2.1 直线的倾斜角与斜率、直线的方程
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知识剖析
直线的倾斜角与斜率
1直线的倾斜角
(1) 定义
当直线\(l\)与\(x\)轴相交时,取\(x\)轴作为基准,\(x\)轴正向与直线\(l\)向上方向之间所成的角\(α\)叫做直线\(l\)的倾斜角.
特别地,当直线\(l\)与\(x\)轴平行或重合时,规定\(α=0^∘\).
(2) 范围
\(\alpha \in\left[0^{\circ}, 180^{\circ}\right)\).\(l\)与\(x\)轴垂直时,\(α=90^∘\).
2 直线的斜率
(1) 定义
直线的斜率就是直线倾斜角的正切值,记作\(k=\tan α(α≠ 90^∘)\).
当直线\(l\)与\(x\)轴平行或重合时,\(α=0^∘\),\(k=tan 0^∘=0\);
当直线\(l\)与\(x\)轴垂直时,\(α=90^∘\),\(k\)不存在.
(2) 倾斜角\(α\)与斜率\(k\)之间的关系
\(k=\tan α\),\(α∈[0^∘ ,180^∘)\),
如左图,当\(α∈[0^∘ ,90^∘)\)时,\(k(α)\)是递增的;
右图中斜率为\(k_1\),\(k_2\)的直线对应的倾斜角为\(α_1\),\(α_2\),其中\(0<\alpha_{2}<\alpha_{1}<\dfrac{\pi}{2}\),而\(k_1>k_2>0\);
如左图,当\(α∈(90^∘ ,180^∘)\)时,\(k(α)\)也是递增的;
右图中斜率为\(k_3\),\(k_4\)的直线对应的倾斜角为\(α_3\),\(α_4\),
其中\(\dfrac{\pi}{2}<\alpha_{3}<\alpha_{4}<\pi\),而\(k_3<k_4<0\).
\({\color{Red}{(简而言之,斜率大小看倾斜角,直线越陡斜率绝对值|k|越大) } }\)
(3) 斜率公式
经过两点\(P_1 (x_1 ,y_1)\),\(P_2 (x_2 ,y_2)\)\((x_1≠ x_2)\)的直线的斜率公式是\(k==\dfrac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}\).
使用斜率公式的时候要注意\(x_1≠ x_2\)的前提条件.
(4) 求斜率的方法
(1)已知直线上两点,根据斜率公式\(k==\dfrac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}\left(x_{1} \neq x_{2}\right)\)求斜率;
(2)已知直线的倾斜角\(α\)或\(α\)的某种三角函数根据\(k=\tan α(α≠ 90^∘)\)来求斜率.
(5) 利用斜率证明三点共线的方法
已知\(A(x_1 ,y_1)\),\(B(x_2 ,y_2)\),\(C(x_3 ,y_3)\),
若\(x_1=x_2=x_3\)或\(k_{AB}=k_{BC}\),则有\(A\)、\(B\)、\(C\)三点共线.
直线的方程
1 直线方程的几种形式
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2 易错点
\((1)\)利用点斜式求直线方程时,需要先判断斜率存在与否.
\((2)\)截距与距离的区别:截距的值有正、负、零.距离的值是非负数.
\((3)\)用截距式方程表示直线时,要注意方程的条件限制为两个截距均不能为零.
经典例题
【题型一】直线的倾斜角与斜率的关系
【典题1】已知直线过\(A(3,m+1)\),\(B(4,2m+1)\)两点且倾斜角为\(\dfrac{5}{6} \pi\),则\(m\)的值为\(\underline{\quad \quad}\) .
【解析】因直线\(AB\)的倾斜角为\(\dfrac{5}{6} \pi\),则其斜率\(k=\tan \dfrac{5}{6} \pi=-\dfrac{\sqrt{3}}{3}\),
又由\(A(3,m+1)\),\(B(4,2m+1)\),
则\(AB\)的斜率\(k=\dfrac{(2 m+1)-(m+1)}{4-3}=m\),
则有\(m=-\dfrac{\sqrt{3}}{3}\).
