4.1 指数函数

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模块导图

知识剖析

指数运算

(1)n次方根与分数指数幂
一般地，如果\(x^n=a\)，那么\(x\)叫做\(a\)的\(n\)次方根，其中\(n>1\)，且\(n∈N^*\).
式子\(\sqrt[n]{a}\)叫做根式，这里\(n\)叫做根指数，\(a\)叫做被开放数.
负数没有偶次方根；\(0\)的任何次方根都是\(0\).
注意：(1)\((\sqrt[n]{a})^{n}=a\)
(2)当\(n\)是奇数时，\(\sqrt[n]{a^{n}}=a\);
当\(n\)是偶数时，\(\sqrt[n]{a^{n}}=|a|=\left\{\begin{array}{c} a, a \geq 0 \\ -a, a<0 \end{array}\right.\).
 

(2) 正数的正分数指数幂的意义
① 正数的正分数指数幂的意义，规定：\(a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^{m}}\)\(\left(a>0, m, n \in N^{*}, \text { 且 } n>1\right)\)
巧记“子内母外”(根号内的\(m\)作分子，根号外的\(n\)作为分母)
\({\color{Red}{ Eg }}\)\(\sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}}\)，\(\sqrt[3]{x^{5}}=x^{\frac{5}{3}}\).
② 正数的正分数指数幂的意义：\(a^{-\frac{m}{n}}=\dfrac{1}{a^{\frac{m}{n}}}=\dfrac{1}{\sqrt[n]{a^{m}}}\)\(\left(a>0, m, n \in N^{*}, \text { 且 } n>1\right)\)
③\(0\)的正分数指数幂等于\(0\)，\(0\)的负分数指数幂没有意义.
 

(3) 实数指数幂的运算性质
①\(a^s\cdot a^r=a^{r+s}\)\((a>0,r,s∈R)\)
②\(\left(a^{s}\right)^{r}=a^{r s}\)\((a>0, r, s \in R)\)\((a>0, r \in R)\)
③\((a b)^{r}=a^{r} b^{r}\)\((a>0, r \in R)\)
 

指数函数概念

一般地，函数\(y=a^x\)（\(a>0\)且\(a≠1\)）叫做指数函数，其中\(x\)是自变量，函数的定义域为\(R\).
 

图像与性质

函数名称	指数函数
定义	函数$y=a^x (a>0$且$a≠1)$叫做指数函数
图象	$a>1$	$0< a <1$
定义域	$R$
值域	$(0,+∞)$
过定点	图象过定点$(0,1)$，即当$x=0$时，$y=1$
奇偶性	非奇非偶
单调性	在$R$上是增函数	在$R$上是减函数
$a$变化对图象的影响	在第一象限内，$a$越大图象越高；在第二象限内，$a$越大图象越低

 

经典例题

【题型一】指数幂的化简与求值

【典题1】 求值\(\left(2 \dfrac{7}{9}\right)^{\frac{1}{2}}-(2 \sqrt{3}-\pi)^{0}-\left(2 \dfrac{10}{27}\right)^{-\frac{1}{3}}+0.125^{-\frac{2}{3}}+\sqrt{3} \cdot \sqrt{\left(\dfrac{3}{4}\right)^{3}}\)
【解析】 原式\(=\left(\dfrac{25}{9}\right)^{\frac{1}{2}}-1-\left(\dfrac{64}{27}\right)^{-\frac{1}{3}}+\left(\dfrac{1}{8}\right)^{-\frac{2}{3}}+3^{\frac{1}{2}} \cdot\left(\frac{3}{4}\right)^{\frac{3}{2}}\)
\(=\dfrac{5}{3}-1-\left(\dfrac{27}{64}\right)^{\frac{1}{3}}+\left(2^{-3}\right)^{-\frac{2}{3}}+3^{2} \cdot\left(\dfrac{1}{4}\right)^{\frac{3}{2}}\)
\(=\dfrac{2}{3}-\dfrac{3}{4}+4+\dfrac{9}{8}\)
\(=\dfrac{121}{24}\).
【点拨】 一般可以带分数化假分数、小数化分数、根式化幂、整数化幂.
 

