4.1 指数函数

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模块导图

知识剖析

指数运算

(1) n 次方根与分数指数幂
一般地，如果 $x^n=a$，那么 $x$ 叫做 $a$ 的 $n$ 次方根，其中 $n>1$，且 $n∈N^*$.
式子 $\sqrt[n]{a}$ 叫做根式，这里 $n$ 叫做根指数，$a$ 叫做被开放数.
负数没有偶次方根；$0$ 的任何次方根都是 $0$.
注意：(1)$(\sqrt[n]{a})^{n}=a$
(2) 当 $n$ 是奇数时，$\sqrt[n]{a^{n}}=a$;
当 $n$ 是偶数时，$\sqrt[n]{a^{n}}=|a|=\left\{\begin{array}{c} a, a \geq 0 \\ -a, a<0 \end{array}\right.$.
 

(2) 正数的正分数指数幂的意义
① 正数的正分数指数幂的意义，规定：$a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^{m}}$$\left (a>0, m, n \in N^{*}, \text { 且 } n>1\right)$
巧记 “子内母外”(根号内的 $m$ 作分子，根号外的 $n$ 作为分母)
${\color{Red}{ Eg }}$$\sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}}$，$\sqrt[3]{x^{5}}=x^{\frac{5}{3}}$.
② 正数的正分数指数幂的意义：$a^{-\frac{m}{n}}=\dfrac{1}{a^{\frac{m}{n}}}=\dfrac{1}{\sqrt[n]{a^{m}}}$$\left (a>0, m, n \in N^{*}, \text { 且 } n>1\right)$
③$0$ 的正分数指数幂等于 $0$，$0$ 的负分数指数幂没有意义.
 

(3) 实数指数幂的运算性质
①$a^s\cdot a^r=a^{r+s}$$(a>0,r,s∈R)$
②$\left(a^{s}\right)^{r}=a^{r s}$$(a>0, r, s \in R)$$(a>0, r \in R)$
③$(a b)^{r}=a^{r} b^{r}$$(a>0, r \in R)$
 

指数函数概念

一般地，函数 $y=a^x$（$a>0$ 且 $a≠1$）叫做指数函数，其中 $x$ 是自变量，函数的定义域为 $R$.
 

图像与性质

函数名称	指数函数
定义	函数$y=a^x (a>0$且$a≠1)$叫做指数函数
图象	$a>1$	$0< a <1$
定义域	$R$
值域	$(0,+∞)$
过定点	图象过定点$(0,1)$，即当$x=0$时，$y=1$
奇偶性	非奇非偶
单调性	在$R$上是增函数	在$R$上是减函数
$a$变化对图象的影响	在第一象限内，$a$越大图象越高；在第二象限内，$a$越大图象越低

 

经典例题

【题型一】指数幂的化简与求值

【典题 1】 求值 $\left(2 \dfrac{7}{9}\right)^{\frac{1}{2}}-(2 \sqrt{3}-\pi)^{0}-\left(2 \dfrac{10}{27}\right)^{-\frac{1}{3}}+0.125^{-\frac{2}{3}}+\sqrt{3} \cdot \sqrt{\left(\dfrac{3}{4}\right)^{3}}$
【解析】 原式 $=\left(\dfrac{25}{9}\right)^{\frac{1}{2}}-1-\left(\dfrac{64}{27}\right)^{-\frac{1}{3}}+\left(\dfrac{1}{8}\right)^{-\frac{2}{3}}+3^{\frac{1}{2}} \cdot\left(\frac{3}{4}\right)^{\frac{3}{2}}$
$=\dfrac{5}{3}-1-\left(\dfrac{27}{64}\right)^{\frac{1}{3}}+\left(2^{-3}\right)^{-\frac{2}{3}}+3^{2} \cdot\left(\dfrac{1}{4}\right)^{\frac{3}{2}}$
$=\dfrac{2}{3}-\dfrac{3}{4}+4+\dfrac{9}{8}$
$=\dfrac{121}{24}$.
【点拨】 一般可以带分数化假分数、小数化分数、根式化幂、整数化幂.
 

