则l的斜率\(k\)的取值范围为\(\underline{\quad \quad}\) .
【解析】如图所示，设直线\(l\)与线段\(AB\)交于点\(C\)，

当\(PC⊥x\)轴时直线\(l\)与线段\(AB\)交于点\(D\)，
当点\(C\)在\(BD\)上运动时，斜率\(k\)满足\(k≥k_{PB}\)，
当点\(C\)在\(DA\)上运动时，\(k≤k_{PA}\)，
即\(k \geq \dfrac{1+2}{1+3}=\dfrac{3}{4}\)或\(k \leq \dfrac{1+3}{1-2}=-4\)，
\(\therefore k \geq \dfrac{3}{4}\)或\(k≤-4\)，
即直线的斜率的取值范围是\(\left[\dfrac{3}{4},+\infty\right) \cup(-\infty,-4]\)．
【点拨】
① 注意理解直线斜率与倾斜角之间的关系与斜率大小的比较方法，结合图象思考；
② 注意到直线\(l\)与\(x\)轴垂直的临界处.
 

巩固练习

1(★) 下列叙述正确的是(　　)
A．平面直角坐标系内的任意一条直线都存在倾斜角和斜率
B．直线倾斜角\(α\)的取值范围是\(0^°≤α<180^°\)
C．若一条直线的倾斜角为\(α(α≠90^°)\)，则此直线的斜率为\(\tanα\)
D．与坐标轴垂直的直线的倾斜角是\(0^°\)或\(90^°\)
 

2(★) 若直线经过两点\(A(m ,2)\)，\(B(-m ,2m-1)\)且倾斜角为\(45°\)，则\(m\)的值为\(\underline{\quad \quad}\) .
 

3(★★) 已知在直角坐标系中，等边\(△ABC\)中\(A\)与原点重合，若\(AB\)的斜率为\(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)，则\(BC\)的斜率可能为 \(\underline{\quad \quad}\) .
 

4(★★) 已知\(θ∈R\)，则直线\(x \sin \theta-\sqrt{3} y+1=0\)的倾斜角的取值范围是\(\underline{\quad \quad}\) .
 

5(★★) 直线\(l\)经过点\(A(2,1)\),\(B(3,t^2)\)，\((-\sqrt{2} \leq t \leq \sqrt{2})\)，则直线\(l\)倾斜角的取值范围是\(\underline{\quad \quad}\) .
 

6(★★★) 已知两点\(A(-3 ,4)\)，\(B(3 ,2)\)，过点\(P(1 ,0)\)的直线\(l\)与线段\(AB\)有公共点，则直线\(l\)的斜率\(k\)的取值范围是\(\underline{\quad \quad}\) .
 

7(★★★)\(P(x ,y)\)在线段\(AB\)上运动，已知\(A(2 ,4)\),\(B(5 ,-2)\)，则\(\dfrac{y+1}{x+1}\)的取值范围是\(\underline{\quad \quad}\) .
 

参考答案

1.\(BCD\)
2.\(\dfrac{3}{4}\)
3.\(-\dfrac{\sqrt{3}}{5}\)
4.\(\left[0, \dfrac{\pi}{6}\right] \cup\left[\dfrac{5 \pi}{6}, \pi\right)\)
5.\(\left[0, \dfrac{\pi}{4}\right] \cup\left[\dfrac{3 \pi}{4}, \pi\right)\)
6.\([－1,1]\)
7.\(\left[-\dfrac{1}{6}, \dfrac{5}{3}\right]\)

 

【题型二】求直线方程

【典题1】根据所给条件求直线方程
\((1)\)直线过点\(A(1 ,2)\)，倾斜角\(α\)的正弦值为\(\dfrac{3}{5}\)；
\((2)\)直线过点\(A(1 ,3)\)，且在两坐标轴上的截距之和为\(8\)；
\((3)\)直线过点\(A(2 ,4)\)，\(B(-2 ,8)\).
【解析】\(\text { (1) } \because \sin \alpha=\dfrac{3}{5}\)，
\(\therefore k=\tan \alpha=\pm \dfrac{3}{4}\)，
则直线方程为\(y-2=\pm \dfrac{3}{4}(x-1)\)，
\({\color{Red}{(已知斜率与一点，采取点斜式) } }\)
即\(3x-4y+5=0\)或\(3x+4y-11=0\).
(2)
\({\color{Red}{ (x、y轴上的截距都涉及到，优先考虑截距式) } }\)
依题意得，直线的横截距、纵截距均不为\(0\)，
可设直线方程为\(\dfrac{x}{m}+\dfrac{y}{8-m}=1\)，
代入点\(A(1 ,3)\)，可得\(\dfrac{1}{m}+\dfrac{3}{8-m}=1\)，解得\(m=2\)或\(m=4\)，
所以所求直线方程为\(\dfrac{x}{2}+\dfrac{y}{6}=1\)或\(\dfrac{x}{4}+\dfrac{y}{4}=1\)，
即所求直线方程为\(3x+y-6=0\)或\(x+y-4=0\).
(3) \({\color{Red}{(已知直线过两点，可先求出斜率再用点斜式) } }\)
直线斜率\(k=\dfrac{4-8}{2-(-2)}=-1\)，
则所求直线方程为\(y-4=-(x-2)\)，整理得\(x+y-6=0\).
【点拨】
① 求直线方程的时，要注意各种形式的限制条件；
② 往往可以多种方法求解，注意最优解.
 