【点拨】求斜率有两种方法:\(k=\tan α\)与斜率公式\(k=\dfrac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}\).
【典题2】直线\(x+y\cosθ-5=0\)的倾斜角\(α\)的取值范围是\(\underline{\quad \quad}\) .
【解析】
\({\color{Red}{ (直线一般式ax+by+c=0(b≠0)化为斜截式可知斜率k=-\dfrac{a}{b},注意斜率是否存在) } }\)
若\(\cosθ=0\),则直线方程为\(x=5\),即倾斜角\(\alpha=\dfrac{\pi}{2}\);
若\(\cos \theta \neq 0\),则直线方程为\(y=-\dfrac{1}{\cos \theta} x+\dfrac{5}{\cos \theta}\),即\(\tan \alpha=-\dfrac{1}{\cos \theta}\),
\(∵\cosθ∈[-1 ,0)∪(0 ,1]\),
\(\therefore-\dfrac{1}{\cos \theta} \leq-1\)或\(-\dfrac{1}{\cos \theta} \geq 1\),
即\(\tan \alpha \leq-1\)或\(\tan \alpha \geq 1\),解得\(\alpha \in\left[\dfrac{\pi}{4}, \dfrac{\pi}{2}\right) \cup\left(\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{3 \pi}{4}\right]\),
\({\color{Red}{ (结合y=\tanα图象可求) } }\)
综上可得\(\alpha \in\left[\dfrac{\pi}{4}, \dfrac{3 \pi}{4}\right]\).
【典题3】设点\(A(2 ,-3)\),\(B(-3 ,-2)\),直线\(l\)过点\(P(1 ,1)\)且与线段\(AB\)相交,则l的斜率\(k\)的取值范围为\(\underline{\quad \quad}\) .
【解析】如图所示,设直线\(l\)与线段\(AB\)交于点\(C\),
当\(PC⊥x\)轴时直线\(l\)与线段\(AB\)交于点\(D\),
当点\(C\)在\(BD\)上运动时,斜率\(k\)满足\(k≥k_{PB}\),
当点\(C\)在\(DA\)上运动时,\(k≤k_{PA}\),
即\(k \geq \dfrac{1+2}{1+3}=\dfrac{3}{4}\)或\(k \leq \dfrac{1+3}{1-2}=-4\),
\(\therefore k \geq \dfrac{3}{4}\)或\(k≤-4\),
即直线的斜率的取值范围是\(\left[\dfrac{3}{4},+\infty\right) \cup(-\infty,-4]\).
【点拨】
① 注意理解直线斜率与倾斜角之间的关系与斜率大小的比较方法,结合图象思考;
② 注意到直线\(l\)与\(x\)轴垂直的临界处.
巩固练习
1(★) 下列叙述正确的是( )
A.平面直角坐标系内的任意一条直线都存在倾斜角和斜率
B.直线倾斜角\(α\)的取值范围是\(0^°≤α<180^°\)
C.若一条直线的倾斜角为\(α(α≠90^°)\),则此直线的斜率为\(\tanα\)
D.与坐标轴垂直的直线的倾斜角是\(0^°\)或\(90^°\)
2(★) 若直线经过两点\(A(m ,2)\),\(B(-m ,2m-1)\)且倾斜角为\(45°\),则\(m\)的值为\(\underline{\quad \quad}\) .
3(★★) 已知在直角坐标系中,等边\(△ABC\)中\(A\)与原点重合,若\(AB\)的斜率为\(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\),则\(BC\)的斜率可能为 \(\underline{\quad \quad}\) .
4(★★) 已知\(θ∈R\),则直线\(x \sin \theta-\sqrt{3} y+1=0\)的倾斜角的取值范围是\(\underline{\quad \quad}\) .
5(★★) 直线\(l\)经过点\(A(2,1)\),\(B(3,t^2)\),\((-\sqrt{2} \leq t \leq \sqrt{2})\),则直线\(l\)倾斜角的取值范围是\(\underline{\quad \quad}\) .