【典题 2】 已知 $x^{\frac{1}{2}}-x^{-\frac{1}{2}}=\sqrt{5}$，则 $x^{2}+\dfrac{1}{x^{2}}$ 的值为 $\underline{\quad \quad}$ .
【解析】 由 $x^{\frac{1}{2}}-x^{-\frac{1}{2}}=\sqrt{5}$，
两边平方得 $x-2+x^{-1}=5$，
则 $x+\dfrac{1}{x}=7$，
所以 $\left(x+\dfrac{1}{x}\right)^{2}=49 \Rightarrow x^{2}+\dfrac{1}{x^{2}}+2=49$$\Rightarrow x^{2}+\dfrac{1}{x^{2}}=47$
【点拨】 注意 $x^{\frac{1}{2}}-x^{-\frac{1}{2}}$，$x+\dfrac{1}{x}$，$x^{2}+\dfrac{1}{x^{2}}$ 之间平方的关系.
 

【典题 3】 化简 $\sqrt{11+6 \sqrt{2}}+\sqrt{11-6 \sqrt{2}}$.
【解析】 $\sqrt{11+6 \sqrt{2}}+\sqrt{11-6 \sqrt{2}}$
$=\sqrt{(3+\sqrt{2})^{2}}+\sqrt{(3-\sqrt{2})^{2}}$
$=3+\sqrt{2}+3-\sqrt{2}$
$=6$.
【点拨】 化简形如 $\sqrt{a+b \sqrt{m}}$ 的式子，利用完全平方数处理.
 

巩固练习

1(★) 化简 $\sqrt[3]{a \sqrt{a}} \div a^{\frac{7}{6}}(a>0)=$$\underline{\quad \quad }$．
 

2(★★) 如果 $45^x=3$，$45^y=5$，那么 $2x+y＝$$\underline{\quad \quad }$．
 

3(★★) 已知 $a+\dfrac{1}{a}=7$，则 $a^{\frac{1}{2}}+a^{-\frac{1}{2}}=$$\underline{\quad \quad }$．
 

4(★★) $\left(2 \dfrac{1}{4}\right)^{\frac{1}{2}}-(-2)^{0}-\left(\dfrac{27}{8}\right)^{-\frac{2}{3}}+\left(\dfrac{3}{2}\right)^{-2}=$$\underline{\quad \quad }$．
 

5(★★) 求值 $\sqrt{7+4 \sqrt{3}}+\sqrt{7-4 \sqrt{3}}=$$\underline{\quad \quad }$．
 

6(★★★) 已知实数 $x$，$y$ 满足 $3^x+3^y＝9^x+9^y$，则 $\dfrac{27^{x}+27^{y}}{3^{x}+3^{y}}$ 的取值范围是 $\underline{\quad \quad }$.
 

7(★★★) 已知 $2^a=3^b=6$，则 $a$，$b$ 不可能满足的关系是 (　　)
A．$a+b=ab$$\qquad \qquad$ B．$a+b>4$ $\qquad \qquad$C．$(a-1)^2+(b-1)^2<2$ $\qquad \qquad$D．$a^2+b^2>8$
 

参考答案

1.$a^{-\frac{2}{3}}$
2.$1$
3.$3$
4.$\dfrac{1}{2}$
5.$4$
6.$\left(1, \dfrac{9}{8}\right]$
7.$C$

 

【题型二】指数函数的图象及应用

【典题 1】 函数 $y=2^{|1-x|}$ 的图象大致是 (　　)

【解析】
${\color {Red}{方法 1}}$ 函数 $y=2^{|1-x|}=\left\{\begin{array}{l} 2^{x-1}, x>1 \\ 2^{1-x}, x \leq 1 \end{array}\right.$，
${\color {Red}{(利用 | x|=\left\{\begin {array}{c} x, x \geq 0 \\ -x, x<0 \end {array}\right. 去掉绝对值把函数变成分段函数)}}$
$∴$ 当 $x>1$ 时，$y=2^{x-1}$ 是增函数，当 $x≤1$ 时，$y=2^{1-x}$ 的减函数，
且 $x=1$ 时，$y=1$，即图象过 $(1,1)$ 点；
$∴$ 符合条件的图象是 $A$．
故选：$A$．
${\color {Red}{方法 2}}$ 利用函数的图象变换

故选：$A$．

【典题 2】 设函数 $f(x)=|2^x-1|$，$c<b<a$，且 $f(c)>f(a)>f(b)$，判断 $2^a+2^c$ 与 $2$ 的大小关系.
【解析】 $f(x)=|2^x-1|$ 的图象可看成 $f(x)=2^x$ 向下平移一个单位，再把 $x$ 轴下方的图象做翻转得到，其图象如下图所示，

由图可知，要使 $c<b<a$ 且 $f(c)>f(a)>f(b)$ 成立，
则有 $c<0$ 且 $a>0$，
故必有 $2^c<1$ 且 $2^a>1$，
又 $f(c)-f(a)>0$，
即为 $1-2^c-(2^a-1)>0$，
$∴2^a+2^c<2$．
【点拨】 涉及指数函数型的函数 $y=f(x)$，往往需要得到其图象，方法有：
① 利用要相应指数函数的图象通过平移、对称、翻转变换得其图象；
② 利用去掉绝对值得到分段函数得其图象.
 