【典题2】 如图所示，在平面直角坐标系\(xOy\)中，已知点\(A(0 ,2)\)，\(B(-2 ,0)\)，\(C(1 ,0)\)，分别以\(AB\)，\(AC\)为边向外作正方形\(ABEF\)与\(ACGH\)，则点\(H\)的坐标为\(\underline{\quad \quad}\) ，直线\(FH\)的一般式方程为\(\underline{\quad \quad}\) ．

【解析】
\({\color{Red}{ (求点H坐标相当求点H到x、y轴距离，用几何知识点求解；再求出点H便可求直线FH方程) } }\)
分别过\(H\)、\(F\)作\(y\)轴的垂线，垂足分别为\(M\)、\(N\)，
\(∵\)四边形\(ACGH\)为正方形，
\(∴Rt△AHM≌Rt△CAO\)，可得\(AM=OC\)，\(MH=OA\)，
\(∵A(0 ,2)\)，\(C(1 ,0)\)，
\(∴MH=OA=2\)，\(AM=OC=1\)，可得\(OM=OA+AM=3\)，
由此可得\(H\)坐标为\((2 ,3)\)，同理得到\(F(-2 ,4)\)，
\(∴\)直线\(FH\)的斜率为\(k=\dfrac{4-3}{-2-2}=-\dfrac{1}{4}\)，
可得直线\(FH\)的方程为\(y-3=-\dfrac{1}{4}(x-2)\)，化简得\(x+4y-14=0\)．
【点拨】根据题意，可知点\(F\)、\(H\)是确定的，求出两点坐标再求直线\(FH\)方程就不难了.本题利用平几知识点求出点\(F\)、\(H\)的坐标.
 

巩固练习

1(★) 【多选题】下列说法中，正确的有(　　)
A．过点\(P(1 ,2)\)且在\(x\)、\(y\)轴截距相等的直线方程为\(x+y-3=0\)
B．直线\(y=3x-2\)在\(y\)轴上的截距为\(-2\)
C．直线\(x-\sqrt{3} y+1=0\)的倾斜角为\(60^°\)
D．过点\((5 ,4)\)并且倾斜角为\(90^°\)的直线方程为\(x-5=0\)
 

2(★)【多选题】下列有关直线\(l：x+my-1=0(m∈R)\)的说法中不正确的是(　　)
A．直线\(l\)的斜率为\(-m\)
B．直线\(l\)的斜率为\(-\dfrac{1}{m}\)
C．直线\(l\)过定点\((0 ,1)\)
D．直线\(l\)过定点\((1 ,0)\)
 

3(★) 已知直线\(mx+3y-12=0\)在两个坐标轴上截距之和为\(7\)，则实数\(m\)的值为\(\underline{\quad \quad}\) .
 

4(★★)若直线过点\((1 ,1)\)且与两坐标轴所围成的三角形的面积为\(2\)，则这样的直线有\(\underline{\quad \quad}\) 条.
 

5(★★) 已知等边\(△ABC\)的两个顶点\(A(0 ,0)\),\(B(4 ,0)\)，且第三个顶点在第四象限，则\(BC\)边所在的直线方程是\(\underline{\quad \quad}\) .
 