6(★★★) 已知两点\(A(-3 ,4)\),\(B(3 ,2)\),过点\(P(1 ,0)\)的直线\(l\)与线段\(AB\)有公共点,则直线\(l\)的斜率\(k\)的取值范围是\(\underline{\quad \quad}\) .
7(★★★)\(P(x ,y)\)在线段\(AB\)上运动,已知\(A(2 ,4)\),\(B(5 ,-2)\),则\(\dfrac{y+1}{x+1}\)的取值范围是\(\underline{\quad \quad}\) .
参考答案
1.\(BCD\)
2.\(\dfrac{3}{4}\)
3.\(-\dfrac{\sqrt{3}}{5}\)
4.\(\left[0, \dfrac{\pi}{6}\right] \cup\left[\dfrac{5 \pi}{6}, \pi\right)\)
5.\(\left[0, \dfrac{\pi}{4}\right] \cup\left[\dfrac{3 \pi}{4}, \pi\right)\)
6.\([-1,1]\)
7.\(\left[-\dfrac{1}{6}, \dfrac{5}{3}\right]\)
【题型二】求直线方程
【典题1】根据所给条件求直线方程
\((1)\)直线过点\(A(1 ,2)\),倾斜角\(α\)的正弦值为\(\dfrac{3}{5}\);
\((2)\)直线过点\(A(1 ,3)\),且在两坐标轴上的截距之和为\(8\);
\((3)\)直线过点\(A(2 ,4)\),\(B(-2 ,8)\).
【解析】\(\text { (1) } \because \sin \alpha=\dfrac{3}{5}\),
\(\therefore k=\tan \alpha=\pm \dfrac{3}{4}\),
则直线方程为\(y-2=\pm \dfrac{3}{4}(x-1)\),
\({\color{Red}{(已知斜率与一点,采取点斜式) } }\)
即\(3x-4y+5=0\)或\(3x+4y-11=0\).
(2)
\({\color{Red}{ (x、y轴上的截距都涉及到,优先考虑截距式) } }\)
依题意得,直线的横截距、纵截距均不为\(0\),
可设直线方程为\(\dfrac{x}{m}+\dfrac{y}{8-m}=1\),
代入点\(A(1 ,3)\),可得\(\dfrac{1}{m}+\dfrac{3}{8-m}=1\),解得\(m=2\)或\(m=4\),
所以所求直线方程为\(\dfrac{x}{2}+\dfrac{y}{6}=1\)或\(\dfrac{x}{4}+\dfrac{y}{4}=1\),
即所求直线方程为\(3x+y-6=0\)或\(x+y-4=0\).
(3) \({\color{Red}{(已知直线过两点,可先求出斜率再用点斜式) } }\)
直线斜率\(k=\dfrac{4-8}{2-(-2)}=-1\),
则所求直线方程为\(y-4=-(x-2)\),整理得\(x+y-6=0\).
【点拨】
① 求直线方程的时,要注意各种形式的限制条件;
② 往往可以多种方法求解,注意最优解.
【典题2】 如图所示,在平面直角坐标系\(xOy\)中,已知点\(A(0 ,2)\),\(B(-2 ,0)\),\(C(1 ,0)\),分别以\(AB\),\(AC\)为边向外作正方形\(ABEF\)与\(ACGH\),则点\(H\)的坐标为\(\underline{\quad \quad}\) ,直线\(FH\)的一般式方程为\(\underline{\quad \quad}\) .
