4.3 函数的应用
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知识剖析
函数模型
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增长快慢比较
\(V\left(a^{x}\right)>V\left(x^{n}\right)>V\left(\log _{a} x\right)\)
\(V(k x)>V\left(\log _{a} x\right)\)
常见函数图象
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函数的零点
① 函数零点的概念
对于函数\(y=f(x)\),使\(f(x)=0\)的实数\(x\)叫做函数的零点.
② 方程根与函数零点的关系
方程\(f(x)=0\)有实数根\(x_0\)
\(⇔\)函数\(y=f(x)\)有零点\(x_0\)
\(⇔\)函数\(y=f(x)\)的图象与\(x\)轴有交点,且交点横坐标为\(x_0\).
如 方程\(2^x-4=0\)的实数根是\(x=2\),
函数\(f(x)=2^x-4\)与\(x\)轴的交点横坐标是\(2\),
函数\(f(x)=2^x-4\)的零点是\(2\),而不是\((2 ,0)\).
拓展
方程\(f(x)=g(x)\)有实数根\(x_0\)
\(⇔\)函数\(y=f(x)\)与函数\(y=g(x)\)有交点,且交点横坐标为\(x_0\).
\({\color{Red}{解惑}}\) 若让你求解\(x^2-2^x=0\)?可能知道\(x=2\),那是否只有一个实数根呢?
而方程\(x^2-2^x=0\)的实数根
\(⇔\)函数\(f(x)=x^2\)与函数\(g(x)=2^x\)的交点横坐标
如图就较容易得到,方程\(x^2-2^x=0\)实数根有\(3\)个\(x_1∈(-1 ,0)\),\(x_2=2\),\(x_3=4\).
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③求函数零点方法
(1) (代数法) 求方程\(f(x)=0\)的实数根.
(2) (几何法) 利用函数的图象,根据函数的性质判断零点是否存在或找出零点位置.
函数零点定理
如果函数\(y=f(x)\)在\([a ,b]\)上的图象是连续不断的,且\(f(a)f(b)<0\),那么函数\(y=f(x)\)在\((a ,b)\)至少有一个零点\(c\),即存在\(c∈(a ,b)\),使得\(f(c)=0\),这个\(c\)也就是方程\(f(x)=0\)的解.
二分法
① 二分法的概念
对于在区间\([a ,b]\)上连续不断且\(f(a)f(b)<0\)的函数\(y=f(x)\),通过不断地把它的零点所在区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的方法叫做二分法.
② 用二分法求方程近似解的步骤
\((1)\)确定区间\([a ,b]\),验证\(f(a)f(b)<0\),给定精确度ε;
\((2)\)求区间\((a ,b)\)的中点\(c\);
\((3)\)计算\(f(c)\),
\((i)\)若\(f(c)\), 则\(c\)就是函数的零点;
\((ii)\)若\(f(a)f(c)<0\),则令\(b=c\)(此时零点\(x_0∈(a ,c)\))
\((iii)\)若\(f(c)f(b)<0\),则令\(a=c\)(此时零点\(x_0∈(c ,b)\))
\((4)\)判断是否达到精确度\(ε\):即若\(|a-b|<ε\),则得到零点近似值为\(a\)(或\(b\));否则重复\((2)-(4)\).
经典例题
【题型一】不同函数模型的认识
【典题1】 惠州市某学校物理兴趣小组在实验测试中收集到一组数据如表所示:
用下列函数中的一个近似地表示这些数据满足的规律,其中最接近的一个是( )
A.\(v=\log_2t\) \(\qquad \qquad\)B.\(v=\log _{\frac{1}{2}} t\) \(\qquad \qquad\) C.\(v=\dfrac{t^{2}-1}{2}\) \(\qquad \qquad\)D.\(v=2t-2\)
【解析】 \({\color{Red}{方法1}}\) 由表可知:\(v\)是关于\(t\)的增函数;且增幅随\(t\)的增大而增大,故只有\(C\)满足要求.故选\(C\).