参考答案

1.\(BD\)
2.\(ABC\)
3.\(4\)
4.\(3\)
5.\(y=\sqrt{3}(x-4)\)

 

【题型三】直线方程的综合运用

【典题1】设直线\(l：(3+2λ)x+(4+λ)y-19-6λ=0\),\((λ∈R)\)．
(1)求证：直线\(l\)恒过定点\(M\)，并求出定点\(M\)坐标；
(2)若直线\(l\)在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程；
(3)设直线\(l\)与\(x\)轴、\(y\)轴的正半轴交于点\(A\),\(B\)，求当\(|MA|\cdot |MB|\)(点\(M\)为(1)中的定点)取得最小值时直线\(l\)的方程．
【解析】(1)直线方程化为\(3x+4y-19+λ(2x+y-6)=0\)
由\(\left\{\begin{array}{l} 3 x+4 y-19=0 \\ 2 x+y-6=0 \end{array}\right.\)，解得\(\left\{\begin{array}{l} x=1 \\ y=4 \end{array}\right.\)，则定点\(M\)为\((1 ,4)\)．
\({\color{Red}{ (λ视为参数，过定点的意思是"不管λ取什么值，方程3x+4y-19+λ(2x+y-6)=0均成立"，故先把λ提取出来，}}\)
\({\color{Red}{ 满足"0+λ⋅0=0 "这一形式即可,故\left\{\begin{array}{l} 3 x+4 y-19=0 \\ 2 x+y-6=0 \end{array}\right.) } }\)
(2) \({\color{Red}{ (截距相等，有可能两个截距均为0，故要分类讨论) } }\)
当直线过原点时，\(-19-6λ=0\), 则\(\lambda=-\dfrac{19}{6}\), 此时直线的方程为\(4x-y=0\)．
当直线不过原点时，则\(3+2λ=4+λ\)，解得\(λ=1\)，
所求直线为\(x+y-5=0\)．
综上，直线方程为\(4x-y=0\)或\(x+y-5=0\)．
(3)设\(A(a ,0)\)，\(B(0 ,b)(a>0 ,b>0)\)，
\({\color{Red}{ 方法1 } }\) 则直线l的方程可设为\(\dfrac{x}{a}+\dfrac{y}{b}=1\)，
又直线l过点\(M(1 ,4)\), 则\(\dfrac{1}{a}+\dfrac{4}{b}=1\)，
\(|M A||M B|=\overrightarrow{A M} \cdot \overrightarrow{M B}\)
\({\color{Red}{ (利用数量积\overrightarrow{A M} \cdot \overrightarrow{M B}=|M A||M B| \cos 0=|M A||M B|把“两线段乘积“变成”向量坐标“处理简单多了) } }\)
\(=(1-a ,4)(-1 ,b-4)=a+4b-17\)
\(=(a+4 b)\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{4}{b}\right)-17\)\({\color{Red}{(基本不等式巧1法) } }\)
\(=\dfrac{4 b}{a}+\dfrac{4 a}{b} \geq 2 \sqrt{\dfrac{4 b}{a} \cdot \dfrac{4 a}{b}}=8\)，
当且仅当\(\dfrac{4 b}{a}=\dfrac{4 a}{b}\)且\(\dfrac{1}{a}+\dfrac{4}{b}=1\)，即\(a=b=5\)时等号成立，
此时直线方程为\(x+y-5=0\)．
\({\color{Red}{ 方法2 } }\) 设直线l的倾斜角为\(α\)，由已知可知\(\alpha \in\left(\dfrac{\pi}{2}, \pi\right)\)，
如图，\(|M B|=\dfrac{4}{\sin (\pi-\alpha)}=\dfrac{4}{\sin \alpha}\)，\(|M A|=\dfrac{1}{\cos (\pi-\alpha)}=-\dfrac{1}{\cos \alpha}\)，

\({\color{Red}{(通过图象观察引入变量α表示|MA|\cdot |MB|) } }\)
则\(|M A||M B|=-\dfrac{4}{\sin \alpha \cdot \cos \alpha}=-\dfrac{8}{\sin 2 \alpha}\)，
\(\because \alpha \in\left(\dfrac{\pi}{2}, \pi\right)\)\(\therefore-1 \leq \sin 2 \alpha<0\)，
显然\(\sin2α=-1\)，即\(\alpha=\dfrac{3 \pi}{4}\)时，\(|M A||M B|=-\dfrac{8}{\sin 2 \alpha}\)取到最小值\(8\)，
此时直线方程为\(x+y-5=0\)．
【点拨】处理线段问题还可以用两点距离公式，而本题中\(|M A||M B|=\sqrt{1+(a-4)^{2}} \cdot \sqrt{(b-1)^{2}+16}\)，再用消元法处理，计算量很大.
 