【解析】
\({\color{Red}{ (求点H坐标相当求点H到x、y轴距离,用几何知识点求解;再求出点H便可求直线FH方程) } }\)
分别过\(H\)、\(F\)作\(y\)轴的垂线,垂足分别为\(M\)、\(N\),
\(∵\)四边形\(ACGH\)为正方形,
\(∴Rt△AHM≌Rt△CAO\),可得\(AM=OC\),\(MH=OA\),
\(∵A(0 ,2)\),\(C(1 ,0)\),
\(∴MH=OA=2\),\(AM=OC=1\),可得\(OM=OA+AM=3\),
由此可得\(H\)坐标为\((2 ,3)\),同理得到\(F(-2 ,4)\),
\(∴\)直线\(FH\)的斜率为\(k=\dfrac{4-3}{-2-2}=-\dfrac{1}{4}\),
可得直线\(FH\)的方程为\(y-3=-\dfrac{1}{4}(x-2)\),化简得\(x+4y-14=0\).
【点拨】根据题意,可知点\(F\)、\(H\)是确定的,求出两点坐标再求直线\(FH\)方程就不难了.本题利用平几知识点求出点\(F\)、\(H\)的坐标.
巩固练习
1(★) 【多选题】下列说法中,正确的有( )
A.过点\(P(1 ,2)\)且在\(x\)、\(y\)轴截距相等的直线方程为\(x+y-3=0\)
B.直线\(y=3x-2\)在\(y\)轴上的截距为\(-2\)
C.直线\(x-\sqrt{3} y+1=0\)的倾斜角为\(60^°\)
D.过点\((5 ,4)\)并且倾斜角为\(90^°\)的直线方程为\(x-5=0\)
2(★)【多选题】下列有关直线\(l:x+my-1=0(m∈R)\)的说法中不正确的是( )
A.直线\(l\)的斜率为\(-m\)
B.直线\(l\)的斜率为\(-\dfrac{1}{m}\)
C.直线\(l\)过定点\((0 ,1)\)
D.直线\(l\)过定点\((1 ,0)\)
3(★) 已知直线\(mx+3y-12=0\)在两个坐标轴上截距之和为\(7\),则实数\(m\)的值为\(\underline{\quad \quad}\) .
4(★★)若直线过点\((1 ,1)\)且与两坐标轴所围成的三角形的面积为\(2\),则这样的直线有\(\underline{\quad \quad}\) 条.
5(★★) 已知等边\(△ABC\)的两个顶点\(A(0 ,0)\),\(B(4 ,0)\),且第三个顶点在第四象限,则\(BC\)边所在的直线方程是\(\underline{\quad \quad}\) .
参考答案
1.\(BD\)
2.\(ABC\)
3.\(4\)
4.\(3\)
5.\(y=\sqrt{3}(x-4)\)
【题型三】直线方程的综合运用
【典题1】设直线\(l:(3+2λ)x+(4+λ)y-19-6λ=0\),\((λ∈R)\).
(1)求证:直线\(l\)恒过定点\(M\),并求出定点\(M\)坐标;
(2)若直线\(l\)在两坐标轴上的截距相等,求直线l的方程;
(3)设直线\(l\)与\(x\)轴、\(y\)轴的正半轴交于点\(A\),\(B\),求当\(|MA|\cdot |MB|\)(点\(M\)为(1)中的定点)取得最小值时直线\(l\)的方程.
【解析】(1)直线方程化为\(3x+4y-19+λ(2x+y-6)=0\)
由\(\left\{\begin{array}{l}
3 x+4 y-19=0 \\
2 x+y-6=0
\end{array}\right.\),解得\(\left\{\begin{array}{l}
x=1 \\
y=4
\end{array}\right.\),则定点\(M\)为\((1 ,4)\).
\({\color{Red}{ (λ视为参数,过定点的意思是"不管λ取什么值,方程3x+4y-19+λ(2x+y-6)=0均成立",故先把λ提取出来,}}\)
\({\color{Red}{ 满足"0+λ⋅0=0 "这一形式即可,故\left\{\begin{array}{l}
3 x+4 y-19=0 \\
2 x+y-6=0
\end{array}\right.) } }\)
(2) \({\color{Red}{ (截距相等,有可能两个截距均为0,故要分类讨论) } }\)
当直线过原点时,\(-19-6λ=0\), 则\(\lambda=-\dfrac{19}{6}\), 此时直线的方程为\(4x-y=0\).