\({\color{Red} {方法2}}\) 作出散点图,如图,
由函数拟合可知只有\(C\)满足要求.故选\(C\).
\({\color{Red}{方法3}}\) 由表可知:\(v\)是关于\(t\)的增函数;故\(B\)不适合;
对于\(A\):\(\log _{2} 1.99 \approx 2\),\(\log _{2} 3 \approx 0.3\),\(\log _{2} 4=2\);故\(A\)不接近;
对于\(C\):\(\dfrac{1.99^{2}-1}{2} \approx 1.5\),\(\dfrac{3^{2}-1}{2}=4\),\(\dfrac{4^{2}-1}{2}=7.5\),\(\dfrac{5.1^{2}-1}{2} \approx 12.5\),\(\dfrac{6.12^{2}-1}{2} \approx 18.2\).故\(C\)接近;
对于\(D\):\(2×1.99-2=1.98\),\(2×3-2=4\),\(2×4-2=6\),\(2×5.1-2=8.2\),
\(2×6.12-2=10.24\),故\(D\)不接近.
故选\(C\).
【点拨】
判断最佳函数模型,方法如下
① 根据数据的增减性和增幅,排除不符合的函数;
② 根据表格描点做出散点图,结合常见函数模型进行判断;
③ 代点法,把数值代入函数中,若数值偏离较远则排除.
【典题2】 假设有一套住房从\(2002\)年的\(20\)万元上涨到\(2012\)年的\(40\)万元.如表给出了两种价格增长方式,其中\(P_1\)是按直线上升的房价,\(P_2\)是按指数增长的房价,\(t\)是\(2002\)年以来经过的年数.
(1)求函数\(P_1=f(t)\)的解析式;
(2)求函数\(P_2=g(t)\)的解析式;
(3)完成上表空格中的数据,并在同一直角坐标系中画出两个函数的图象,然后比较两种
【解析】 (1)由题意可设\(P_1=f(t)=mt+n\)
\(∵\)当\(t=0\)时,\(P_1=20\);当\(t=10\)时,\(P_1=40\),
\(\therefore\left\{\begin{array}{l}
n=20 \\
10 m+n=40
\end{array}\right.\),解得\(\left\{\begin{array}{l}
m=2 \\
n=20
\end{array}\right.\),
\(∴P_1=f(t)=2t+20\);
(2)由题意可设\(P_2=g(t)=k\cdot a^t\),
\(∵\)当\(t=0\)时,\(P_2=20\);当\(t=10\)时,\(P_2=40\),
\(\therefore\left\{\begin{array}{c}
k=20 \\
k \cdot a^{10}=40
\end{array}\right.\),解得\(\left\{\begin{array}{l}
k=20 \\
a=2^{\frac{1}{10}}
\end{array}\right.\),
\(\therefore P_{2}=g(t)=20 \times 2^{\frac{t}{10}}\);
(3)表中数据如下:
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在同一直角坐标系中画出两个函数的图象,如图所示:
有图象可知,\(P_1=f(t)=2t+20\)呈直线增长,增长速度较慢;\(P_{2}=g(t)=20 \times 2^{\frac{t}{10}}\)呈指数型增长,增长速度较快.
【点拨】 求函数的解析式,当已知函数类型时用“待定系数法”.
【题型二】不同函数模型的应用
【典题1】 某地为践行绿水青山就是金山银山的理念,大力开展植树造林.假设一片森林原来的面积为\(a\)亩,计划每年种植一些树苗,且森林面积的年增长率相同,当面积是原来的\(2\)倍时,所用时间是\(10\)年.
(1)求森林面积的年增长率;
(2)到今年为止,森林面积为原来的\(\sqrt{2}\)倍,则该地已经植树造林多少年?
(3)为使森林面积至少达到\(6a\)亩至少需要植树造林多少年?