【典题2】 已知\(x^{\frac{1}{2}}-x^{-\frac{1}{2}}=\sqrt{5}\)，则\(x^{2}+\dfrac{1}{x^{2}}\)的值为\(\underline{\quad \quad}\) .
【解析】 由\(x^{\frac{1}{2}}-x^{-\frac{1}{2}}=\sqrt{5}\)，
两边平方得\(x-2+x^{-1}=5\)，
则\(x+\dfrac{1}{x}=7\)，
所以\(\left(x+\dfrac{1}{x}\right)^{2}=49 \Rightarrow x^{2}+\dfrac{1}{x^{2}}+2=49\)\(\Rightarrow x^{2}+\dfrac{1}{x^{2}}=47\)
【点拨】 注意\(x^{\frac{1}{2}}-x^{-\frac{1}{2}}\)，\(x+\dfrac{1}{x}\)，\(x^{2}+\dfrac{1}{x^{2}}\)之间平方的关系.
 

【典题3】 化简\(\sqrt{11+6 \sqrt{2}}+\sqrt{11-6 \sqrt{2}}\).
【解析】 \(\sqrt{11+6 \sqrt{2}}+\sqrt{11-6 \sqrt{2}}\)
\(=\sqrt{(3+\sqrt{2})^{2}}+\sqrt{(3-\sqrt{2})^{2}}\)
\(=3+\sqrt{2}+3-\sqrt{2}\)
\(=6\).
【点拨】 化简形如\(\sqrt{a+b \sqrt{m}}\)的式子，利用完全平方数处理.
 

巩固练习

1(★) 化简\(\sqrt[3]{a \sqrt{a}} \div a^{\frac{7}{6}}(a>0)=\)\(\underline{\quad \quad }\)．
 

2(★★) 如果\(45^x=3\)，\(45^y=5\)，那么\(2x+y＝\)\(\underline{\quad \quad }\)．
 

3(★★) 已知\(a+\dfrac{1}{a}=7\)，则\(a^{\frac{1}{2}}+a^{-\frac{1}{2}}=\)\(\underline{\quad \quad }\)．
 

4(★★) \(\left(2 \dfrac{1}{4}\right)^{\frac{1}{2}}-(-2)^{0}-\left(\dfrac{27}{8}\right)^{-\frac{2}{3}}+\left(\dfrac{3}{2}\right)^{-2}=\)\(\underline{\quad \quad }\)．
 

5(★★) 求值\(\sqrt{7+4 \sqrt{3}}+\sqrt{7-4 \sqrt{3}}=\)\(\underline{\quad \quad }\)．
 

6(★★★) 已知实数\(x\)，\(y\)满足\(3^x+3^y＝9^x+9^y\)，则\(\dfrac{27^{x}+27^{y}}{3^{x}+3^{y}}\)的取值范围是\(\underline{\quad \quad }\).
 

7(★★★) 已知\(2^a=3^b=6\)，则\(a\)，\(b\)不可能满足的关系是(　　)
A．\(a+b=ab\)\(\qquad \qquad\) B．\(a+b>4\) \(\qquad \qquad\)C．\((a-1)^2+(b-1)^2<2\) \(\qquad \qquad\)D．\(a^2+b^2>8\)
 

参考答案

1.\(a^{-\frac{2}{3}}\)
2.\(1\)
3.\(3\)
4.\(\dfrac{1}{2}\)
5.\(4\)
6.\(\left(1, \dfrac{9}{8}\right]\)
7.\(C\)

 

【题型二】指数函数的图象及应用

【典题1】 函数\(y=2^{|1-x|}\)的图象大致是(　　)

【解析】
\({\color{Red}{方法1}}\) 函数\(y=2^{|1-x|}=\left\{\begin{array}{l} 2^{x-1}, x>1 \\ 2^{1-x}, x \leq 1 \end{array}\right.\)，
\({\color{Red}{(利用|x|=\left\{\begin{array}{c} x, x \geq 0 \\ -x, x<0 \end{array}\right.去掉绝对值把函数变成分段函数)}}\)
\(∴\)当\(x>1\)时，\(y=2^{x-1}\)是增函数，当\(x≤1\)时，\(y=2^{1-x}\)的减函数，
且\(x=1\)时，\(y=1\)，即图象过\((1,1)\)点；
\(∴\)符合条件的图象是\(A\)．
故选：\(A\)．
\({\color{Red}{方法2}}\) 利用函数的图象变换

故选：\(A\)．

【典题2】 设函数\(f(x)=|2^x-1|\)，\(c<b<a\)，且\(f(c)>f(a)>f(b)\)，判断\(2^a+2^c\)与\(2\)的大小关系.
【解析】 \(f(x)=|2^x-1|\)的图象可看成\(f(x)=2^x\)向下平移一个单位，再把\(x\)轴下方的图象做翻转得到，其图象如下图所示，

由图可知，要使\(c<b<a\)且\(f(c)>f(a)>f(b)\)成立，
则有\(c<0\)且\(a>0\)，
故必有\(2^c<1\)且\(2^a>1\)，
又\(f(c)-f(a)>0\)，
即为\(1-2^c-(2^a-1)>0\)，
\(∴2^a+2^c<2\)．
【点拨】 涉及指数函数型的函数\(y=f(x)\)，往往需要得到其图象，方法有：
① 利用要相应指数函数的图象通过平移、对称、翻转变换得其图象；
② 利用去掉绝对值得到分段函数得其图象.
 

