2.1 直线的倾斜角与斜率、直线的方程

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模块导图

知识剖析

直线的倾斜角与斜率

1 直线的倾斜角
(1) 定义
当直线 $l$ 与 $x$ 轴相交时，取 $x$ 轴作为基准，$x$ 轴正向与直线 $l$ 向上方向之间所成的角 $α$ 叫做直线 $l$ 的倾斜角.

特别地，当直线 $l$ 与 $x$ 轴平行或重合时，规定 $α=0^∘$.
(2) 范围
$\alpha \in\left[0^{\circ}, 180^{\circ}\right)$.$l$ 与 $x$ 轴垂直时，$α=90^∘$.
 

2 直线的斜率
(1) 定义
直线的斜率就是直线倾斜角的正切值，记作 $k=\tan α(α≠ 90^∘)$.
当直线 $l$ 与 $x$ 轴平行或重合时，$α=0^∘$，$k=tan 0^∘=0$;
当直线 $l$ 与 $x$ 轴垂直时，$α=90^∘$,$k$ 不存在.
 

(2) 倾斜角 $α$ 与斜率 $k$ 之间的关系
$k=\tan α$，$α∈[0^∘ ,180^∘)$，
如左图，当 $α∈[0^∘ ,90^∘)$ 时，$k(α)$ 是递增的；
右图中斜率为 $k_1$,$k_2$ 的直线对应的倾斜角为 $α_1$,$α_2$，其中 $0<\alpha_{2}<\alpha_{1}<\dfrac{\pi}{2}$，而 $k_1>k_2>0$；
如左图，当 $α∈(90^∘ ,180^∘)$ 时，$k(α)$ 也是递增的；
右图中斜率为 $k_3$,$k_4$ 的直线对应的倾斜角为 $α_3$,$α_4$，
其中 $\dfrac{\pi}{2}<\alpha_{3}<\alpha_{4}<\pi$，而 $k_3<k_4<0$.
${\color {Red}{(简而言之，斜率大小看倾斜角，直线越陡斜率绝对值 | k | 越大) } }$

 

(3) 斜率公式
经过两点 $P_1 (x_1 ,y_1)$,$P_2 (x_2 ,y_2)$$(x_1≠ x_2)$ 的直线的斜率公式是 $k==\dfrac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}$.
使用斜率公式的时候要注意 $x_1≠ x_2$ 的前提条件.
 

(4) 求斜率的方法
(1) 已知直线上两点，根据斜率公式 $k==\dfrac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}\left(x_{1} \neq x_{2}\right)$ 求斜率；
(2) 已知直线的倾斜角 $α$ 或 $α$ 的某种三角函数根据 $k=\tan α(α≠ 90^∘)$ 来求斜率.
 

(5) 利用斜率证明三点共线的方法
已知 $A(x_1 ,y_1)$,$B(x_2 ,y_2)$,$C(x_3 ,y_3)$，
若 $x_1=x_2=x_3$ 或 $k_{AB}=k_{BC}$，则有 $A$、$B$、$C$ 三点共线.
 

直线的方程

1 直线方程的几种形式

 

2 易错点
$(1)$ 利用点斜式求直线方程时，需要先判断斜率存在与否.
$(2)$ 截距与距离的区别：截距的值有正、负、零。距离的值是非负数.
$(3)$ 用截距式方程表示直线时，要注意方程的条件限制为两个截距均不能为零.
 

经典例题

【题型一】直线的倾斜角与斜率的关系

【典题 1】已知直线过 $A(3,m+1)$,$B(4,2m+1)$ 两点且倾斜角为 $\dfrac{5}{6} \pi$，则 $m$ 的值为 $\underline{\quad \quad}$ .
【解析】因直线 $AB$ 的倾斜角为 $\dfrac{5}{6} \pi$，则其斜率 $k=\tan \dfrac{5}{6} \pi=-\dfrac{\sqrt{3}}{3}$，
又由 $A(3,m+1)$,$B(4,2m+1)$，
则 $AB$ 的斜率 $k=\dfrac{(2 m+1)-(m+1)}{4-3}=m$，
则有 $m=-\dfrac{\sqrt{3}}{3}$．
【点拨】求斜率有两种方法:$k=\tan α$ 与斜率公式 $k=\dfrac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}$.