(参考数据:\(\lg2=0.3010\),\(lg3=0.4771\))
【解析】 (1)设森林面积的年增长率为\(x\),
则\(a(1+x)^{10}=2a\),解得\(x=2^{\frac{1}{10}}-1\),
\(∴\)森林面积的年增长率为\(2^{\frac{1}{10}}-1\);
(2)设已经植树造林\(n\)年,则由题意可知\(a(1+x)^{n}=\sqrt{2} a\),
\(\therefore a \times 2^{\frac{n}{10}}=\sqrt{2} a\),\(∴n=5\),
\(∴\)已经植树造林\(5\)年;
(3)设为使森林面积至少达到\(6a\)亩至少需要植树造林\(m\)年,
则\(a(1+x)^{m} \geq 6 a\),
\(\therefore 2^{\frac{m}{10}} \geq 6\),
\(\therefore \dfrac{m}{10} \geq \log _{2} 6=\dfrac{\lg 6}{\lg 2}=\dfrac{\lg 2+\lg 3}{\lg 2}\),
\(\therefore m \geq 10 \times \dfrac{\lg 2+\lg 3}{\lg 2} \approx 26\),
故为使森林面积至少达到\(6a\)亩至少需要植树造林\(26\)年.
【典题2】 新冠肺炎疫情造成医用防护服短缺,某地政府决定为防护服生产企业\(A\)公司扩大生产提供\(x(x∈[0,10])\)(万元)的专项补贴,并以每套\(80\)元的价格收购其生产的全部防护服.\(A\)公司在收到政府\(x\)(万元)补贴后,防护服产量将增加到\(t=k \cdot\left(6-\dfrac{12}{x+4}\right)\)(万件),其中\(k\)为工厂工人的复工率\((k∈[0,5.1])\).\(A\)公司生产\(t\)万件防护服还需投入成本\((20+8x+50t)\)(万元).
(1)将\(A\)公司生产防护服的利润\(y\)(万元)表示为补贴\(x\)(万元)的函数;
(2)对任意的\(x∈[0,10]\)(万元),当复工率\(k\)达到多少时,\(A\)公司才能不产生亏损?(精确到\(0.01\)).
【解析】 (1)\(y=80t-(20+8x+50t)=30t-20-8x\)
\(=30 k\left(6-\dfrac{12}{x+4}\right)-20-8 x\)
\(=180 k-\dfrac{360 k}{x+4}-8 x-20\),\(x∈[0,10]\).
(2)若对任意的\(x∈[0,10]\),公司都不产生亏损,
则\(180 k-\dfrac{360 k}{x+4}-8 x-20 \geq 0\)在\(x∈[0,10]\)恒成立,
即\(k \geq \dfrac{1}{45} \cdot \dfrac{(x+4)(2 x+5)}{x+2}\), \({\color{Red}{(分离参数法) }}\)
记\(t=x+2\),则\(t∈[2,12]\),
此时\(\dfrac{(x+4)(2 x+5)}{x+2}=\dfrac{(t+2)(2 t+1)}{t}=2 t+\dfrac{2}{t}+5\)
由于函数\(f(t)=2 t+\dfrac{2}{t}+5\)在\(t∈[2,12]\)单调递增, \({\color{Red}{(对勾函数)}}\)
所以当\(t∈[2,12]\)时,\(f_{\max }(t)=f(12)=29+\dfrac{1}{6} \approx 29.167\),
\(\therefore k \geq \dfrac{1}{45} \times 29.167 \approx 0.648\),
即当工厂工人的复工率达到\(0.65\)时,对任意的\(x∈[0,10]\),公司都不产生亏损.
【点拨】
① 根据题意求出函数的解析式,在实际问题中,特别注意自变量的取值范围;
② 求函数\(y=\dfrac{a x^{2}+b x+c}{a_{1} x^{2}+b_{1} x+c_{1}}\)最值问题中,注意基本不等式和对勾函数的应用.