巩固练习

1(★) 二次函数 $y=-x^2-4x(x>-2)$ 与指数函数 $y=\left(\dfrac{1}{2}\right)^{x}$ 的交点个数有 (　　)
A．$3$ 个 $\qquad \qquad \qquad \qquad$ B．$2$ 个 $\qquad \qquad \qquad \qquad$C．$1$ 个 $\qquad \qquad \qquad \qquad$D．$0$ 个
 

2(★★) 若函数 $y=a^{|x|} +m-1(0<a<1)$ 的图象和 $x$ 轴有交点，则实数 $m$ 的取值范围是 (　　)
A．$[1,+∞)$ $\qquad \qquad \qquad \qquad$B．$(0,1)$$\qquad \qquad \qquad \qquad$C．$(-∞,1)$$\qquad \qquad \qquad \qquad$D．$[0,1)$
 

3(★★) 如图所示，函数 $y=|2^x-2|$ 的图象是 (　　)

 

4(★★) 已知实数 $a$，$b$ 满足等式 $2^a=3^b$，下列五个关系式：①$0<b<a$；②$a<b<0$；③$0<a<b$；④$b<a<0$；⑤$a=b$．其中可能成立的关系式有 (　　)
A．①②③ $\qquad \qquad \qquad \qquad$B．①②⑤ $\qquad \qquad \qquad \qquad$C．①③⑤$\qquad \qquad \qquad \qquad$ D．③④⑤
 

5(★★★) 若 $2^{x}-5^{-x} \leq 2^{-y}-5^{y}$，则有 (　　)
A．$x+y≥0$$\qquad \qquad$B．$x+y≤0$$\qquad \qquad$C．$x-y≤0$$\qquad \qquad$D．$x-y≥0$
 

参考答案

1.$C$
2.$D$
3.$B$
4.$B$
5.$B$

 

【题型三】指数函数的性质及应用

角度1 比较指数式的大小

【典题 1】 设 $y_{1}=4^{0.9}$，$y_{2}=8^{0.48}$，$y_{3}=\left(\dfrac{1}{2}\right)^{-1.5}$，则 (　　)
A．$y_3>y_1>y_2$ $\qquad \qquad$ B．$y_2>y_1>y_3$ $\qquad \qquad$ C．$y_1>y_2>y_3$$\qquad \qquad$D．$y_1>y_3>y_2$
【解析】 利用幂的运算性质可得，
$y_{1}=4^{0.9}=2^{1.8}$，$y_{2}=8^{0.48}=2^{1.44}$，$y_{3}=\left(\dfrac{1}{2}\right)^{-1.5}=2^{1.5}$，
再由 $y=2^x$ 是增函数，知 $y_1>y_3>y_2$．
故选：$D$．
 

【典题 2】 已知 $a=0.7^{2.1}$，$b=0.7^{2.5}$，$c=2.1^{0.7}$，则这三个数的大小关系为 (　　)
A．$b<a<c$ $\qquad \qquad$B．$a<b<c$ $\qquad \qquad$ C．$c<a<b$ $\qquad \qquad$D．$c<b<a$
【解析】 函数 $y=0.7^{x}$ 是减函数，
$∵2.1<2.5$，$\therefore 0.7^{2.1}>0.7^{2.5}$，即 $a>b$．
又 $\because c=2.1^{0.7}>2.1^{0}=1$，$a=0.7^{2.1}<0.7^{0}=1$，
$∴c<a$，$∴b<a<c$，
故选：$A$．
【点拨】 比较指数式的大小，主要是利用指数函数的单调性，具体方法有
① 把指数幂化为同底，再利用指数函数的单调性比较大小；
② 若不能化为同底，可对指数幂进行估值，一般可以与 $0$，$1$ 比较大小；
③ 利用第三个数作为两个数字大小比较的过渡.
 