 

【典题 2】直线 $x+y\cosθ-5=0$ 的倾斜角 $α$ 的取值范围是 $\underline{\quad \quad}$ .
【解析】
${\color {Red}{ (直线一般式 ax+by+c=0 (b≠0) 化为斜截式可知斜率 k=-\dfrac {a}{b}，注意斜率是否存在) } }$
若 $\cosθ=0$，则直线方程为 $x=5$，即倾斜角 $\alpha=\dfrac{\pi}{2}$；
若 $\cos \theta \neq 0$，则直线方程为 $y=-\dfrac{1}{\cos \theta} x+\dfrac{5}{\cos \theta}$，即 $\tan \alpha=-\dfrac{1}{\cos \theta}$，
$∵\cosθ∈[-1 ,0)∪(0 ,1]$，
$\therefore-\dfrac{1}{\cos \theta} \leq-1$ 或 $-\dfrac{1}{\cos \theta} \geq 1$，
即 $\tan \alpha \leq-1$ 或 $\tan \alpha \geq 1$，解得 $\alpha \in\left[\dfrac{\pi}{4}, \dfrac{\pi}{2}\right) \cup\left(\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{3 \pi}{4}\right]$，
${\color {Red}{ (结合 y=\tanα 图象可求) } }$
综上可得 $\alpha \in\left[\dfrac{\pi}{4}, \dfrac{3 \pi}{4}\right]$.
 

【典题 3】设点 $A(2 ,-3)$，$B(-3 ,-2)$，直线 $l$ 过点 $P(1 ,1)$ 且与线段 $AB$ 相交，则 l 的斜率 $k$ 的取值范围为 $\underline{\quad \quad}$ .
【解析】如图所示，设直线 $l$ 与线段 $AB$ 交于点 $C$，

当 $PC⊥x$ 轴时直线 $l$ 与线段 $AB$ 交于点 $D$，
当点 $C$ 在 $BD$ 上运动时，斜率 $k$ 满足 $k≥k_{PB}$，
当点 $C$ 在 $DA$ 上运动时，$k≤k_{PA}$，
即 $k \geq \dfrac{1+2}{1+3}=\dfrac{3}{4}$ 或 $k \leq \dfrac{1+3}{1-2}=-4$，
$\therefore k \geq \dfrac{3}{4}$ 或 $k≤-4$，
即直线的斜率的取值范围是 $\left[\dfrac{3}{4},+\infty\right) \cup(-\infty,-4]$．
【点拨】
① 注意理解直线斜率与倾斜角之间的关系与斜率大小的比较方法，结合图象思考；
② 注意到直线 $l$ 与 $x$ 轴垂直的临界处.
 

巩固练习

1(★) 下列叙述正确的是 (　　)
A．平面直角坐标系内的任意一条直线都存在倾斜角和斜率
B．直线倾斜角 $α$ 的取值范围是 $0^°≤α<180^°$
C．若一条直线的倾斜角为 $α(α≠90^°)$，则此直线的斜率为 $\tanα$
D．与坐标轴垂直的直线的倾斜角是 $0^°$ 或 $90^°$
 

2(★) 若直线经过两点 $A(m ,2)$，$B(-m ,2m-1)$ 且倾斜角为 $45°$，则 $m$ 的值为 $\underline{\quad \quad}$ .
 

3(★★) 已知在直角坐标系中，等边 $△ABC$ 中 $A$ 与原点重合，若 $AB$ 的斜率为 $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$，则 $BC$ 的斜率可能为 $\underline{\quad \quad}$ .
 

4(★★) 已知 $θ∈R$，则直线 $x \sin \theta-\sqrt{3} y+1=0$ 的倾斜角的取值范围是 $\underline{\quad \quad}$ .
 