巩固练习
1(★) 有一组实验数据如表:
则体现这些数据的最佳函数模型是( )
A.\(y=x^{\frac{1}{2}}\) \(\qquad \qquad\) B.\(y=\log _{2} x\) \(\qquad \qquad\) C.\(y=\dfrac{1}{3} \cdot 2^{x}\) \(\qquad \qquad\)D.\(y=\dfrac{1}{2} x^{2}\)
2(★) 设光线通过一块玻璃,强度损失\(10 \%\)、如果光线原来的强度为\(k(k>0)\),通过\(x\)块这样的玻璃以后强度为\(y\),则\(y=k \cdot 0.9^{x}\left(x \in \boldsymbol{N}^{*}\right)\),那么光线强度减弱到原来的\(\dfrac{1}{3}\)以下时,至少通过这样的玻璃块数为( )(参考数据:\(1 g 3 \approx 0.477)\))
A.\(9\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) B.\(10\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\)C.\(11\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) D.\(12\)
3(★★) 某地区今年\(1\)月,\(2\)月,\(3\)月患某种传染病的人数分别为\(42\),\(48\),\(52\).为了预测以后各月的患病人数,甲选择了模型\(y=ax^2+bx+c\),乙选择了模型\(y=pq^x+r\),其中\(y\)为患病人数,\(x\)为月份数,\(a\),\(b\),\(c\),\(p\),\(q\),\(r\)都是常数.结果\(4\)月,\(5\)月,\(6\)月份的患病人数分别为\(54\),\(57\),\(58\).
(1)求\(a\),\(b\),\(c\),\(p\),\(q\),\(r\)的值;
(2)你认为谁选择的模型好.
4(★★)某心理学研究小组在对学生上课注意力集中情况的调查研究中,发现其注意力指数\(p\)与听课时间\(t\)之间的关系满足如图所示的曲线.当\(t∈(0,14]\)时,曲线是二次函数图象的一部分,当\(t∈[14,40]\)时,曲线是函数\(y=\log _{a}(t-5)+83\)(\(a>0\),且\(a≠1\))图象的一部分.根据专家研究,当注意力指数\(p\)大于等于\(80\)时听课效果最佳.
(1)试求\(p=f(t)\)的函数关系式;
(2)一道数学难题,讲解需要\(22\)分钟,问老师能否经过合理安排在学生听课效果最佳时讲完?请说明理由.
5(★★)培养某种水生植物需要定期向培养植物的水中加入物质\(N\).已知向水中每投放\(1\)个单位的物质\(N\),\(x\)(单位:天)时刻后水中含有物质\(N\)的量增加\(y mol/L\),\(y\)与\(x\)的函数关系可近似地表示为\(y=\left\{\begin{array}{l}
8-\dfrac{16}{x+2}, 0 \leq x \leq 6 \\
12-x, 6<x \leq 12
\end{array}\right.\).根据经验,当水中含有物质\(N\)的量不低于\(4mol/L\)时,物质\(N\)才能有效发挥作用.
(1)若在水中首次投放\(1\)个单位的物质\(N\),计算物质\(N\)能持续有效发挥作用几天?
(2)若在水中首次投放\(1\)个单位的物质\(N\),第\(8\)天再投放\(1\)个单位的物质\(N\),试判断第\(8\)天至第\(12\)天,水中所含物质\(N\)的量是否始终不超过\(6mol/L\),并说明理由.