角度2 求解指数型不等式和方程

【典题 1】 方程 $4^{x+1}-3 \times 2^{x+2}-16=0$ 的解是 $\underline{\quad \quad }$．
【解析】 $4^{x+1}-3 \times 2^{x+2}-16=0$，
即为 $4 \times\left(2^{x}\right)^{2}-12 \times 2^{x}-16=0$
令 $t=2^x>0$
则有 $4t^2-12t-16=0$，解得 $t=4$,$t=-1$(舍)
所以 $2^x=4$，$x=2$
故答案为 $x=2$．
【点拨】 利用换元法，要注意幂的底数之间的关系，同时换元后 $t=2^x>0$ 是容易忽略的.
 

【典题 2】 解不等式 $a^{2 x}+1<a^{x+2}+a^{x-2}(a>0)$
【解析】 $\because a^{x+2}+a^{x-2}=\left(a^{2}+\dfrac{1}{a^{2}}\right) a^{x}$,
令 $t=a^x$
原不等式变形得 $t^{2}-\left(a^{2}+\dfrac{1}{a^{2}}\right) t+1<0$，
即 $\left(t-a^{2}\right)\left(t-\dfrac{1}{a^{2}}\right)<0$，${\color {Red}{(注意因式分解)}}$
(1) 当 $a^{2}<\dfrac{1}{a^{2}}$，即 $0<a<1$ 时，
则 $a^{2}<t<\dfrac{1}{a^{2}}$，即 $a^{2}<a^{x}<\dfrac{1}{a^{2}}$，$∴-2<x<2$
(2) 当 $a^{2}>\dfrac{1}{a^{2}}$，即 $a>1$ 时，则 $\dfrac{1}{a^{2}}<t<a^{2}$，
即 $a^{-2}<a^{x}<a^{2}$，$∴-2<x<2$
(3) 当 $a^{2}=\dfrac{1}{a^{2}}$，即 $a=1$ 时，无解．
综上，当 $a≠1$ 时，$-2<x<2$；
当 $a=1$ 时无解．
【点拨】
① 求解指数型不等式，特别要注意底数大于 $1$ 还是小于 $1$ 再利用对应指数函数的单调性求解；本题还要注意 $a=1$；
② 本题利用了换元法，题目不等式为含涉及含参的一元二次不等式的求解，对 $a^2$，$\dfrac{1}{a^{2}}$ 的大小比较是关键.
 

角度3 指数型函数综合问题

【典题 1】 已知定义在 $R$ 上的函数 $y=f(x)$ 满足：
①对于任意的 $x∈R$，都有 $f(x+1)=\dfrac{1}{f(x)}$；
②函数 $y=f(x)$ 是偶函数；
③当 $x∈(0,1]$ 时，$f(x)=x+e^x$，
则 $f\left(-\dfrac{3}{2}\right)$，$f\left(\dfrac{21}{4}\right)$，$f\left(\dfrac{22}{3}\right)$ 从小到大的排列是 $\underline{\quad \quad }$ .
【解析】 由题意 $f(x+1)=\dfrac{1}{f(x)}$，故函数 $y=f(x)$ 为周期为 $2$ 的函数；
$f\left(-\dfrac{3}{2}\right)=f\left(\dfrac{1}{2}\right)$；$f\left(\dfrac{22}{3}\right)=f\left(8-\dfrac{2}{3}\right)=f\left(-\dfrac{2}{3}\right)=f\left(\dfrac{2}{3}\right)$；$f\left(\dfrac{21}{4}\right)=f\left(6-\dfrac{3}{4}\right)=f\left(\dfrac{3}{4}\right)$；
${\color {Red}{(把自变量数值向 (0,1] 靠拢) }}$
$∵$ 当 $x∈(0,1]$ 时，$f(x)=x+e^x$ 是增函数，
故 $f\left(\dfrac{1}{2}\right)<f\left(\dfrac{2}{3}\right)<f\left(\dfrac{3}{4}\right)$，
即 $f\left(-\dfrac{3}{2}\right)<f\left(\dfrac{22}{3}\right)<f\left(\dfrac{21}{4}\right)$．
 

