4.2 对数函数

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[【高分突破系列】高一数学上学期同步知识点剖析精品讲义与分层练习]
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模块导图

知识剖析

对数的概念

① 概念
一般地，如果 $a^x=N$($a>0$, 且 $a≠1$)，那么数 $x$ 叫做以 $a$ 为底 $N$ 的对数，记作 $x=log_a N$.
($a$ 底数，$N$ 真数，$log_a N$ 对数)
② 两个重要对数
常用对数以 $10$ 为底的对数，$\log_{10}N$ 记为 $\lg N$；
自然 对数以无理数 $e$ 为底的对数的对数，$\log_e N$ 记为 $\ln N$．
③ 对数式与指数式的互化

 

④ 结论
$(1)$ 负数和零没有对数
$(2)\log_a a=1$，$\log_a 1=0$.
特别地，$\lg 10=1$，$\lg 1=0$，$\ln e=1$，$\ln 1=0$.

对数的运算

如果 $a>0$，$a ≠ 1$,$M>0$,$N>0$, 有
①$\log _{a}(M N)=\log _{a} M+\log _{a} N$
②$\log _{a} \dfrac{M}{N}=\log _{a} M-\log _{a} N$
③$\log _{a} M^{n}=n \log _{a} M(n \in R)$
④$a^{\log _{a} M}=M$
⑤ 换底公式
$\log _{a} b=\dfrac{\log _{c} b}{\log _{c} a}(a>0, a \neq 1, c>0, c \neq 1, b>0)$
利用换底公式推导下面的结论
①$\log _{a} b=\dfrac{1}{\log _{b} a}$
②$\log _{a} b \cdot \log _{b} c=\log _{a} c$
③$\log _{a^{m}} b^{n}=\dfrac{n}{m} \log _{a} b$
特别注意：$\log _{a} M N \neq \log _{a} M \cdot \log _{a} N$，
$\log _{a}(M \pm N) \neq \log _{a} M \pm \log _{a} N$
 

对数函数

① 对数函数的概念
函数 $y=log_a x(a>0 ,a ≠1)$ 叫做对数函数，其中 $x$ 是自变量.
② 图像与性质

函数名称	对数函数
定义	函数$y=log_a x(a>0 ,a ≠1)$叫做对数函数
图象	$a>1$	$0< a <1$
定义域	$(0,+∞)$
值域	$R$
过定点	图象过定点$(1 ,0)$
奇偶性	非奇非偶
单调性	在$(0 ,+∞)$上是增函数	在$(0 ,+∞)$上是减函数
$a$变化对图象的影响	在第一象限内，$α$越大图象越靠低； 在第四象限内，$α$越大图象越靠高．

 

经典例题

【题型一】对数的化简与求值

【典题 1】求值 $2 \log _{3} 2-\log _{3} \dfrac{32}{9}+\log _{3} 8-5^{\log _{5} 3}+(\lg 5)^{2}+\lg 2 \times \lg 50$
【解析】$2 \log _{3} 2-\log _{3} \dfrac{32}{9}+\log _{3} 8-5^{\log _{5} 3}+(\lg 5)^{2}+\lg 2 \times \lg 50$
$=\log _{3} 4-\log _{3} \dfrac{32}{9}+\log _{3} 8-3+(\lg 5)^{2}+2 \lg 2 \cdot \lg 5+(\lg 2)^{2}$
$=\log _{3}\left(4 \times \dfrac{9}{32} \times 8\right)-3+(\lg 5+\lg 2)^{2}$
$=2-3+1$
$=0$．
 