5(★★) 直线 $l$ 经过点 $A(2,1)$,$B(3,t^2)$，$(-\sqrt{2} \leq t \leq \sqrt{2})$，则直线 $l$ 倾斜角的取值范围是 $\underline{\quad \quad}$ .
 

6(★★★) 已知两点 $A(-3 ,4)$，$B(3 ,2)$，过点 $P(1 ,0)$ 的直线 $l$ 与线段 $AB$ 有公共点，则直线 $l$ 的斜率 $k$ 的取值范围是 $\underline{\quad \quad}$ .
 

7(★★★)$P(x ,y)$ 在线段 $AB$ 上运动，已知 $A(2 ,4)$,$B(5 ,-2)$，则 $\dfrac{y+1}{x+1}$ 的取值范围是 $\underline{\quad \quad}$ .
 

参考答案

1.$BCD$
2.$\dfrac{3}{4}$
3.$-\dfrac{\sqrt{3}}{5}$
4.$\left[0, \dfrac{\pi}{6}\right] \cup\left[\dfrac{5 \pi}{6}, \pi\right)$
5.$\left[0, \dfrac{\pi}{4}\right] \cup\left[\dfrac{3 \pi}{4}, \pi\right)$
6.$[－1,1]$
7.$\left[-\dfrac{1}{6}, \dfrac{5}{3}\right]$

 

【题型二】求直线方程

【典题 1】根据所给条件求直线方程
$(1)$ 直线过点 $A(1 ,2)$，倾斜角 $α$ 的正弦值为 $\dfrac{3}{5}$；
$(2)$ 直线过点 $A(1 ,3)$，且在两坐标轴上的截距之和为 $8$；
$(3)$ 直线过点 $A(2 ,4)$，$B(-2 ,8)$.
【解析】$\text { (1) } \because \sin \alpha=\dfrac{3}{5}$，
$\therefore k=\tan \alpha=\pm \dfrac{3}{4}$，
则直线方程为 $y-2=\pm \dfrac{3}{4}(x-1)$，
${\color {Red}{(已知斜率与一点，采取点斜式) } }$
即 $3x-4y+5=0$ 或 $3x+4y-11=0$.
(2)
${\color {Red}{ (x、y 轴上的截距都涉及到，优先考虑截距式) } }$
依题意得，直线的横截距、纵截距均不为 $0$，
可设直线方程为 $\dfrac{x}{m}+\dfrac{y}{8-m}=1$，
代入点 $A(1 ,3)$，可得 $\dfrac{1}{m}+\dfrac{3}{8-m}=1$，解得 $m=2$ 或 $m=4$，
所以所求直线方程为 $\dfrac{x}{2}+\dfrac{y}{6}=1$ 或 $\dfrac{x}{4}+\dfrac{y}{4}=1$，
即所求直线方程为 $3x+y-6=0$ 或 $x+y-4=0$.
(3) ${\color {Red}{(已知直线过两点，可先求出斜率再用点斜式) } }$
直线斜率 $k=\dfrac{4-8}{2-(-2)}=-1$，
则所求直线方程为 $y-4=-(x-2)$，整理得 $x+y-6=0$.
【点拨】
① 求直线方程的时，要注意各种形式的限制条件；
② 往往可以多种方法求解，注意最优解.
 

【典题 2】 如图所示，在平面直角坐标系 $xOy$ 中，已知点 $A(0 ,2)$，$B(-2 ,0)$，$C(1 ,0)$，分别以 $AB$，$AC$ 为边向外作正方形 $ABEF$ 与 $ACGH$，则点 $H$ 的坐标为 $\underline{\quad \quad}$ ，直线 $FH$ 的一般式方程为 $\underline{\quad \quad}$ ．