【典题 2】 若 $e^{a}+\pi^{b} \geq e^{-b}+\pi^{-a}$，则有 (　　)
A．$a+b≤0$ $\qquad \qquad$B．$a-b≥0$ $\qquad \qquad$C．$a-b≤0$ $\qquad \qquad$D．$a+b≥0$
【解析】 ${\color {Red}{方法一 \quad 取特殊值排除法}}$
取 $a=0$，$b=1$ 得 $1+\pi \geq \dfrac{1}{e}+1$，满足题意，排除 $A$,$B$；
取 $a=1$，$b=0$ 得 $e+1 \geq 1+\dfrac{1}{\pi}$，满足题意，排除 $C$；
故选：$D$．
${\color {Red}{方法二 \quad 构造函数利用单调性}}$
令 $f(x)=e^{x}-\pi^{-x}$，则 $f(x)$ 是增函数，
$\because e^{a}+\pi^{b} \geq e^{-b}+\pi^{-a}$$\Rightarrow e^{a}-\pi^{-a} \geq e^{-b}-\pi^{b}$，
$∴f(a)≥f(-b)$，即 $a+b≥0$．
故选：$D$．
【点拨】
① 做选择题，利用 “取特殊值排除法” 是较快的一种方法，一般取数都是利于计算的；
② 遇到类似这样的题目，不等式 $e^{a}+\pi^{b} \geq e^{-b}+\pi^{-a}$ 的两边形式较为 “一致”，一般都采取构造函数的方法处理，把不等式 $e^{a}+\pi^{b} \geq e^{-b}+\pi^{-a}$ 变形成 $e^{a}-\pi^{-a} \geq e^{-b}-\pi^{b}$，就较容易联想到构造函数 $f(x)=e^{x}-\pi^{-x}$；
③ 判断函数的单调性，可以采取 “性质法”：增 + 增 = 增，减 + 减 = 减.

 
【典题 3】 已知函数 $f(x)=a^x$，$g(x)=a^{2x}+m$，其中 $m>0$，$a>0$ 且 $a≠1$．当 $x∈[-1,1]$ 时，$y=f(x)$ 的最大值与最小值之和为 $\dfrac{5}{2}$．
(1) 求 $a$ 的值；
(2) 若 $a>1$，记函数 $h(x)=g(x)-2mf(x)$，求当 $x∈[0,1]$ 时，$h(x)$ 的最小值 $H(m)$．
【解析】 (1)$∵f(x)$ 在 $[－1,1]$ 上为单调函数，
$f(x)$ 的最大值与最小值之和为 $a+a^{-1}=\dfrac{5}{2}$，
$∴a=2$ 或 $\dfrac{1}{2}$．
(2)$∵a>1$$∴a=2$
则 $h(x)=2^{2x}+m-2m×2^x$，
令 $t=2^x$，
$∵x∈[0,1]$ 时，$∴t∈[1,2]$，
$h(x)=t^2-2mt+m$，对称轴为 $t=m$
${\color {Red}{(二次函数动轴定区间最值问题)}}$
当 $0<m<1$ 时，$H(m)=h(1)=-m+1$
当 $1≤m≤2$ 时，$H(m)=h(m)=-m^2+m$
当 $m>2$ 时，$H(m)=h(2)=-3m+4$．
综上所述，$H(m)=\left\{\begin{array}{l} -m+1,(0<m<1) \\ -m^{2}+m,(1 \leq m \leq 2) \\ -3 m+4,(m>2) \end{array}\right.$．
【点拨】 本题第二问最后把问题转化为 “二次函数在闭区间上的最值问题” 中的 “动轴定区间”，对对称轴 $t=m$ 在区间 $[1,2]$“左、中、右” 进行分类讨论.
 