【典题 2】若 $x$,$y$,$z∈R^+$，且 $3^x=4^y=12^z$，$\dfrac{x+y}{z} \in(n, n+1)$，$n∈N$，则 $n$ 的值是 $\underline{\quad \quad }$.
【解析】令 $3^x=4^y=12^z=k>1$．
则 $x=\log _{3} k=\dfrac{l g k}{l g 3}$，$y=\log _{4} k=\dfrac{l g k}{\lg 4}$，$z=\log _{12} k=\dfrac{l g k}{l g 12}$．
${\color {Red}{(利用换底公式，把数值化为同底，有利于 \dfrac {x+y}{z} 求值去掉 k)}}$
$\therefore \dfrac{x+y}{z}=\dfrac{\dfrac{\lg k}{\lg 3}+\dfrac{\lg k}{\lg 4}}{\dfrac{\lg k}{\lg 12}}=\dfrac{\lg 12 \cdot \lg 12}{\lg 3 \cdot \lg 4}$$=\dfrac{(\lg 3+\lg 4)^{2}}{\lg 3 \cdot \lg 4}=\dfrac{\lg 3}{\lg 4}+\dfrac{\lg 4}{\lg 3}+2$，
${\color {Red}{(∵\dfrac {x+y}{z} \in (n, n+1)，∴要对 \dfrac {\lg 3}{\lg 4}+\dfrac {\lg 4}{\lg 3}+2 进行估值，要把其值的整数部分求出)}}$
$\because 0<\dfrac{\lg 3}{\lg 4}<1$
$\therefore \dfrac{\lg 3}{\lg 4}+\dfrac{\lg 4}{\lg 3}>2$${\color {Red}{(利用对勾函数可得) }}$
$\therefore \dfrac{\lg 3}{\lg 4}+\dfrac{\lg 4}{\lg 3}+2>4$，
$\because \dfrac{\lg 4}{\lg 3}<2$,$\dfrac{\lg 3}{\lg 4}<1$$\therefore \dfrac{\lg 3}{\lg 4}+\dfrac{\lg 4}{\lg 3}+2<5$,
则 $x=\dfrac{\lg 3}{\lg 4}+\dfrac{\lg 4}{\lg 3}+2 \in(4,5)=(n, n+1)$，
则 $n=4$．

巩固练习

1(★) 已知函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{l} 3^{x}(x \leq 0) \\ \log _{2} x,(x>0) \end{array}\right.$，则 $f\left[f\left(\dfrac{1}{2}\right)\right]=$ $\underline{\quad \quad }$.
 

2(★)$(\lg 2)^{2}+\lg 5 \times \lg 20+(\sqrt{2016})^{0}+0.027^{-\frac{2}{3}} \times\left(\frac{1}{3}\right)^{-2}=$$\underline{\quad \quad }$．
 

3(★★) 求值 $\dfrac{\lg 8+\lg 125-\lg 2-\lg 5}{\lg \sqrt{10} \cdot \lg 0.1}=$$\underline{\quad \quad }$．
 

4(★★) 求值 $2^{\log _{2} \frac{1}{4}}-\left(\dfrac{8}{27}\right)^{-\frac{2}{3}}+\lg \dfrac{1}{100}+(\sqrt{2}-1)^{\lg 1}=$$\underline{\quad \quad }$．
 

5(★★) 若 $a>1$，$b>1$ 且 $\lg \left(1+\dfrac{b}{a}\right)=\lg b$，则 $\lg (a-1)+\lg (b-1)$ 的值 $\underline{\quad \quad }$．
 

6(★★★) 已知 $2^a=7^b=m$，$\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{2 b}=\dfrac{1}{2}$，则 $m＝$ $\underline{\quad \quad }$.
 

7(★★★) 已知 $a>b>1$，若 $\log _{a} b+\log _{b} a=\dfrac{5}{2}$，$a^b=b^a$，则 $ab＝$ $\underline{\quad \quad }$．
 

参考答案

1.$\dfrac{1}{3}$
2.$102$
3.$-4$
4.$-3$
5.$0$
6.$28$
7.$8$
 

【题型二】对数函数的图象及应用

【典题 1】函数 $y=\log _{a}(|x|+1)(a>1)$ 的图象大致是 (　　)

【解析】 ${\color {Red}{方法 1}}$
$y=\log _{a}(|x|+1)=\left\{\begin{array}{c} \log _{a}(x+1), x \geq 0 \\ \log _{a}(-x+1), x<0 \end{array}\right.$，
因 $a>1$，由对数函数的性质易得选 $B$.
${\color {Red}{方法 2\quad 函数图象变换}}$

故选 $B$．
【点拨】涉及对数函数型的函数 $y=f(x)$，往往需要得到其图象，方法有
① 利用要相应指数函数的图象通过平移、对称、翻转变换得其图象；
② 利用去掉绝对值得到分段函数得其图象.
 