巩固练习

1(★) 二次函数\(y=-x^2-4x(x>-2)\)与指数函数\(y=\left(\dfrac{1}{2}\right)^{x}\)的交点个数有(　　)
A．\(3\)个 \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) B．\(2\)个 \(\qquad \qquad \qquad \qquad\)C．\(1\)个 \(\qquad \qquad \qquad \qquad\)D．\(0\)个
 

2(★★) 若函数\(y=a^{|x|} +m-1(0<a<1)\)的图象和\(x\)轴有交点，则实数\(m\)的取值范围是(　　)
A．\([1,+∞)\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\)B．\((0,1)\)\(\qquad \qquad \qquad \qquad\)C．\((-∞,1)\)\(\qquad \qquad \qquad \qquad\)D．\([0,1)\)
 

3(★★) 如图所示，函数\(y=|2^x-2|\)的图象是(　　)

 

4(★★) 已知实数\(a\)，\(b\)满足等式\(2^a=3^b\)，下列五个关系式：①\(0<b<a\)；②\(a<b<0\)；③\(0<a<b\)；④\(b<a<0\)；⑤\(a=b\)．其中可能成立的关系式有(　　)
A．①②③ \(\qquad \qquad \qquad \qquad\)B．①②⑤ \(\qquad \qquad \qquad \qquad\)C．①③⑤\(\qquad \qquad \qquad \qquad\) D．③④⑤
 

5(★★★) 若\(2^{x}-5^{-x} \leq 2^{-y}-5^{y}\)，则有(　　)
A．\(x+y≥0\)\(\qquad \qquad\)B．\(x+y≤0\)\(\qquad \qquad\)C．\(x-y≤0\)\(\qquad \qquad\)D．\(x-y≥0\)
 

参考答案

1.\(C\)
2.\(D\)
3.\(B\)
4.\(B\)
5.\(B\)

 

【题型三】指数函数的性质及应用

角度1 比较指数式的大小

【典题1】 设\(y_{1}=4^{0.9}\)，\(y_{2}=8^{0.48}\)，\(y_{3}=\left(\dfrac{1}{2}\right)^{-1.5}\)，则(　　)
A．\(y_3>y_1>y_2\) \(\qquad \qquad\) B．\(y_2>y_1>y_3\) \(\qquad \qquad\) C．\(y_1>y_2>y_3\)\(\qquad \qquad\)D．\(y_1>y_3>y_2\)
【解析】 利用幂的运算性质可得，
\(y_{1}=4^{0.9}=2^{1.8}\)，\(y_{2}=8^{0.48}=2^{1.44}\)，\(y_{3}=\left(\dfrac{1}{2}\right)^{-1.5}=2^{1.5}\)，
再由\(y=2^x\)是增函数，知\(y_1>y_3>y_2\)．
故选：\(D\)．
 

【典题2】 已知\(a=0.7^{2.1}\)，\(b=0.7^{2.5}\)，\(c=2.1^{0.7}\)，则这三个数的大小关系为(　　)
A．\(b<a<c\) \(\qquad \qquad\)B．\(a<b<c\) \(\qquad \qquad\) C．\(c<a<b\) \(\qquad \qquad\)D．\(c<b<a\)
【解析】 函数\(y=0.7^{x}\)是减函数，
\(∵2.1<2.5\)，\(\therefore 0.7^{2.1}>0.7^{2.5}\)，即\(a>b\)．
又\(\because c=2.1^{0.7}>2.1^{0}=1\)，\(a=0.7^{2.1}<0.7^{0}=1\)，
\(∴c<a\)，\(∴b<a<c\)，
故选：\(A\)．
【点拨】 比较指数式的大小，主要是利用指数函数的单调性，具体方法有
① 把指数幂化为同底，再利用指数函数的单调性比较大小；
② 若不能化为同底，可对指数幂进行估值，一般可以与\(0\)，\(1\)比较大小；
③ 利用第三个数作为两个数字大小比较的过渡.
 