【典题 4】 已知函数 $f(x)=9^{x}-3^{x+1}+c$(其中 $c$ 是常数)．
(1) 若当 $x∈[0,1$] 时，恒有 $f(x)<0$ 成立，求实数 $c$ 的取值范围；
(2) 若存在 $x_0∈[0,1]$，使 $f(x_0)<0$ 成立，求实数 $c$ 的取值范围；
(3) 若方程 $f(x)=c\cdot 3^x$ 在 $[0,1]$ 上有唯一实数解，求实数 $c$ 的取值范围.
${\color {Red}{思路痕迹}}$
(1) 恒成立问题可转化为求函数 $y=f(x)$ 的最大值，见到 $9^x$，$3^{x+1}$ 可以考虑换元法，则函数可变成二次函数的最值问题：
(2) 该问是存在性问题，可转化为求函数 $y=f(x)$ 的最小值.
(3) 该问转化为方程 $t^2－(3+c)t+c=0$ 在 $[1,3]$ 上有唯一实数解，属于二次方程根的分布问题.
【解析】 (1)$f(x)=9^{x}-3^{x+1}+c=\left(3^{x}\right)^{2}-3 \times 3^{x}+c$，
令 $3^x=t$，当 $x∈[0,1]$ 时，$t∈[1,3]$，
${\color {Red}{ (利用换元法要注意新变量的求值范围) }}$
问题转化为当 $t∈[1,3]$ 时，$g(t)=t^2-3t+c<0$ 恒成立，
于是只需 $g(t)$ 在 $[1,3]$ 上的最大值 $g(3)<0$，
即 $9-9+c<0$，解得 $c<0$．
$∴$ 实数 $c$ 的取值范围是 $(-∞,0)$；
(2) 若存在 $x_0∈[0,1]$，使 $f(x_0)<0$，
则存在 $t∈[1,3]$，使 $g(t)=t^2-3t+c<0$．
于是只需 $g(t)$ 在 $[1,3]$ 上的最小值 $g\left(\dfrac{3}{2}\right)=\left(\dfrac{3}{2}\right)^{2}-3 \cdot \dfrac{3}{2}+c<0$，
解得 $c<\dfrac{9}{4}$；
$∴$ 实数 $c$ 的取值范围是 $\left(-\infty, \dfrac{9}{4}\right)$；
(3) 若方程 $f(x)=c\cdot 3^x$ 在 $[0,1]$ 上有唯一实数解，
则方程 $t^2-(3+c)t+c=0$ 在 $[1,3]$ 上有唯一实数解，
${\color {Red}{(一元二次方程根的分布问题) }}$
因 $△=(3+c)^2-4c=(c+1)^2+8>0$，
故 $t^2-(3+c)t+c=0$ 在 $[1,3]$ 上不可能有两个相等的实数解，
令 $h(t)=t^2-(3+c)t+c$．
则 $h(1)\cdot h(3)≤0$，
所以 $-2\cdot (-2c)≤0$，解得 $c≤0$．
$∴$ 实数 $c$ 的取值范围是 $(-∞,0]$．
【点拨】 利用换元法把问题转化为二次函数问题；恒成立、能成立问题最终转化为最值问题，注意函数单调性.
 

【典题 5】 已知定义在 $(-1,1)$ 上的奇函数 $f(x)$．在 $x∈(-1,0)$ 时，$f(x)=2^{x}+2^{-x}$．
(1) 试求 $f(x)$ 的表达式；
(2) 若对于 $x∈(0,1)$ 上的每一个值，不等式 $t·2^x·f(x)<4^x-1$ 恒成立，求实数 $t$ 的取值范围．
【解析】 (1)$∵f(x)$ 是定义在 $(-1,1)$ 上的奇函数，$∴f(0)=0$，
设 $x∈(0,1)$，则 $-x∈(-1,0)$，
则 $f(x)=-f(-x)=-\left(2^{x}+2^{-x}\right)$，
故 $f(x)=\left\{\begin{array}{cc} 2^{x}+2^{-x} & x \in(-1,0) \\ 0 & x=0 \\ -2^{x}-2^{-x} & x \in(0,1) \end{array}\right.$
(2) 由题意，$t·2^x·f(x)<4^x-1$ 可化为 $t \cdot 2^{x} \cdot\left(-2^{x}-2^{-x}\right)<4^{x}-1$
化简可得 $t>\dfrac{-4^{x}+1}{4^{x}+1}$，
${\color {Red}{(此处恒成立问题用到 “分离参数法” 转化为最值问题) }}$
令 $g(x)=\dfrac{-4^{x}+1}{4^{x}+1}=-1+\dfrac{2}{4^{x}+1}$，${\color {Red}{ (分离常数法)}}$
易得 $g(x)$ 在 $(0,1)$ 上递减，
$\therefore g(x)<g(0)=-1+\dfrac{2}{4^{0}+1}=0$，
故 $t≥0$． ${\color {Red}{(t 可取到 0) }}$
【点拨】
① 恒成立问题可转化为最值问题，其中手段常见分离参数法、直接构造函数法、数形结合法、变换主元法等；
② 判断形如 $y=\dfrac{a \cdot f(x)+b}{m \cdot f(x)+n}$ 函数的单调性，可用分离常数法；比如 $y=\dfrac{-x+1}{2x+1}$，$y=\dfrac{2x^{2}-3}{x^{2}+1}$，$y=\dfrac{2^{x-1}+1}{2^{x}+1}$ 等.
 