【典题 2】设 $a$,$b$，$c$ 均为正数，且 $2^{a}=\log _{\frac{1}{2}} a$，$\left(\dfrac{1}{2}\right)^{b}=\log _{\frac{1}{2}} b$，$\left(\dfrac{1}{2}\right)^{c}=\log _{2} c$，则 (　　)
A．$a<b<c$ $\qquad \qquad$ B．$c<b<a$ $\qquad \qquad$C．$c<a<b$ $\qquad \qquad$ D．$b<a<c$
【解析】分别作出四个函数 $y=\left(\dfrac{1}{2}\right)^{x}$,$y=\log _{\frac{1}{2}} x$，$y=2^{x}$，$y=\log _{2} x$ 的图象，观察它们的交点情况．由图象知 $a<b<c$．故选 $A$．

【点拨】
①$2^{a}=\log _{\frac{1}{2}} a$ 中 $a$ 是函数 $y=2^x$ 与 $y=\log _{\frac{1}{2}} x$ 的交点横坐标；
② 函数 $y=2^x$ 与 $y=\log_2⁡x$ 互为反函数，图象关于直线 $y=x$ 对称。函数 $y=\left(\frac{1}{2}\right)^{x}$ 与 $y=\log _{\frac{1}{2}} x$ 也是.
 

【典题 3】已知 $f(x)=\left\{\begin{array}{l} 3\left|\log _{3} x\right|, 0<x \leq 3 \\ (x-4)(x-6), x>3 \end{array}\right.$，若 $f(a)=f(b)=f(c)=f(d)$，且 $a<b<c<d$，则 $abcd$ 的取值范围是 $\underline{\quad \quad }$.
${\color {Red}{思考痕迹}}$ 已知条件 $f(a)=f(b)=f(c)=f(d)$，相当于 $y=f(x)$ 与一直线 $y=k$ 相交于四个点，四点的横坐标是 $a、b、c、d$，所以想到数形结合.
【解析】先画出 $f(x)=\left\{\begin{array}{l} 3\left|\log _{3} x\right|, 0<x \leq 3 \\ (x-4)(x-6), x>3 \end{array}\right.$ 的图象，如图

$∵a ,b ,c ,d$ 互不相同，不妨设 $a<b<c<d$．
且 $f(a)=f(b)=f(c)=f(d)$，$3<c<4$．
由图可知 $|\log_3⁡a |=|\log_3⁡b |$，$c、d$ 关于 $x=5$ 对称，
$∴-\log_3⁡a=\log_3⁡b$，$c+d=10$，
即 $ab=1$,$c+d=10$，
故 $a b c d=c(10-c)=-(c-5)^{2}+25$，
由图象可知 $3<c<4$，
由二次函数的知识可知 $21<-c^2+12c<24$，
$∴abcd$ 的范围为 $(21 ,24)$．
【点拨】遇到分段函数，经常用数形结合的方法画出函数图象，注意一些关键的临界值，比如 $x=3$ 处.
 

巩固练习

1(★) 已知 $lga+lgb=0$，函数 $f(x)=a^x$ 与函数 $g(x)=-log_b⁡x$ 的图象可能是 (　　)

 

2(★) 已知图中曲线 $C_1$,$C_2$,$C_3$,$C_4$ 分别是函数 $y=\log _{a_{1}} x$，$y=\log _{a_{2}}x$，$y=\log _{a_{3}} x$，$y=\log _{a_{4}} x$ 的图象，则 $a_1$,$a_2$,$a_3$,$a_4$ 的大小关系是 (　　)

A．$a_4<a_3<a_2<a_1$$\qquad \qquad \qquad \qquad$ B．$a_3<a_4<a_1<a_2$
C．$a_2<a_1<a_3<a_4$$\qquad \qquad \qquad \qquad$ D．$a_3<a_4<a_2<a_1$
 

3(★★) 已知函数 $f(x)=|\ln x|$，若 $0<a<b$，且 $f(a)=f(b)$，则 $a+5b$ 的取值范围是 (　　)
A．$(2 \sqrt{5},+\infty)$$\qquad \qquad$B．$[2 \sqrt{5},+\infty)$$\qquad \qquad$C．$(6 ,+∞)$ $\qquad \qquad$D．$[6 ,+∞)$