【解析】
${\color {Red}{ (求点 H 坐标相当求点 H 到 x、y 轴距离，用几何知识点求解；再求出点 H 便可求直线 FH 方程) } }$
分别过 $H$、$F$ 作 $y$ 轴的垂线，垂足分别为 $M$、$N$，
$∵$ 四边形 $ACGH$ 为正方形，
$∴Rt△AHM≌Rt△CAO$，可得 $AM=OC$，$MH=OA$，
$∵A(0 ,2)$，$C(1 ,0)$，
$∴MH=OA=2$，$AM=OC=1$，可得 $OM=OA+AM=3$，
由此可得 $H$ 坐标为 $(2 ,3)$，同理得到 $F(-2 ,4)$，
$∴$ 直线 $FH$ 的斜率为 $k=\dfrac{4-3}{-2-2}=-\dfrac{1}{4}$，
可得直线 $FH$ 的方程为 $y-3=-\dfrac{1}{4}(x-2)$，化简得 $x+4y-14=0$．
【点拨】根据题意，可知点 $F$、$H$ 是确定的，求出两点坐标再求直线 $FH$ 方程就不难了。本题利用平几知识点求出点 $F$、$H$ 的坐标.
 

巩固练习

1(★) 【多选题】下列说法中，正确的有 (　　)
A．过点 $P(1 ,2)$ 且在 $x$、$y$ 轴截距相等的直线方程为 $x+y-3=0$
B．直线 $y=3x-2$ 在 $y$ 轴上的截距为 $-2$
C．直线 $x-\sqrt{3} y+1=0$ 的倾斜角为 $60^°$
D．过点 $(5 ,4)$ 并且倾斜角为 $90^°$ 的直线方程为 $x-5=0$
 

2(★)【多选题】下列有关直线 $l：x+my-1=0(m∈R)$ 的说法中不正确的是 (　　)
A．直线 $l$ 的斜率为 $-m$
B．直线 $l$ 的斜率为 $-\dfrac{1}{m}$
C．直线 $l$ 过定点 $(0 ,1)$
D．直线 $l$ 过定点 $(1 ,0)$
 

3(★) 已知直线 $mx+3y-12=0$ 在两个坐标轴上截距之和为 $7$，则实数 $m$ 的值为 $\underline{\quad \quad}$ .
 

4(★★) 若直线过点 $(1 ,1)$ 且与两坐标轴所围成的三角形的面积为 $2$，则这样的直线有 $\underline{\quad \quad}$ 条.
 

5(★★) 已知等边 $△ABC$ 的两个顶点 $A(0 ,0)$,$B(4 ,0)$，且第三个顶点在第四象限，则 $BC$ 边所在的直线方程是 $\underline{\quad \quad}$ .
 

参考答案

1.$BD$
2.$ABC$
3.$4$
4.$3$
5.$y=\sqrt{3}(x-4)$

 