当直线不过原点时,则\(3+2λ=4+λ\),解得\(λ=1\),
所求直线为\(x+y-5=0\).
综上,直线方程为\(4x-y=0\)或\(x+y-5=0\).
(3)设\(A(a ,0)\),\(B(0 ,b)(a>0 ,b>0)\),
\({\color{Red}{ 方法1 } }\) 则直线l的方程可设为\(\dfrac{x}{a}+\dfrac{y}{b}=1\),
又直线l过点\(M(1 ,4)\), 则\(\dfrac{1}{a}+\dfrac{4}{b}=1\),
\(|M A||M B|=\overrightarrow{A M} \cdot \overrightarrow{M B}\)
\({\color{Red}{ (利用数量积\overrightarrow{A M} \cdot \overrightarrow{M B}=|M A||M B| \cos 0=|M A||M B|把“两线段乘积“变成”向量坐标“处理简单多了) } }\)
\(=(1-a ,4)(-1 ,b-4)=a+4b-17\)
\(=(a+4 b)\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{4}{b}\right)-17\)\({\color{Red}{(基本不等式巧1法) } }\)
\(=\dfrac{4 b}{a}+\dfrac{4 a}{b} \geq 2 \sqrt{\dfrac{4 b}{a} \cdot \dfrac{4 a}{b}}=8\),
当且仅当\(\dfrac{4 b}{a}=\dfrac{4 a}{b}\)且\(\dfrac{1}{a}+\dfrac{4}{b}=1\),即\(a=b=5\)时等号成立,
此时直线方程为\(x+y-5=0\).
\({\color{Red}{ 方法2 } }\) 设直线l的倾斜角为\(α\),由已知可知\(\alpha \in\left(\dfrac{\pi}{2}, \pi\right)\),
如图,\(|M B|=\dfrac{4}{\sin (\pi-\alpha)}=\dfrac{4}{\sin \alpha}\),\(|M A|=\dfrac{1}{\cos (\pi-\alpha)}=-\dfrac{1}{\cos \alpha}\),
\({\color{Red}{(通过图象观察引入变量α表示|MA|\cdot |MB|) } }\)
则\(|M A||M B|=-\dfrac{4}{\sin \alpha \cdot \cos \alpha}=-\dfrac{8}{\sin 2 \alpha}\),
\(\because \alpha \in\left(\dfrac{\pi}{2}, \pi\right)\)\(\therefore-1 \leq \sin 2 \alpha<0\),
显然\(\sin2α=-1\),即\(\alpha=\dfrac{3 \pi}{4}\)时,\(|M A||M B|=-\dfrac{8}{\sin 2 \alpha}\)取到最小值\(8\),
此时直线方程为\(x+y-5=0\).
【点拨】处理线段问题还可以用两点距离公式,而本题中\(|M A||M B|=\sqrt{1+(a-4)^{2}} \cdot \sqrt{(b-1)^{2}+16}\),再用消元法处理,计算量很大.
【典题2】如图,将一块等腰直角三角板\(ABO\)置于平面直角坐标系中,已知\(AB=OB=1\),\(AB⊥OB\),点\(P\left(\dfrac{1}{2}, \dfrac{1}{4}\right)\)是三角板内一点,现因三角板中部分(\(△POB\)内部,不含边界)受损坏,要把损坏的部分锯掉,可用经过\(P\)的任意一直线\(MN\)将其锯成\(△AMN\).
(1)求直线\(MN\)的斜率的取值范围;
(2)若\(P\)点满足\(\overrightarrow{M P}=\dfrac{1}{3} \overrightarrow{P N}\),这样的直线\(MN\)是否存在,如不存在,请说明理由;若存在,求出此时直线\(MN\)的方程;
(3)如何确定直线\(MN\)的斜率,才能使锯成的\(△AMN\)的面积取得最大值和最小值?并求出最值.