参考答案
1.\(C\)
2.\(C\)
3.\((1) a=-1\),\(b=9\),\(c=34\),\(p=-27\),\(q=\dfrac{2}{3}\),\(r=60\)(2) 乙模型
4.\(\text { (1) } f(t)=\left\{\begin{array}{l} -\dfrac{1}{4}(t-12)^{2}+82, t \in(0,14] \\ \log _{\dfrac{1}{3}}(t-5)+83, t \in(14,40] \end{array}\right.\)
\((2)\)教师能够合理安排时间讲完题目
5.\((1)6\)
\((2)\)第\(8\)天至第\(12\)天,水中所含物质\(N\)的量始终不超过\(6mol/L\)
【题型三】求函数的零点
【典题1】 下列函数中,在\((-1 ,1)\)内有零点且单调递增的是( )
A.\(y=\log _{\dfrac{1}{3}} x\) \(\qquad \qquad \qquad\)B.\(y=3^x-1\) \(\qquad \qquad \qquad\)C.\(y=x^{2}-\dfrac{1}{2}\) \(\qquad \qquad \qquad\)D.\(y=-x^3\)
【解析】 根据题意,依次分析选项:
对于\(A\),\(y=\log _{\dfrac{1}{3}} x\),其定义域为\((0 ,+∞)\),在\((-1 ,0)\)上没有定义,不符合题意;
对于\(B\),\(y=3^x-1\),在\((-1 ,1)\)上有零点\(x=0\),且在\((-1 ,1)\)为增函数,符合题意;
对于\(C\),\(y=x^{2}-\dfrac{1}{2}\),为二次函数,在\((-1 ,0)\)上为减函数,不符合题意;
对于\(D\),\(y=-x^3\),在\((-1 ,1)\)上为减函数,不符合题意;
故选:\(B\).
【点拨】 求函数零点方法:① 代数法,即解方程;② 几何法,即数形结合.
【题型四】函数与方程的关系
【典题1】 方程\(3^x+4^x=5^x\)解的情况是( )
A.有且只有一个根\(2\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\)B.不仅有根\(2\)还有其他根
C.有根\(2\)和另一个负根 \(\qquad \qquad \qquad \qquad\)D.有根\(2\)和另一个正根
【解析】方程\(3^x+4^x=5^x\)等价为\(\left(\dfrac{3}{5}\right)^{x}+\left(\dfrac{4}{5}\right)^{x}=1\)
设\(f(x)=\left(\dfrac{3}{5}\right)^{x}+\left(\dfrac{4}{5}\right)^{x}\),
则函数\(f(x)\)在\(R\)上为减函数,
\(∵f(2)=\left(\dfrac{3}{5}\right)^{2}+\left(\dfrac{4}{5}\right)^{2}=1\)
\(∴\)方程\(3^x+4^x=5^x\)有且只有一个根\(2\),故选\(A\).
【点拨】 本题巧妙的把方程\(3^x+4^x=5^x\)的解转化为函数\(f(x)=\left(\dfrac{3}{5}\right)^{x}+\left(\dfrac{4}{5}\right)^{x}\)与\(y=1\)的交点问题.
【典题2】 若\(x_1\)满足\(3^x=2-x\),\(x_2\)满足\(\log_3x+x-2=0\),则\(x_1+x_2=\).
【解析】 设\(f(x)=3^x\),\(g(x)=\log _{3} x\),\(t(x)=2-x\)
\(∵x_1\)满足\(3^x=2-x\),
\(∴ x_1\)是函数\(f(x)=3^x\)与函数\(t(x)=2-x\)交点横坐标,
\(∵x_2\)满足\(\log_3x+x-2=0\),
\(∴ x_2\)是函数\(g(x)=\log _{3} x\)与函数\(t(x)=2-x\)交点横坐标,
由于函数\(y=3^t\)与函数\(y=\log_3t\)互为反函数,
所以它们的图象关于直线\(y=x\)轴对称,
故两图象与直线\(t(x)=2-x\)的交点\((x_1 ,y_1)\),\((x_2 ,y_2)\)也关于\(y=x\)对称,
所以\(x_1+x_2=2\).
【点拨】
① 指数函数\(y=a^x\)与对数函数\(y=\log_a x\)互为反函数,它们的图象关于直线\(y=x\)对称.
② 方程问题转化为函数问题时,在构造函数时,常把常见的函数模型(一次函数型、二次函数型、反比例函数型,指数函数型、对数函数型等)分开,比如方程\((x+1) 2^x+3=0\)\(⇔\)函数\(y=2^x\)与函数\(y=-\dfrac{3}{x+1}\),方程\(e^{x}|\ln x|-k=0\)\(⇔\)函数\(y=|lnx|\)与函数\(y=k \cdot\left(\dfrac{1}{e}\right)^{x}\).