巩固练习

1(★) 设 $a=0.6^{0.4}$，$b=0.4^{0.6}$，$c=0.4^{0.4}$，则 $a,b,c$ 的大小关系为 (　　)
A．$a<b<c$ $\qquad \qquad$ B．$b<c<a$$\qquad \qquad$C．$c<a<b$$\qquad \qquad$ D．$c<b<a$
 

2(★★) 已知实数 $a$，$b$ 满足 $\dfrac{1}{2}>\left(\dfrac{1}{2}\right)^{a}>\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)^{b}>\dfrac{1}{4}$，则 (　　)
A．$b<2 \sqrt{b-a}$ $\qquad \qquad$ B．$b>2 \sqrt{b-a}$ $\qquad \qquad$ C．$a<\sqrt{b-a}$ $\qquad \qquad$ D．$a>\sqrt{b-a}$
 

3(★★) 设 $a>0$，$b>0$，下列命题中正确的是 (　　)
A．若 $2^a+2a=2^b+3b$，则 $a>b$ $\qquad \qquad \qquad \qquad$B．若 $2^a+2a=2^b+3b$，则 $a<b$
C．若 $2^a-2a=2^b-3b$，则 $a>b$ $\qquad \qquad \qquad \qquad$ D．若 $2^a-2a=2^b-3b$，则 $a<b$
 

4(★★) 方程 $4^{x+1}-3 \times 2^{x+2}-16=0$ 的解是 $\underline{\quad \quad }$.
 

5(★★) 若方程 $\left(\dfrac{1}{4}\right)^{x}+\left(\dfrac{1}{2}\right)^{x}-1+a=0$ 有正数解，则实数 $a$ 的取值范围是 $\underline{\quad \quad }$.
 

6(★★★) 已知函数 $f(x)=a^x (a>0,a≠1)$ 在 $[-2,1]$ 上的值域为 $[m,4]$，且函数 $g(x)=\dfrac{3 m-1}{x}$ 在 $(0,+∞)$ 上是减函数，则 $m+a=$$\underline{\quad \quad }$．
 

7(★★★) 设不等式 $4^x-m(4^x+2^x+1)≥0$ 对于任意的 $x∈[0,1]$ 恒成立，则实数 $m$ 的取值范围是 $\underline{\quad \quad }$．
 

8(★★★) 已知 $f(x)=a-\dfrac{2}{3^{x}+1}(a \in R)$：
(1) 证明 $f(x)$ 是 $R$ 上的增函数；
(2) 是否存在实数 $a$ 使函数 $f(x)$ 为奇函数？若存在，请求出 $a$ 的值，若不存在，说明理由．
 
 
 

9(★★★) 设函数 $f (x)=a^{x}-a^{-x}(a>0 \text { 且 } a \neq 1)$．
(1) 判断函数 $f(x)$ 的奇偶性；
(2) 若 $f(1)<0$，试判断 函数 $f(x)$ 的单调性．并求使不等式 $f(x^2+tx)+f(4-x)<0$ 对一切 $x∈R$ 恒成立的 t 的取值范围；
(3) 若 $f(1)=\dfrac{3}{2}$，$g(x)=a^2x+a^{-2x}-2mf(x)$ 且 $g(x)$ 在 $[1,+∞)$ 上的最小值为 $-2$，求 $m$ 的值．
 
 
 
10(★★★) 已知函数 $f(x)=a \cdot 4^{x}-2^{x+1}+a+3$.
(1) 若 $a=0$，解方程 $f(2x)=-5$；
(2) 若 $a=1$，求 $f(x)$ 的单调区间；
(3) 若存在实数 $x_0∈[-1,1]$，使 $f(x_0 )=4$，求实数 $a$ 的取值范围.
 
 
 

参考答案

1.$B$

2.$B$

3.$A$

4.$x=2$

5.$(-3,0)$

6.$1$

7.$\left(-\infty, \dfrac{1}{3}\right]$

8.$(1)$ 略，提示：定义法 $(2)$$a=1$

9.$(1)$ 奇函数 $(2)-3<t<5$$(3) m=2$

10.$(1) x=1$
$(2)$ 单调增区间是 $[0,+∞)$，单调减区间是 $(-∞,0]$
$\text { (3) }\left\{a \mid 1 \leq a \leq \dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\right\}$