【题型三】直线方程的综合运用

【典题 1】设直线 $l：(3+2λ)x+(4+λ)y-19-6λ=0$,$(λ∈R)$．
(1) 求证：直线 $l$ 恒过定点 $M$，并求出定点 $M$ 坐标；
(2) 若直线 $l$ 在两坐标轴上的截距相等，求直线 l 的方程；
(3) 设直线 $l$ 与 $x$ 轴、$y$ 轴的正半轴交于点 $A$,$B$，求当 $|MA|\cdot |MB|$(点 $M$ 为 (1) 中的定点) 取得最小值时直线 $l$ 的方程．
【解析】(1) 直线方程化为 $3x+4y-19+λ(2x+y-6)=0$
由 $\left\{\begin{array}{l} 3 x+4 y-19=0 \\ 2 x+y-6=0 \end{array}\right.$，解得 $\left\{\begin{array}{l} x=1 \\ y=4 \end{array}\right.$，则定点 $M$ 为 $(1 ,4)$．
${\color {Red}{ (λ 视为参数，过定点的意思是 "不管 λ 取什么值，方程 3x+4y-19+λ(2x+y-6)=0 均成立"，故先把 λ 提取出来，}}$
${\color {Red}{ 满足 "0+λ⋅0=0" 这一形式即可，故 \left\{\begin {array}{l} 3 x+4 y-19=0 \\ 2 x+y-6=0 \end {array}\right.) } }$
(2) ${\color {Red}{ (截距相等，有可能两个截距均为 0，故要分类讨论) } }$
当直线过原点时，$-19-6λ=0$, 则 $\lambda=-\dfrac{19}{6}$, 此时直线的方程为 $4x-y=0$．
当直线不过原点时，则 $3+2λ=4+λ$，解得 $λ=1$，
所求直线为 $x+y-5=0$．
综上，直线方程为 $4x-y=0$ 或 $x+y-5=0$．
(3) 设 $A(a ,0)$，$B(0 ,b)(a>0 ,b>0)$，
${\color {Red}{ 方法 1 } }$ 则直线 l 的方程可设为 $\dfrac{x}{a}+\dfrac{y}{b}=1$，
又直线 l 过点 $M(1 ,4)$, 则 $\dfrac{1}{a}+\dfrac{4}{b}=1$，
$|M A||M B|=\overrightarrow{A M} \cdot \overrightarrow{M B}$
${\color {Red}{ (利用数量积 \overrightarrow {A M} \cdot \overrightarrow {M B}=|M A||M B| \cos 0=|M A||M B | 把 “两线段乘积 “变成” 向量坐标 “处理简单多了) } }$
$=(1-a ,4)(-1 ,b-4)=a+4b-17$
$=(a+4 b)\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{4}{b}\right)-17$${\color {Red}{(基本不等式巧 1 法) } }$
$=\dfrac{4 b}{a}+\dfrac{4 a}{b} \geq 2 \sqrt{\dfrac{4 b}{a} \cdot \dfrac{4 a}{b}}=8$，
当且仅当 $\dfrac{4 b}{a}=\dfrac{4 a}{b}$ 且 $\dfrac{1}{a}+\dfrac{4}{b}=1$，即 $a=b=5$ 时等号成立，
此时直线方程为 $x+y-5=0$．
${\color {Red}{ 方法 2 } }$ 设直线 l 的倾斜角为 $α$，由已知可知 $\alpha \in\left(\dfrac{\pi}{2}, \pi\right)$，
如图，$|M B|=\dfrac{4}{\sin (\pi-\alpha)}=\dfrac{4}{\sin \alpha}$，$|M A|=\dfrac{1}{\cos (\pi-\alpha)}=-\dfrac{1}{\cos \alpha}$，

${\color {Red}{(通过图象观察引入变量 α 表示 | MA|\cdot |MB|) } }$
则 $|M A||M B|=-\dfrac{4}{\sin \alpha \cdot \cos \alpha}=-\dfrac{8}{\sin 2 \alpha}$，
$\because \alpha \in\left(\dfrac{\pi}{2}, \pi\right)$$\therefore-1 \leq \sin 2 \alpha<0$，
显然 $\sin2α=-1$，即 $\alpha=\dfrac{3 \pi}{4}$ 时，$|M A||M B|=-\dfrac{8}{\sin 2 \alpha}$ 取到最小值 $8$，
此时直线方程为 $x+y-5=0$．
【点拨】处理线段问题还可以用两点距离公式，而本题中 $|M A||M B|=\sqrt{1+(a-4)^{2}} \cdot \sqrt{(b-1)^{2}+16}$，再用消元法处理，计算量很大.
 

【典题 2】如图，将一块等腰直角三角板 $ABO$ 置于平面直角坐标系中，已知 $AB=OB=1$，$AB⊥OB$，点 $P\left(\dfrac{1}{2}, \dfrac{1}{4}\right)$ 是三角板内一点，现因三角板中部分 ($△POB$ 内部，不含边界) 受损坏，要把损坏的部分锯掉，可用经过 $P$ 的任意一直线 $MN$ 将其锯成 $△AMN$．
(1) 求直线 $MN$ 的斜率的取值范围；
(2) 若 $P$ 点满足 $\overrightarrow{M P}=\dfrac{1}{3} \overrightarrow{P N}$，这样的直线 $MN$ 是否存在，如不存在，请说明理由；若存在，求出此时直线 $MN$ 的方程；
(3) 如何确定直线 $MN$ 的斜率，才能使锯成的 $△AMN$ 的面积取得最大值和最小值？并求出最值．