\({\color{Red}{(根据观察图象易得k_{P A} \leq k_{M N} \leq k_{P B} \Rightarrow-\dfrac{1}{2} \leq k \leq \dfrac{1}{2},但也可以设直线MN的方程从而求出点M、N的坐标, }}\) \({\color{Red}{ 从而由点M、N的限制求出k_{MN}的范围) } }\)
依题意,得\(MN\)的方程为\(y-\dfrac{1}{4}=k\left(x-\dfrac{1}{2}\right)\),即\(y=k x-\dfrac{2 k-1}{4}\),
因为\(AB⊥OB\),\(|AB|=|OB|=1\),
所以直线\(OA\)的方程为\(y=x\),直线\(AB\)的方程为\(x=1\),
联立\(\left\{\begin{array}{l}
y-\dfrac{1}{4}=k\left(x-\dfrac{1}{2}\right) \\
y=x
\end{array}\right.\),得\(M\left(\dfrac{2 k-1}{4(k-1)}, \dfrac{2 k-1}{4(k-1)}\right)\),
联立\(\left\{\begin{array}{l}
y-\dfrac{1}{4}=k\left(x-\dfrac{1}{2}\right) \\
x=1
\end{array}\right.\),得\(N\left(1, \dfrac{2 k+1}{4}\right)\),
所以\(\left\{\begin{array}{l}
0 \leq \dfrac{2 k-1}{4(k-1)} \leq 1 \\
0 \leq \dfrac{2 k+1}{4} \leq 1
\end{array}\right.\),解得\(-\dfrac{1}{2} \leq k \leq \dfrac{1}{2}\).
所以\(k\)的取值范围为\(\left[-\dfrac{1}{2}, \dfrac{1}{2}\right]\).
\({\color{Red}{(得到M、N的坐标,便于求解第二、三问) } }\)
(2) 若\(\overrightarrow{M P}=\dfrac{1}{3} \overrightarrow{P N}\),可得\(\dfrac{1}{2}-\dfrac{2 k-1}{4(k-1)}=\dfrac{1}{3}\left(1-\dfrac{1}{2}\right)\),解得\(k=-\dfrac{1}{2}\),
所以直线\(MN\)的方程为\(y-\dfrac{1}{4}=-\dfrac{1}{2}\left(x-\dfrac{1}{2}\right)\),
整理得\(x+2y-1=0\).
(3)在\(△AMN\)中,由(1)知,
\(S_{\triangle A M N}=\dfrac{1}{2} \cdot|A N| \cdot h\)\(=\dfrac{1}{2}\left[1-\dfrac{2 k+1}{4}\right]\left[1-\dfrac{2 k-1}{4(k-1)}\right]\)
\(=\dfrac{1}{32}\left[4(1-k)+\dfrac{1}{1-k}+4\right]\),
设\(t=1-k \in\left[\dfrac{1}{2}, \dfrac{3}{2}\right]\),
则\(f(t)=4 t+\dfrac{1}{t}\),
因为\(f(t)\)在\(\left[\dfrac{1}{2}, \dfrac{3}{2}\right]\)是单调递增,
\({\color{Red}{(利用对勾函数的性质易得) } }\)
所以当\(t=\dfrac{3}{2}\)时,\(f(t)=\dfrac{20}{3}\),
即当\(1 -k=\dfrac{3}{2}\),即\(k=-\dfrac{1}{2}\)时,\(S_{\max }=\dfrac{1}{32}\left[\dfrac{20}{3}+4\right]=\dfrac{1}{3}\),
当\(t=\dfrac{1}{2}\)时,\(f(t)=4\),
即当\(1-k=\dfrac{1}{2}\),即\(k=\dfrac{1}{2}\)时,\(S_{\min }=\dfrac{1}{32}[4+4]=\dfrac{1}{4}\),
所以\(k=-\dfrac{1}{2}\)时\(S_{\Delta \max }=\dfrac{1}{3}\);\(k=\dfrac{1}{2}\)时\(S_{\Delta \min }=\dfrac{1}{4}\).