【典题3】 已知函数\(f(x)=\left\{\begin{array}{l}
\left|\log _{2} x\right|, x>0 \\
x^{2}+4 x+1, x \leq 0
\end{array}\right.\),若函数\(F(x)=f(x)-b\)有四个不同的零点\(x_1\),\(x_2\),\(x_3\),\(x_4\)\((x_1<x_2<x_3<x_4)\),则\(\dfrac{x_{4}}{x_{3}}-\dfrac{x_{1} x_{3}^{2}+x_{2} x_{3}^{2}}{4}\)的取值范围是\(\underline{\quad \quad }\) .
【解析】 \({\color{Red}{(函数F(x)=f(x)-b的零点等价于函数y=f(x)与y=b的交点)}}\)
作出\(f(x)\)的函数图象如图所示,
由图象知\(x_1+x_2=-4\),\(x_3 x_4=1\),\(0<b≤1\),
而\(0<-\log _{2} x_{3} \leq 1\)得\(\dfrac{1}{2} \leq x_{3}<1\),
\(\therefore \dfrac{x_{4}}{x_{3}}-\dfrac{x_{1} x_{3}^{2}+x_{2} x_{3}^{2}}{4}=\dfrac{1}{x_{3}^{2}}+x_{3}^{2}\),
令\(t=x_3^2\),则\(\dfrac{1}{4} \leq t<1\),
令\(g(t)=t+\dfrac{1}{t}\),
则\(g(t)\)在\(\left[\dfrac{1}{4}, 1\right]\)上单调递减,\(g(1)=2\),\(g\left(\dfrac{1}{4}\right)=\dfrac{17}{4}\),
\(\therefore g(1)<g(t) \leq g\left(\dfrac{1}{4}\right)\),
即\(2<t+\dfrac{1}{t} \leq \dfrac{17}{4}\).
【点拨】
① 函数\(F(x)=f(x)-b\)零点的问题转化为函数\(y=f(x)\)与\(y=b\)的交点问题;
② 遇到分段函数常常需要数形结合;
③ 求\(\dfrac{x_{4}}{x_{3}}-\dfrac{x_{1} x_{3}^{2}+x_{2} x_{3}^{2}}{4}\)的取值范围,应该根据图象找出\(x_1+x_2=-4\),\(x_3 x_4=1\)的关系,在利用“消元”的思想把问题化简成“求\(\dfrac{1}{x_{3}^{2}}+x_{3}^{2}\)的取值范围”,从而想到构造函数\(g(t)=t+\dfrac{1}{t}\).
【典题4】 已知偶函数\(f(x)\)满足\(f(3+x)=f(3-x)\),且当\(x∈[0 ,3]\)时,\(f(x)=-x^2+2x+1\),若关于\(x\)的方程\(f^2 (x)-tf(x)-3=0\)在\([-150 ,150]\)上有\(300\)个解,则实数\(t\)的取值范围是\(\underline{\quad \quad }\).
【解析】 \(∵f(x)\)是偶函数,\(∴f(3+x)=f(3-x)=f(x-3)\),
\(∴f(x)\)是以\(6\)为周期的函数.
\(∵\)关于\(x\)的方程\(f^2 (x)-tf(x)-3=0\)在\([-150 ,150]\)上有\(300\)个解,
\(∴\)关于\(x\)的方程\(f^2 (x)-tf(x)-3=0\)在\((-3 ,3]\)上有\(6\)个解.
做出\(f(x)\)在一个周期\((-3 ,3]\)上的函数图象如图所示:
令\(f(x)=m\),由函数图象可知:
当\(m=-2\)时,\(f(x)=m\)只有\(1\)解,
当\(-2<m<1\)或\(m=2\)时,\(f(x)=m\)有\(2\)解,
当\(m=1\)时,\(f(x)=m\)有\(3\)解,
当\(1<m<2\)时,\(f(x)=m\)有\(4\)解.