角度2 求解指数型不等式和方程

【典题1】 方程\(4^{x+1}-3 \times 2^{x+2}-16=0\)的解是\(\underline{\quad \quad }\)．
【解析】 \(4^{x+1}-3 \times 2^{x+2}-16=0\)，
即为\(4 \times\left(2^{x}\right)^{2}-12 \times 2^{x}-16=0\)
令\(t=2^x>0\)
则有\(4t^2-12t-16=0\)，解得\(t=4\),\(t=-1\)(舍)
所以\(2^x=4\)，\(x=2\)
故答案为\(x=2\)．
【点拨】 利用换元法，要注意幂的底数之间的关系，同时换元后\(t=2^x>0\)是容易忽略的.
 

【典题2】 解不等式\(a^{2 x}+1<a^{x+2}+a^{x-2}(a>0)\)
【解析】 \(\because a^{x+2}+a^{x-2}=\left(a^{2}+\dfrac{1}{a^{2}}\right) a^{x}\),
令\(t=a^x\)
原不等式变形得\(t^{2}-\left(a^{2}+\dfrac{1}{a^{2}}\right) t+1<0\)，
即\(\left(t-a^{2}\right)\left(t-\dfrac{1}{a^{2}}\right)<0\)，\({\color{Red}{(注意因式分解)}}\)
(1)当\(a^{2}<\dfrac{1}{a^{2}}\)，即\(0<a<1\)时，
则\(a^{2}<t<\dfrac{1}{a^{2}}\)，即\(a^{2}<a^{x}<\dfrac{1}{a^{2}}\)，\(∴-2<x<2\)
(2)当\(a^{2}>\dfrac{1}{a^{2}}\)，即\(a>1\)时，则\(\dfrac{1}{a^{2}}<t<a^{2}\)，
即\(a^{-2}<a^{x}<a^{2}\)，\(∴-2<x<2\)
(3)当\(a^{2}=\dfrac{1}{a^{2}}\)，即\(a=1\)时，无解．
综上，当\(a≠1\)时，\(-2<x<2\)；
当\(a=1\)时无解．
【点拨】
① 求解指数型不等式，特别要注意底数大于\(1\)还是小于\(1\)再利用对应指数函数的单调性求解；本题还要注意\(a=1\)；
② 本题利用了换元法，题目不等式为含涉及含参的一元二次不等式的求解，对\(a^2\)，\(\dfrac{1}{a^{2}}\)的大小比较是关键.
 

角度3 指数型函数综合问题

【典题1】 已知定义在\(R\)上的函数\(y=f(x)\)满足：
①对于任意的\(x∈R\)，都有\(f(x+1)=\dfrac{1}{f(x)}\)；
②函数\(y=f(x)\)是偶函数；
③当\(x∈(0,1]\)时，\(f(x)=x+e^x\)，
则\(f\left(-\dfrac{3}{2}\right)\)，\(f\left(\dfrac{21}{4}\right)\)，\(f\left(\dfrac{22}{3}\right)\)从小到大的排列是\(\underline{\quad \quad }\) .
【解析】 由题意\(f(x+1)=\dfrac{1}{f(x)}\)，故函数\(y=f(x)\)为周期为\(2\)的函数；
\(f\left(-\dfrac{3}{2}\right)=f\left(\dfrac{1}{2}\right)\)；\(f\left(\dfrac{22}{3}\right)=f\left(8-\dfrac{2}{3}\right)=f\left(-\dfrac{2}{3}\right)=f\left(\dfrac{2}{3}\right)\)；\(f\left(\dfrac{21}{4}\right)=f\left(6-\dfrac{3}{4}\right)=f\left(\dfrac{3}{4}\right)\)；
\({\color{Red}{(把自变量数值向(0,1]靠拢) }}\)
\(∵\)当\(x∈(0,1]\)时，\(f(x)=x+e^x\)是增函数，
故\(f\left(\dfrac{1}{2}\right)<f\left(\dfrac{2}{3}\right)<f\left(\dfrac{3}{4}\right)\)，
即\(f\left(-\dfrac{3}{2}\right)<f\left(\dfrac{22}{3}\right)<f\left(\dfrac{21}{4}\right)\)．
 