【典题2】如图，将一块等腰直角三角板\(ABO\)置于平面直角坐标系中，已知\(AB=OB=1\)，\(AB⊥OB\)，点\(P\left(\dfrac{1}{2}, \dfrac{1}{4}\right)\)是三角板内一点，现因三角板中部分(\(△POB\)内部，不含边界)受损坏，要把损坏的部分锯掉，可用经过\(P\)的任意一直线\(MN\)将其锯成\(△AMN\)．
(1)求直线\(MN\)的斜率的取值范围；
(2)若\(P\)点满足\(\overrightarrow{M P}=\dfrac{1}{3} \overrightarrow{P N}\)，这样的直线\(MN\)是否存在，如不存在，请说明理由；若存在，求出此时直线\(MN\)的方程；
(3)如何确定直线\(MN\)的斜率，才能使锯成的\(△AMN\)的面积取得最大值和最小值？并求出最值．

\({\color{Red}{(根据观察图象易得k_{P A} \leq k_{M N} \leq k_{P B} \Rightarrow-\dfrac{1}{2} \leq k \leq \dfrac{1}{2}，但也可以设直线MN的方程从而求出点M、N的坐标， }}\) \({\color{Red}{ 从而由点M、N的限制求出k_{MN}的范围) } }\)
依题意，得\(MN\)的方程为\(y-\dfrac{1}{4}=k\left(x-\dfrac{1}{2}\right)\)，即\(y=k x-\dfrac{2 k-1}{4}\)，
因为\(AB⊥OB\)，\(|AB|=|OB|=1\)，
所以直线\(OA\)的方程为\(y=x\)，直线\(AB\)的方程为\(x=1\)，
联立\(\left\{\begin{array}{l} y-\dfrac{1}{4}=k\left(x-\dfrac{1}{2}\right) \\ y=x \end{array}\right.\)，得\(M\left(\dfrac{2 k-1}{4(k-1)}, \dfrac{2 k-1}{4(k-1)}\right)\)，
联立\(\left\{\begin{array}{l} y-\dfrac{1}{4}=k\left(x-\dfrac{1}{2}\right) \\ x=1 \end{array}\right.\)，得\(N\left(1, \dfrac{2 k+1}{4}\right)\)，
所以\(\left\{\begin{array}{l} 0 \leq \dfrac{2 k-1}{4(k-1)} \leq 1 \\ 0 \leq \dfrac{2 k+1}{4} \leq 1 \end{array}\right.\)，解得\(-\dfrac{1}{2} \leq k \leq \dfrac{1}{2}\)．
所以\(k\)的取值范围为\(\left[-\dfrac{1}{2}, \dfrac{1}{2}\right]\)．
\({\color{Red}{(得到M、N的坐标，便于求解第二、三问) } }\)
(2) 若\(\overrightarrow{M P}=\dfrac{1}{3} \overrightarrow{P N}\)，可得\(\dfrac{1}{2}-\dfrac{2 k-1}{4(k-1)}=\dfrac{1}{3}\left(1-\dfrac{1}{2}\right)\)，解得\(k=-\dfrac{1}{2}\)，
所以直线\(MN\)的方程为\(y-\dfrac{1}{4}=-\dfrac{1}{2}\left(x-\dfrac{1}{2}\right)\)，
整理得\(x+2y-1=0\)．
(3)在\(△AMN\)中，由(1)知，
\(S_{\triangle A M N}=\dfrac{1}{2} \cdot|A N| \cdot h\)\(=\dfrac{1}{2}\left[1-\dfrac{2 k+1}{4}\right]\left[1-\dfrac{2 k-1}{4(k-1)}\right]\)
\(=\dfrac{1}{32}\left[4(1-k)+\dfrac{1}{1-k}+4\right]\)，
设\(t=1-k \in\left[\dfrac{1}{2}, \dfrac{3}{2}\right]\)，
则\(f(t)=4 t+\dfrac{1}{t}\)，
因为\(f(t)\)在\(\left[\dfrac{1}{2}, \dfrac{3}{2}\right]\)是单调递增，
\({\color{Red}{(利用对勾函数的性质易得) } }\)
所以当\(t=\dfrac{3}{2}\)时，\(f(t)=\dfrac{20}{3}\)，
即当\(1 -k=\dfrac{3}{2}\)，即\(k=-\dfrac{1}{2}\)时，\(S_{\max }=\dfrac{1}{32}\left[\dfrac{20}{3}+4\right]=\dfrac{1}{3}\)，
当\(t=\dfrac{1}{2}\)时，\(f(t)=4\)，
即当\(1-k=\dfrac{1}{2}\)，即\(k=\dfrac{1}{2}\)时，\(S_{\min }=\dfrac{1}{32}[4+4]=\dfrac{1}{4}\)，
所以\(k=-\dfrac{1}{2}\)时\(S_{\Delta \max }=\dfrac{1}{3}\)；\(k=\dfrac{1}{2}\)时\(S_{\Delta \min }=\dfrac{1}{4}\)．
【点拨】
① 本题完成第一、二问，有更简便的方法，但若考虑到第三问，采取了求点M、N坐标的方法，故有时做题要统筹到完成的整道题目，在应试中采取综合时间、得分多方面的最优解.
② 当然本题第三问也有可能还有其他的解法，比如几何法，
如图，设过点\(P\)的直线\(CD\)与线段\(AB\)、\(OA\)、\(y\)轴分别交于\(D\)、\(G\)、\(C\)，
由于点\(x_{P}=\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{2} O B\)，易证\(PD=PC\)，同理可得\(PE=PF\)，又因为\(∠DPF=∠EPC\)，所以\(∆DPF≅∆EPC\)，故\(S_{\Delta D P F}>S_{\Delta G P H}\)，即当直线\(CD\)越靠近\(PB\)，\(S_{\triangle A M N}\)越大；
故\(k=-\dfrac{1}{2}\)时\(S_{\Delta \max }=\dfrac{1}{3}\)；\(k=\dfrac{1}{2}\)时\(S_{\Delta \min }=\dfrac{1}{4}\)．.