\(∴\)关于\(m\)的方程\(m^2-tm-3=0\)在\(\{2\}\)和\((1,2)\)上各有\(1\)解或\((-2 ,1)\)和\((1 ,2)\)上各有1解,
若方程的一解为\(m=2\),则方程的另一解为\(m=-\dfrac{3}{2} \notin(1,2)\),不符合题意.
\(∴\)关于\(m\)的方程\(m^2-tm-3=0\)在\((-2 ,1)\)和\((1 ,2)\)上各有\(1\)解,
\(\therefore\left\{\begin{array}{l}
1+2 t>0 \\
-2-t<0 \\
1-2 t>0
\end{array}\right.\),解得\(-\dfrac{1}{2}<t<\dfrac{1}{2}\).
【点拨】
① 由\(f(3+x)=f(3-x)\)可得\(f(x)\)关于\(x=3\)对称,又由于\(f(x)\)是偶函数,可得函数的周期\(T=6\);
② 在“关于\(x\)的方程\(f^2 (x)-tf(x)-3=0\)在\((-3 ,3]\)上有\(6\)个解”这一步中的区间是\((-3 ,3]\),不能是\([-3 ,3]\).
巩固练习
1(★) 下列函数中,是偶函数且不存在零点的是( )
A.\(y=x^2\) \(\qquad \qquad\)B.\(y=\sqrt{x}\) \(\qquad \qquad\)C.\(y=\log_2x\) \(\qquad \qquad\)D.\(y=-\left(\dfrac{1}{2}\right)^{|x|}\)
2(★★) 函数\(f(x)=\left(\dfrac{1}{2}\right)^{|x|}-x^{2}\)的零点个数是\(\underline{\quad \quad }\).
3(★★) 若方程\(m^x-x-m=0\)(\(m>0\), 且\(m≠1\))有两个不同实数根,则\(m\)的取值范围是\(\underline{\quad \quad }\).
4(★★) 设\(a\)、\(b\)、\(c\)依次表示函数\(f(x)=x^{\frac{1}{2}}-x+1\),\(g(x)=\log _{\frac{1}{2}} x-x+1\),\(h(x)=\left(\dfrac{1}{2}\right)^{x}-x+1\)的零点,则\(a\)、\(b\)、\(c\)的大小关系为\(\underline{\quad \quad }\).
5(★★★) 已知函数\(f(x)=\log_3x\),函数\(h(x)\)是最小正周期为\(2\)的偶函数,且当\(x∈[0 ,1]\)时,\(h(x)=3^x-1\).若函数\(y=k\cdot f(x)+h(x)\)有\(3\)个零点,则实数\(k\)的取值范围是\(\underline{\quad \quad }\).
6(★★★) 已知函数\(f(x)=\left\{\begin{array}{l}
\left|5^{x}-1\right|, x<1 \\
\dfrac{8}{x+1}, x \geq 1
\end{array}\right.\),若方程\(f(f(x))=a\)恰有\(5\)个不同的实数根,则实数\(a\)的取值范围为\(\underline{\quad \quad }\).
参考答案
1.\(D\)
2.\(2\)
3.\(m>1\)
4.\(b<c<a\)
5.\(\left(-2,-2 \log _{5} 3\right)\)
6.\(\left(\dfrac{8}{5}, 4\right)\)
【题型五】函数零点定理
【典题1】 设函数\(f(x)=\dfrac{2 x}{x+1}+\ln x\)满足\(f(a)f(b)f(c)<0\)\((a<b<c)\),若\(f(x)\)存在零点\(x_0\),则下列选项中一定错误的是( )
A.\(x_0∈(a ,c)\) \(\qquad \qquad\) B.\(x_0∈(a ,b)\) \(\qquad \qquad\) C.\(x_0∈(b ,c)\) \(\qquad \qquad\) D.\(x_0∈(c ,+∞)\)
【解析】 函数函数\(f(x)=\dfrac{2 x}{x+1}+\ln x\)的定义域为\(\{x|x>0\}\),函数是增函数,
满足\(f(a)f(b)f(c)<0(a<b<c)\),说明\(f(a)\),\(f(b)\),\(f(c)\)有\(1\)个是负数两个正数(且负数一定是\(f(a)\))或\(3\)个负数,由函数的零点判断定理可知,函数的零点在\((a ,c)\),在\((a ,b)\),在\((c ,+∞)\),不可能在\((b ,c)\).