【点拨】
① 本题完成第一、二问,有更简便的方法,但若考虑到第三问,采取了求点M、N坐标的方法,故有时做题要统筹到完成的整道题目,在应试中采取综合时间、得分多方面的最优解.
② 当然本题第三问也有可能还有其他的解法,比如几何法,
如图,设过点\(P\)的直线\(CD\)与线段\(AB\)、\(OA\)、\(y\)轴分别交于\(D\)、\(G\)、\(C\),
由于点\(x_{P}=\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{2} O B\),易证\(PD=PC\),同理可得\(PE=PF\),又因为\(∠DPF=∠EPC\),所以\(∆DPF≅∆EPC\),故\(S_{\Delta D P F}>S_{\Delta G P H}\),即当直线\(CD\)越靠近\(PB\),\(S_{\triangle A M N}\)越大;
故\(k=-\dfrac{1}{2}\)时\(S_{\Delta \max }=\dfrac{1}{3}\);\(k=\dfrac{1}{2}\)时\(S_{\Delta \min }=\dfrac{1}{4}\)..
③ 处理最值问题常见的是几何法(通过观察图象利用几何特点与性质求解)、代数法(引入变量,把所求量的最值问题转化为函数的最值问题).
巩固练习
1(★★) 已知直线\(l\)的方程为:\((2+m)x+(1-2m)y+(4-3m)=0\).
(1)求证:不论\(m\)为何值,直线必过定点\(M\);
(2)过点\(M\)引直线\(l_1\),使它与两坐标轴的负半轴所围成的三角形面积最小,求\(l_1\)的方程.
2(★★★) 已知直线\(l\)经过点\(P(3 ,2)\).
(1)若直线\(l\)在\(x\)轴、\(y\)轴上的截距互为相反数,求直线\(l\)的方程;
(2)若直线\(l\)与\(x\)轴、\(y\)轴的正半轴分别交于\(A\),\(B\)两点.当\(|PA|^2+|PB|^2\)取得最小值时,求直线\(l\)的方程.
3(★★★) 如图,射线\(OA\),\(OB\)与\(x\)轴正半轴的夹角分别为\(45^°\)和\(30^°\),过点\(P(1 ,0)\)的直线\(l\)分别交\(OA\),\(OB\)于点\(A\),\(B\).
(1)当线段\(AB\)的中点为\(P\)时,求\(l\)的方程;
(2)当线段\(AB\)的中点在直线\(y=\dfrac{x}{2}\)上时,求\(l\)的方程.
4(★★★) 已知直线\(l\):\(kx-y+1+2k=0(k∈R)\).
(1)证明:直线\(l\)过定点;
(2)若直线不经过第四象限,求\(k\)的取值范围;
(3)若直线\(l\)交\(x\)轴负半轴于\(A\),交\(y\)轴正半轴于\(B\),\(△AOB\)的面积为\(S\),求\(S\)的最小值并求此时直线\(l\)的方程.
5(★★★) 在直角坐标系中,已知射线\(OA:x-y=0(x≥0)\),过点\(P(3 ,1)\)作直线分别交射线\(OA\),\(x\)轴正半轴于点\(A\)、\(B\).
(1)当\(AB\)的中点为\(P\)时,求直线\(AB\)的方程;
(2)求\(PA\cdot PB\)的最小值.
参考答案
1.\((1) M(-1,-2)\)\((2) 2x+y+4=0\)
2.\((1) x-y-1=0\)或\(2x-3y=0\)
\(\text { (2) } \sqrt{2} x+\sqrt{3} y-2 \sqrt{3}-3 \sqrt{2}=0\)
3.\(\text { (1) } y=-(\sqrt{3}+1)(x-1)\)\(\text { (2) } y=\dfrac{1}{2}(3+\sqrt{3})(x-1)\)
4.\((1) (-2 ,1) \quad (2) [0 ,+∞) \quad (3) x-2y+4=0\)
5.\((1) x+y-4=0 \quad (2) 4(\sqrt{2}-1)\)