${\color {Red}{(根据观察图象易得 k_{P A} \leq k_{M N} \leq k_{P B} \Rightarrow-\dfrac {1}{2} \leq k \leq \dfrac {1}{2}，但也可以设直线 MN 的方程从而求出点 M、N 的坐标， }}$ ${\color {Red}{ 从而由点 M、N 的限制求出 k_{MN} 的范围) } }$
依题意，得 $MN$ 的方程为 $y-\dfrac{1}{4}=k\left(x-\dfrac{1}{2}\right)$，即 $y=k x-\dfrac{2 k-1}{4}$，
因为 $AB⊥OB$，$|AB|=|OB|=1$，
所以直线 $OA$ 的方程为 $y=x$，直线 $AB$ 的方程为 $x=1$，
联立 $\left\{\begin{array}{l} y-\dfrac{1}{4}=k\left(x-\dfrac{1}{2}\right) \\ y=x \end{array}\right.$，得 $M\left(\dfrac{2 k-1}{4(k-1)}, \dfrac{2 k-1}{4(k-1)}\right)$，
联立 $\left\{\begin{array}{l} y-\dfrac{1}{4}=k\left(x-\dfrac{1}{2}\right) \\ x=1 \end{array}\right.$，得 $N\left(1, \dfrac{2 k+1}{4}\right)$，
所以 $\left\{\begin{array}{l} 0 \leq \dfrac{2 k-1}{4(k-1)} \leq 1 \\ 0 \leq \dfrac{2 k+1}{4} \leq 1 \end{array}\right.$，解得 $-\dfrac{1}{2} \leq k \leq \dfrac{1}{2}$．
所以 $k$ 的取值范围为 $\left[-\dfrac{1}{2}, \dfrac{1}{2}\right]$．
${\color {Red}{(得到 M、N 的坐标，便于求解第二、三问) } }$
(2) 若 $\overrightarrow{M P}=\dfrac{1}{3} \overrightarrow{P N}$，可得 $\dfrac{1}{2}-\dfrac{2 k-1}{4(k-1)}=\dfrac{1}{3}\left(1-\dfrac{1}{2}\right)$，解得 $k=-\dfrac{1}{2}$，
所以直线 $MN$ 的方程为 $y-\dfrac{1}{4}=-\dfrac{1}{2}\left(x-\dfrac{1}{2}\right)$，
整理得 $x+2y-1=0$．
(3) 在 $△AMN$ 中，由 (1) 知，
$S_{\triangle A M N}=\dfrac{1}{2} \cdot|A N| \cdot h$$=\dfrac{1}{2}\left[1-\dfrac{2 k+1}{4}\right]\left[1-\dfrac{2 k-1}{4(k-1)}\right]$
$=\dfrac{1}{32}\left[4(1-k)+\dfrac{1}{1-k}+4\right]$，
设 $t=1-k \in\left[\dfrac{1}{2}, \dfrac{3}{2}\right]$，
则 $f(t)=4 t+\dfrac{1}{t}$，
因为 $f(t)$ 在 $\left[\dfrac{1}{2}, \dfrac{3}{2}\right]$ 是单调递增，
${\color {Red}{(利用对勾函数的性质易得) } }$
所以当 $t=\dfrac{3}{2}$ 时，$f(t)=\dfrac{20}{3}$，
即当 $1 -k=\dfrac{3}{2}$，即 $k=-\dfrac{1}{2}$ 时，$S_{\max }=\dfrac{1}{32}\left[\dfrac{20}{3}+4\right]=\dfrac{1}{3}$，
当 $t=\dfrac{1}{2}$ 时，$f(t)=4$，
即当 $1-k=\dfrac{1}{2}$，即 $k=\dfrac{1}{2}$ 时，$S_{\min }=\dfrac{1}{32}[4+4]=\dfrac{1}{4}$，
所以 $k=-\dfrac{1}{2}$ 时 $S_{\Delta \max }=\dfrac{1}{3}$；$k=\dfrac{1}{2}$ 时 $S_{\Delta \min }=\dfrac{1}{4}$．
【点拨】
① 本题完成第一、二问，有更简便的方法，但若考虑到第三问，采取了求点 M、N 坐标的方法，故有时做题要统筹到完成的整道题目，在应试中采取综合时间、得分多方面的最优解.
② 当然本题第三问也有可能还有其他的解法，比如几何法，
如图，设过点 $P$ 的直线 $CD$ 与线段 $AB$、$OA$、$y$ 轴分别交于 $D$、$G$、$C$，
由于点 $x_{P}=\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{2} O B$，易证 $PD=PC$，同理可得 $PE=PF$，又因为 $∠DPF=∠EPC$，所以 $∆DPF≅∆EPC$，故 $S_{\Delta D P F}>S_{\Delta G P H}$，即当直线 $CD$ 越靠近 $PB$，$S_{\triangle A M N}$ 越大；
故 $k=-\dfrac{1}{2}$ 时 $S_{\Delta \max }=\dfrac{1}{3}$；$k=\dfrac{1}{2}$ 时 $S_{\Delta \min }=\dfrac{1}{4}$．.