故选\(C\).
【点拨】
①\(\dfrac{2 x}{x+1}=2-\dfrac{2}{x+1}\)利用了分离常数法.
② 判断函数零点所在的区间,就要注意区间上端点对应的函数值(本题中\(f(a)\)、\(f(b)\)、\(f(c)\))是正数还是负数.
【典题2】 \([x]\)表示不超过\(x\)的最大整数,例如\([3.5]=3\),\([-0.5]=-1\).已知\(x_0\)是方程\(\ln x+3x-15=0\)的根,则\([x_0]=\) \(\underline{\quad \quad }\).
【解析】 \(x_0\)是方程\(\ln x+3x-15=0\)的根,
设\(f(x)=\ln x+3x-15\),显然\(f(x)\)单调递增,
故\(f(x)=0\)只有一个根,
\(f(4)=\ln 4-3=2 \ln 2-3<2(\ln 2-1)<0\)
\(f(5)=\ln 5>0\)
故\(x_0∈(4 ,5)\),所以\([x_0]=4\).
【点拨】
① 若\(f(x)\)在\([a ,b]\)上是单调函数,则它在\([a ,b]\)上至多只有一个零点.
② 求函数零点的近似值,可利用代入一些数值进行逼近,再用函数的零点判断定理确认零点的范围.
【题型六】二分法
【典题1】 用二分法求函数\(f(x)=\ln(x+1)+x-1\)在区间\([0 ,1]\)上的零点,要求精确度为\(0.01\)时,所需二分区间的次数最少为\(\underline{\quad \quad }\).
【解析】 根据题意,原来区间\([0 ,1]\)的长度等于\(1\),每经过二分法的一次操作,区间长度变为原来的一半,则经过\(n\)次操作后,区间的长度为\(\dfrac{1}{2^{n}}\),若\(\dfrac{1}{2^{n}}<0.01\),即\(n≥7\);
故最少为\(7\)次.
【点拨】 二分法每一次操作都会让区间缩小一半长度.
巩固练习
1(★) 设函数\(f(x)=e^x+\ln x\),满足\(f(a)f(b)f(c)<0\)\((a<b<c)\),若\(f(x)\)存在零点\(x_0\),则下列选项中一定错误的是( )
A.\(x_0∈(a ,c)\) \(\qquad \qquad\) B.\(x_0∈(a ,b)\) \(\qquad \qquad\) C.\(x_0∈(b ,c)\) \(\qquad \qquad\) D.\(x_0∈(c ,+∞)\)
2(★★) [多选题]函数\(f(x)=x^3+3x-2\)的一个正零点所在的区间不可能是( )
A.\((3 ,4)\)\(\qquad \qquad \qquad \qquad\) B.\((2 ,3)\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) C.\((1 ,2)\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) D.\((0 ,1)\)
3(★★) 已知函数\(f(x)=\log_2x+x﹣b\)的零点在区间\([0 ,1]\)上,则\(b\)的取值范围为\(\underline{\quad \quad }\).
4(★★) 若函数\(f(x)=x^2+tx+1\)在区间\((1 ,2)\)上有一个零点,则实数\(t\)的取值范围是\(\underline{\quad \quad }\).
参考答案
1.\(C\)
2.\(ABC\)
3.\((-∞ ,1]\)
4.\((-\dfrac{5}{2},-2)\)