 

4(★★) 已知函数 $f(x)=\left|\log _{a}\right| x-1||$$(a>0, a \neq 1)$，若 $x_1<x_2<x_3<x_4$,$x_1 x_2 x_3 x_4≠0$ 且 $f(x_1)=f(x_2)=f(x_3)=f(x_4)$，则 $x_1+x_2+x_3+x_4=$(　　)
A．$2$ $\qquad \qquad \qquad \qquad$ B．$4$$\qquad\qquad \qquad \qquad$C．$8$ $\qquad \qquad \qquad\qquad$D．随 $a$ 值变化
 

5(★★★) 已知函数 $f(x)=\left|\log _{2}(x-1)\right|$，$g(x)=\left(\dfrac{1}{2}\right)^{x}$，则图象交于 $A(x_1 ,y_1)$，$B(x_2 ,y_2)$ 两点，则 (　　)
A．$x_1 x_2<1$$\qquad \qquad$B．$x_1+x_2>5$$\qquad \qquad$C．$x_1+x_2>x_1 x_2$ $\qquad \qquad$D．$x_1+x_2<x_1 x_2$
 

6(★★★) 已知函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{l} \left|\log _{2} x\right|, 0<x \leq 8 \\ -\dfrac{1}{4} x+5, x>8 \end{array}\right.$，若 $a ,b ,c$ 互不相等，且 $f(a)=f(b)=f(c)$，则 $abc$ 的取值范围是 $\underline{\quad \quad }$．
 

7(★★★) 已知函数 $f(x)=|\log_2⁡x |，$$g(x)=\dfrac{1}{2} x$，若对任意 $x∈[a ,+∞)$，总存在两个 $x_{0} \in\left[\dfrac{1}{2}, 4\right]$，使得 $g(x)\cdot f(x_0)=1$，则实数 $a$ 的取值范围是 $\underline{\quad \quad }$．
 
 
 

参考答案

1.$B$
2.$B$
3.$C$
4.$B$
5.$C$
6.$(8 ,20)$
7.$[2 ,+∞)$

【题型三】对数函数的性质及应用

角度1 比较对数式的大小

【典题 1】已知 $a=\log _{2} 7$，$b=\log _{3} 8$，$c=0.3^{0.2}$，则 $a$，$b$，$c$ 的大小关系为 (　　)
A．$c<b<a$ $\qquad \qquad$B．$a<b<c$ $\qquad \qquad$C．$b<c<a$ $\qquad \qquad$D．$c<a<b$
【解析】由题意，可知 $a=\log_2⁡7>\log_2⁡4=2$，
$c=0.3^{0.2}<0.3^{0}=1$，
$\because 1<\log _{3} 8<\log _{3} 9=2$
$\therefore 1<b<2$，
$∴c<b<a$．
故选 $A$．
 

【典题 2】设 $a=\log _{2} 3$，$b=\dfrac{4}{3}$，$c=\log _{3} 4$，则 $a$,$b$,$c$ 的大小关系为 (　　)
A．$b<a<c$$\qquad \qquad$B．$c<a<b$ $\qquad \qquad$ C．$a<b<c$ $\qquad \qquad$ D．$c<b<a$
【解析】$\because a=\log _{2} 3>\log _{2} 2^{\frac{4}{3}}=\dfrac{4}{3}=b$，$b=\dfrac{4}{3}=\log _{3} 3^{\frac{4}{3}}>\log _{3} 4=c$
$∴a ,b ,c$ 的大小关系为 $c<b<a$．
故选 $D$．
 