③ 处理最值问题常见的是几何法 (通过观察图象利用几何特点与性质求解)、代数法 (引入变量，把所求量的最值问题转化为函数的最值问题).
 

巩固练习

1(★★) 已知直线 $l$ 的方程为：$(2+m)x+(1-2m)y+(4-3m)=0$．
(1) 求证：不论 $m$ 为何值，直线必过定点 $M$；
(2) 过点 $M$ 引直线 $l_1$，使它与两坐标轴的负半轴所围成的三角形面积最小，求 $l_1$ 的方程．
 
 

2(★★★) 已知直线 $l$ 经过点 $P(3 ,2)$．
(1) 若直线 $l$ 在 $x$ 轴、$y$ 轴上的截距互为相反数，求直线 $l$ 的方程；
(2) 若直线 $l$ 与 $x$ 轴、$y$ 轴的正半轴分别交于 $A$,$B$ 两点．当 $|PA|^2+|PB|^2$ 取得最小值时，求直线 $l$ 的方程．
 
 

3(★★★) 如图，射线 $OA$,$OB$ 与 $x$ 轴正半轴的夹角分别为 $45^°$ 和 $30^°$，过点 $P(1 ,0)$ 的直线 $l$ 分别交 $OA$，$OB$ 于点 $A$,$B$．
(1) 当线段 $AB$ 的中点为 $P$ 时，求 $l$ 的方程；
(2) 当线段 $AB$ 的中点在直线 $y=\dfrac{x}{2}$ 上时，求 $l$ 的方程．

 
 

4(★★★) 已知直线 $l$：$kx－y+1+2k=0(k∈R)$．
(1) 证明：直线 $l$ 过定点；
(2) 若直线不经过第四象限，求 $k$ 的取值范围；
(3) 若直线 $l$ 交 $x$ 轴负半轴于 $A$，交 $y$ 轴正半轴于 $B$，$△AOB$ 的面积为 $S$，求 $S$ 的最小值并求此时直线 $l$ 的方程．
 
 

5(★★★) 在直角坐标系中，已知射线 $OA：x-y=0(x≥0)$，过点 $P(3 ,1)$ 作直线分别交射线 $OA$，$x$ 轴正半轴于点 $A$、$B$．
(1) 当 $AB$ 的中点为 $P$ 时，求直线 $AB$ 的方程；
(2) 求 $PA\cdot PB$ 的最小值．
 
 

参考答案

1.$(1) M(-1,-2)$$(2) 2x+y+4=0$

2.$(1) x-y-1=0$ 或 $2x-3y=0$

$\text { (2) } \sqrt{2} x+\sqrt{3} y-2 \sqrt{3}-3 \sqrt{2}=0$

3.$\text { (1) } y=-(\sqrt{3}+1)(x-1)$$\text { (2) } y=\dfrac{1}{2}(3+\sqrt{3})(x-1)$

4.$(1) (-2 ,1) \quad (2) [0 ,+∞) \quad (3) x-2y+4=0$

5.$(1) x+y-4=0 \quad (2) 4(\sqrt{2}-1)$