③ 处理最值问题常见的是几何法(通过观察图象利用几何特点与性质求解)、代数法(引入变量，把所求量的最值问题转化为函数的最值问题).
 

巩固练习

1(★★) 已知直线\(l\)的方程为：\((2+m)x+(1-2m)y+(4-3m)=0\)．
(1)求证：不论\(m\)为何值，直线必过定点\(M\)；
(2)过点\(M\)引直线\(l_1\)，使它与两坐标轴的负半轴所围成的三角形面积最小，求\(l_1\)的方程．
 
 

2(★★★) 已知直线\(l\)经过点\(P(3 ,2)\)．
(1)若直线\(l\)在\(x\)轴、\(y\)轴上的截距互为相反数，求直线\(l\)的方程；
(2)若直线\(l\)与\(x\)轴、\(y\)轴的正半轴分别交于\(A\),\(B\)两点．当\(|PA|^2+|PB|^2\)取得最小值时，求直线\(l\)的方程．
 
 

3(★★★) 如图，射线\(OA\),\(OB\)与\(x\)轴正半轴的夹角分别为\(45^°\)和\(30^°\)，过点\(P(1 ,0)\)的直线\(l\)分别交\(OA\)，\(OB\)于点\(A\),\(B\)．
(1)当线段\(AB\)的中点为\(P\)时，求\(l\)的方程；
(2)当线段\(AB\)的中点在直线\(y=\dfrac{x}{2}\)上时，求\(l\)的方程．

 
 

4(★★★) 已知直线\(l\)：\(kx－y+1+2k=0(k∈R)\)．
(1)证明：直线\(l\)过定点；
(2)若直线不经过第四象限，求\(k\)的取值范围；
(3)若直线\(l\)交\(x\)轴负半轴于\(A\)，交\(y\)轴正半轴于\(B\)，\(△AOB\)的面积为\(S\)，求\(S\)的最小值并求此时直线\(l\)的方程．
 
 

5(★★★) 在直角坐标系中，已知射线\(OA：x-y=0(x≥0)\)，过点\(P(3 ,1)\)作直线分别交射线\(OA\)，\(x\)轴正半轴于点\(A\)、\(B\)．
(1)当\(AB\)的中点为\(P\)时，求直线\(AB\)的方程；
(2)求\(PA\cdot PB\)的最小值．
 
 

参考答案

1.\((1) M(-1,-2)\)\((2) 2x+y+4=0\)

2.\((1) x-y-1=0\)或\(2x-3y=0\)

\(\text { (2) } \sqrt{2} x+\sqrt{3} y-2 \sqrt{3}-3 \sqrt{2}=0\)

3.\(\text { (1) } y=-(\sqrt{3}+1)(x-1)\)\(\text { (2) } y=\dfrac{1}{2}(3+\sqrt{3})(x-1)\)

4.\((1) (-2 ,1) \quad (2) [0 ,+∞) \quad (3) x-2y+4=0\)

5.\((1) x+y-4=0 \quad (2) 4(\sqrt{2}-1)\)