【典题 3】已知 $a=\log _{5} 2$，$b=\log _{0.5} 0.2$，$c=0.5^{0.2}$，则 $a$,$b$,$c$ 的大小关系为 (　　)
A．$a<c<b$ $\qquad \qquad$B．$a<b<c$ $\qquad \qquad$C．$b<c<a$ $\qquad \qquad$D．$c<a<b$
【解析】由题意，可知 $a=\log _{5} 2<1$，$c=0.5^{0.2}<1$，
$b=\log _{0.5} 0.2=\log _{\frac{1}{2}} \frac{1}{5}=\log _{2} 5>\log _{2} 4=2$，
${\color {Red}{(初步估值) }}$
$∴b$ 最大，$a、c$ 都小于 $1$，
${\color {Red}{(b,c 还比较不出来，进一步估值) }}$
$\because a=\log _{5} 2=\dfrac{1}{\log _{2} 5}<\dfrac{1}{2}$，$c=0.5^{0.2}=\left(\dfrac{1}{2}\right)^{\frac{1}{5}}=\sqrt[5]{\dfrac{1}{2}}>\dfrac{1}{2}$
$∴a<c$， ${\color {Red}{(引入第三数 \dfrac {1}{2} 比较)}}$
$∴a<c<b$，故选：$A$．
【点拨】比较对数的大小，主要是利用对数函数的单调性，具体方法有
① 把对数化为同底，利用对数函数的单调性比较大小；
② 若不能化为同底，可对对数进行估值，一般可以与 $0$，$1$ 比较大小；
③ 利用第三个数作为两个数字大小比较的过渡.
 

角度2 求解对数型不等式和方程

【典题 1】方程 $\log _{2}(x-1)=2-\log _{2}(x+1)$ 的解集为 $\underline{\quad \quad }$．
【解析】$∵\log _{2}(x-1)=2-\log _{2}(x+1)$，
$∴\log _{2}(x-1)=\log _{2} \dfrac{4}{x+1}$，
$\therefore x-1=\dfrac{4}{x+1}$，解得 $x=\pm \sqrt{5}$．
检验得 $x=-\sqrt{5}$ 不符合， ${\color {Red}{ (注意真数的范围) }}$
$∴$ 方程 $\log _{2}(x-1)=2-\log _{2}(x+1)$ 的解集为 $\{\sqrt{5}\}$
故答案为 $\{\sqrt{5}\}$．
 

【典题 2】不等式 $\log _{2}\left(x^{2}-1\right)<3$ 的解集为 $\underline{\quad \quad }$.
【解析】$\log _{2}\left(x^{2}-1\right)<3$$\Leftrightarrow \log _{2}\left(x^{2}-1\right)<\log _{2} 8$
$∴0<x^2-1<8$ ${\color {Red}{(误解 x^2-1<8) }}$
解得 $-3<x<-1$ 或 $1<x<3$.
【点拨】在处理对数的方程和不等式时不要忘记了 “对数 $log_a x$ 中真数 $x>0$” 这点.
 

角度3 对数型函数综合问题

【典题 1】函数 $y=\log _{\frac{1}{2}}\left(x^{2}-6 x+17\right)$ 的值域是 $\underline{\quad \quad }$ .
【解析】$∵t=x^2-6x+17=(x-3)^2+8≥8$
$∴$ 内层函数的值域 $[8 ,+∞),$
而 $y=\log _{\dfrac{1}{2}} t$ 在 $[8 ,+∞)$ 是减函数，
故 $y \leq \log _{\dfrac{1}{2}} 8=-3$
$∴$ 函数 $y=\log _{\frac{1}{2}}\left(x^{2}-6 x+17\right)$ 的值域是 $(-∞ ,-3]$.
【点拨】复合函数的值域先求内层函数值域再求外层函数.
 

【典题 2】已知函数 $f(x)$ 是 $R$ 上的奇函数，且满足 $f(x+2)=-f(x)$，当 $x∈(0 ,1]$ 时，$f(x)=2^x-1$，则方程 $f(x)=\log _{7}|x-2|$ 解的个数是 $\underline{\quad \quad }$.
【解析】函数 $f(x)$ 是 $R$ 上的奇函数，$f(0)=0$，
由 $f(x+2)=-f(x)$，可得 $f(x+2)=f(-x)$，
$∴f(x)$ 的有条对称轴 $x=1$，
由 $f(x+2)=-f(x)$，可得 $f(x+4)=f(x)$，
$∴f(x)$ 的周期 $T=4$．
(注 由以上已知，较容易画出 $y=f(x)$ 的图象，作图步骤如下
① 画 $f(x)=2^x－1 ,x∈(0 ,1)$

② 根据奇函数的性质

③ 由对称轴 $x=1$ 可得

④ 由周期 $T=4$ 可得

作出在同一坐标系中画 $y=f(x)$ 和 $g(x)=\log _{7}|x-2|$ 图象，

注意到 $g(9)=1$,$g(-7)>1$， ${\color {Red}{(注意一些临界的位置) }}$
从图象不难看出，其交点个数 $7$ 个．
【点拨】
① 遇到函数综合性质问题 (有单调性，对称性，周期性等)，一般通过数形结合的方法处理；
②$(1)f(x+a)=f(x+b)$$⇒f(x)$ 的周期 $T=a-b$
$(2)f(x+a)=f(b-x)$$⇒f(x)$ 的对称轴 $x=\dfrac{a+b}{2}$
$(3)f(x+a)=-f(x)$$⇒f(x)$ 的周期 $T=2a$
$(4)f(x+a)=\dfrac{1}{f(x)}$$⇒f(x)$ 的周期 $T=2a$.
 

【典题 3】设 $a>0$，$b>0$，则下列叙述正确的是 (　　)
A．若 $\ln a-2 b>\ln b-2 a$，则 $a>b$ $\qquad \qquad$ B．若 $\ln a-2 b>\ln b-2 a$，则 $a<b$
C．若 $\ln a-2 a>\ln b-2 b$，则 $a>b$$\qquad \qquad$D．若 $\ln a-2 a>\ln b-2 b$，则 $a<b$
【解析】 ${\color {Red}{方法 1 \quad 构造函数法}}$
$∵y=\ln x$ 与 $y=2x$ 均为增函数，
故 $f(x)=\ln x+2x$ 在 $(0 ,+∞)$ 上为增函数，
故 $f(a)>f(b)⇔a>b>0$，
即 $\ln a+2 a>\ln b+2 b \Leftrightarrow a>b>0$，
即 $\ln a-2 b>\ln b-2 a \Leftrightarrow a>b>0$，
故选 $A$．
${\color {Red}{方法 2\quad 取特殊值排除法}}$
对于 $A、B$，
令 $a=1$，$b=\dfrac{1}{e}$，
代入 $\ln a-2b>\ln b-2a$ 得 $-\dfrac{2}{e}>-3$ 显然成立，
而 $a>b$，此时可排除选项 $B$；
对于选项 $C、D$，
令 $a=1$，$b=e$，代入 $\ln a-2 a>\ln b-2 b$
得 $-2>1-2e$ 显然成立，而 $a<b$ 可排除选项 $C$；
令 $a=1$，$b=\dfrac{1}{e^{2}}$，代入 $\ln a-2 a>\ln b-2 b$
得 $-2>-2-\dfrac{2}{e^{2}}$ 显然成立，而 $a>b$ 可排除选项 $D$；
故选 A．
【点拨】
① 方法 1 通过构造函数 $f(x)=\ln x+2x$，利用其单调性进行选项判断。构造函数的方法到了高二还经常见，可以先熟悉先！
② 方法 2 “取特殊值排除法”，在取数时一定要满足题目要求，尽量取容易计算的数值，要大胆尝试，能排除一个是一个.
 

【典题 4】已知函数 $f(x)=\log _{3} \dfrac{1-x}{1+x}$．
(1) 求函数 $f(x)$ 的定义域；
(2) 判断函数 $f(x)$ 的奇偶性；
(3) 当 $x \in\left[-\dfrac{1}{2}, \dfrac{1}{2}\right]$ 时，函数 $g(x)=f(x)$，求函数 $g(x)$ 的值域．
【解析】(1) 要使函数 $f(x)=\log _{3} \dfrac{1-x}{1+x}$ 的解析式有意义，
自变量 $x$ 须满足 $\dfrac{1-x}{1+x}>0$，解得 $x∈(-1 ,1)$，
故函数 $f(x)$ 的定义域为 $(-1 ,1)$；
(2) 由 (1) 得函数的定义域关于原点对称，
且 $f(-x)=\log _{3} \dfrac{1+x}{1-x}=-\log _{3} \dfrac{1-x}{1+x}=-f(x)$，
故函数 $f(x)$ 为奇函数；
(3) 当 $x \in\left[-\dfrac{1}{2}, \dfrac{1}{2}\right]$ 时，
令 $u(x)=\dfrac{1-x}{1+x}=\dfrac{2}{1+x}-1$ ${\color {Red}{(分离常数法)}}$
${\color {Red}{(注 函数图象如右图，由 y=\dfrac {2}{x} 向左向下平移一个单位得到的) }}$
故 $u(x)=\dfrac{1-x}{1+x}$ 在 $\left[-\dfrac{1}{2}, \dfrac{1}{2}\right]$ 上为减函数，
则 $u(x) \in\left[\dfrac{1}{3}, 3\right]$，
又 $\because g(x)=f(x)=\log _{3} u$ 为增函数，
故 $g(x)∈[-1 ,1]$，
故函数 $g(x)$ 的值域为 $[-1 ,1]$．
【点拨】
① 遇到形如 $f(x)=\dfrac{a \cdot g(x)+b}{c \cdot g(x)+d}$ 的函数 (比如 $y=\dfrac{1-2 x}{1+x}$，$y=\dfrac{2^{x}-3}{2^{x}+4}$，$y=\dfrac{3 x^{2}+4}{x^{2}-1}$ 等) 均可采取 “分离常数法”，易求函数的单调性，对称性，最值等性质；
② 求复合函数的值域，要分清楚内层函数与外层函数，分别对它们的单调性进行分析再求值域，函数的定义域优先考虑.
 

【典题 5】设 $D$ 是函数 $y=f(x)$ 定义域的一个子集，若存在 $x_0∈D$，使得 $f(x_0 )=-x_0$ 成立，则称 $x_0$ 是 $f(x)$ 的一个 “准不动点”，也称 $f(x)$ 在区间 $D$ 上存在准不动点．
已知 $f(x)=\log _{\frac{1}{2}}\left(4^{x}+a \cdot 2^{x}-1\right)$，$x \in[0,1]$．
(1) 若 $a=1$，求函数 $f(x)$ 的准不动点；
(2) 若函数 $f(x)$ 在区间 $[0 ,1]$ 上存在准不动点，求实数 $a$ 的取值范围．
【解析】(1) 当 $a=1$ 时，
可得 $f(x)=\log _{\frac{1}{2}}\left(4^{x}+2^{x}-1\right)=-x$，$x∈[0 ,1]$，
可得 $4^x+2^x-1=2^x$，
即 $4^x=1$，$∴x=0$．
当 $a=1$，函数 $f(x)$ 的准不动点为 $x_0=0$．
(2) ${\color {Red}{方法 1}}$ 由定义可得
方程 $\log _{\frac{1}{2}}\left(4^{x}+a \cdot 2^{x}-1\right)=-x$ 在 $x∈[0 ,1]$ 上有解
即方程 $4^x+a⋅2^x-1=2^x$ 在 $x∈[0 ,1]$ 上有解，
且 $4^x+a\cdot 2^x-1>0$$(*)$
令 $2^x=t$，$x∈[0 ,1]$，则 $t∈[1 ,2]$，
那问题 $(*)$ 转化为方程 $t^2+(a-1)t-1=0$ 在 $[1 ,2]$ 有解，且 $t^2+at-1>0$，
令 $g(t)=t^2+(a-1)t-1$，开口向上且 $g(0)<0$，
所以 $y=g(t)$ 在 $[1 ,2]$ 上与 $x$ 轴只有一个交点，
则只需要 $g(1)g(2)≤0$，解得 $-\dfrac{1}{2} \leq a \leq 1$，
${\color {Red}{(一元二次方程根的分布问题，注意数形结合分析)}}$
要使 $t^2+at-1>0(1≤t≤2)$ 恒成立．
其对称轴 $x=-\dfrac{a}{2}$，在 $1≤t≤2$ 上是递增的，
当 $t=1$ 时最小值，可得 $a>0$．
综上可得实数 $a$ 的取值范围是 $(0，1]$．
${\color {Red}{方法 2 }}$
与方法 1 同样得到方程 $t^2+(a-1)t-1=0$ 在 $[1 ,2]$ 有解，且 $t^2+at-1>0$，
即 $a=1-t+\dfrac{1}{t}$ 在 $t∈[1 ,2]$ 上有解，
且 $a>\dfrac{1}{t}-t$ 在 $t∈[1 ,2]$ 上恒成立 ${\color {Red}{(分离参数法)}}$
由 $h(t)=1-t+\dfrac{1}{t}$ 在 $t∈[1 ,2]$ 上显然是减函数，
其值域为 $\left[-\dfrac{1}{2}, 1\right]$，则 $-\dfrac{1}{2} \leq a \leq 1$；
由 $d(t)=\dfrac{1}{t}-t$ 在 $t∈[1 ,2]$ 上显然是减函数，最大值为 $d(1)=0$，则 $a>0$,
综上可得实数 $a$ 的取值范围是 $(0,1]$．
【点拨】
① 在第二问中不要漏了 $4^x+a\cdot 2^x-1>0$，求解过程中谨记等价转化，做到严谨；
② 第二问的方法 1 是采取了 “二次方程根的分布问题” 的处理技巧，注意结合二次函数图象进行思考；方法 2 是采取分离参数法转而求最值，
 

巩固练习

1(★) 若 $a=\log _{2} 1.5$,$b=\log _{2} 0.1$,$c=2^{0.2}$，则 (　　)
A．$c<b<a$ $\qquad \qquad$B．$b<c<a$ $\qquad \qquad$C．$a<b<c$ $\qquad \qquad$D．$b<a<c$
 

2(★★) 设 $a=\log _{\frac{1}{2}} 6$，$b=\log _{\frac{1}{4}} 12$，$c=\log _{\frac{1}{5}} 15$，则 (　　)
A．$a<b<c$ $\qquad \qquad$B．$c<b<a$ $\qquad \qquad$C．$b<a<c$ $\qquad \qquad$D．$c<a<b$
 

3(★★)$f(x)$ 是定义在 $R$ 上的函数，且 $f(2-x)=f(x)$，当 $x≥1$ 时，$f(x)=\log_2⁡x$，则有 (　　)
A．$f\left(\dfrac{1}{3}\right)<f(2)<f\left(\dfrac{1}{2}\right)$$\qquad \qquad$B．$f\left(\dfrac{1}{2}\right)<f(2)<f\left(\dfrac{1}{3}\right)$
C．$f\left(\dfrac{1}{2}\right)<f\left(\dfrac{1}{3}\right)<f(2)$$\qquad \qquad$D．$f(2)<f\left(\dfrac{1}{2}\right)<f\left(\dfrac{1}{3}\right)$
 

4(★★) 不等式 $\log _{2}\left(2^{x}-1\right) \cdot \log _{2}\left(2^{x+1}-2\right)<2$ 的解集为 $\underline{\quad \quad }$．
 

5(★★) 函数 $f(x)=\log _{\frac{1}{3}}\left(x^{2}-3 x+2\right)$ 的单调递增区间为 $\underline{\quad \quad }$ ．
 

6(★★) 方程 $\log _{2}\left(4^{x}-3\right)=x+1$ 的解集为 $\underline{\quad \quad }$．
 

7(★★★) 已知函数 $f(x)=\log _{a}(x+1)$，$g(x)=2 \log _{a}(2 x+t)(t \in R)$，$a>0$，且 $a≠1$．
(1) 若 $1$ 是关于 $x$ 的方程 $f(x)-g(x)=0$ 的一个解，求 $t$ 的值；
(2) 当 $0<a<1$ 且 $t=-1$ 时，解不等式 $f(x)≤g(x)$；
(3) 若函数 $F(x)=a^{f(x)} +tx^2-2t+1$ 在区间 $(-1 ,2]$ 上有零点，求 $t$ 的取值范围．
 
 
 

参考答案

1.$D$
2.$A$
3.$C$
4.$\left(\log _{2} \dfrac{5}{4}, \log _{2} 3\right)$
5.$(-∞ ,1)$
6.$\{log_23\}$
7.$\text { (1) } t=\sqrt{2}-2$$\text { (2) } \dfrac{1}{2}<x \leq \dfrac{5}{4}$$\text { (3) } t \leq-2 \text { 或 } t \geq \dfrac {2+\sqrt {2}}{4}$．