【典题2】 若\(e^{a}+\pi^{b} \geq e^{-b}+\pi^{-a}\)，则有(　　)
A．\(a+b≤0\) \(\qquad \qquad\)B．\(a-b≥0\) \(\qquad \qquad\)C．\(a-b≤0\) \(\qquad \qquad\)D．\(a+b≥0\)
【解析】 \({\color{Red}{方法一\quad 取特殊值排除法}}\)
取\(a=0\)，\(b=1\)得\(1+\pi \geq \dfrac{1}{e}+1\)，满足题意，排除\(A\),\(B\)；
取\(a=1\)，\(b=0\)得\(e+1 \geq 1+\dfrac{1}{\pi}\)，满足题意，排除\(C\)；
故选：\(D\)．
\({\color{Red}{方法二\quad 构造函数利用单调性}}\)
令\(f(x)=e^{x}-\pi^{-x}\)，则\(f(x)\)是增函数，
\(\because e^{a}+\pi^{b} \geq e^{-b}+\pi^{-a}\)\(\Rightarrow e^{a}-\pi^{-a} \geq e^{-b}-\pi^{b}\)，
\(∴f(a)≥f(-b)\)，即\(a+b≥0\)．
故选：\(D\)．
【点拨】
① 做选择题，利用“取特殊值排除法”是较快的一种方法，一般取数都是利于计算的；
② 遇到类似这样的题目，不等式\(e^{a}+\pi^{b} \geq e^{-b}+\pi^{-a}\)的两边形式较为“一致”，一般都采取构造函数的方法处理，把不等式\(e^{a}+\pi^{b} \geq e^{-b}+\pi^{-a}\)变形成\(e^{a}-\pi^{-a} \geq e^{-b}-\pi^{b}\)，就较容易联想到构造函数\(f(x)=e^{x}-\pi^{-x}\)；
③ 判断函数的单调性，可以采取“性质法”：增+增=增，减+减=减.

 
【典题3】 已知函数\(f(x)=a^x\)，\(g(x)=a^{2x}+m\)，其中\(m>0\)，\(a>0\)且\(a≠1\)．当\(x∈[-1,1]\)时，\(y=f(x)\)的最大值与最小值之和为\(\dfrac{5}{2}\)．
(1)求\(a\)的值；
(2)若\(a>1\)，记函数\(h(x)=g(x)-2mf(x)\)，求当\(x∈[0,1]\)时，\(h(x)\)的最小值\(H(m)\)．
【解析】 (1)\(∵f(x)\)在\([－1,1]\)上为单调函数，
\(f(x)\)的最大值与最小值之和为\(a+a^{-1}=\dfrac{5}{2}\)，
\(∴a=2\)或\(\dfrac{1}{2}\)．
(2)\(∵a>1\)\(∴a=2\)
则\(h(x)=2^{2x}+m-2m×2^x\)，
令\(t=2^x\)，
\(∵x∈[0,1]\)时，\(∴t∈[1,2]\)，
\(h(x)=t^2-2mt+m\)，对称轴为\(t=m\)
\({\color{Red}{(二次函数动轴定区间最值问题)}}\)
当\(0<m<1\)时，\(H(m)=h(1)=-m+1\)
当\(1≤m≤2\)时，\(H(m)=h(m)=-m^2+m\)
当\(m>2\)时，\(H(m)=h(2)=-3m+4\)．
综上所述，\(H(m)=\left\{\begin{array}{l} -m+1,(0<m<1) \\ -m^{2}+m,(1 \leq m \leq 2) \\ -3 m+4,(m>2) \end{array}\right.\)．
【点拨】 本题第二问最后把问题转化为“二次函数在闭区间上的最值问题”中的“动轴定区间”，对对称轴\(t=m\)在区间\([1,2]\)“左、中、右”进行分类讨论.
 

【典题4】 已知函数\(f(x)=9^{x}-3^{x+1}+c\)(其中\(c\)是常数)．
(1)若当\(x∈[0,1\)]时，恒有\(f(x)<0\)成立，求实数\(c\)的取值范围；
(2)若存在\(x_0∈[0,1]\)，使\(f(x_0)<0\)成立，求实数\(c\)的取值范围；
(3)若方程\(f(x)=c\cdot 3^x\)在\([0,1]\)上有唯一实数解，求实数\(c\)的取值范围.
\({\color{Red}{思路痕迹}}\)
(1) 恒成立问题可转化为求函数\(y=f(x)\)的最大值，见到\(9^x\)，\(3^{x+1}\)可以考虑换元法，则函数可变成二次函数的最值问题：
(2) 该问是存在性问题，可转化为求函数\(y=f(x)\)的最小值.
(3) 该问转化为方程\(t^2－(3+c)t+c=0\)在\([1,3]\)上有唯一实数解，属于二次方程根的分布问题.
【解析】 (1)\(f(x)=9^{x}-3^{x+1}+c=\left(3^{x}\right)^{2}-3 \times 3^{x}+c\)，
令\(3^x=t\)，当\(x∈[0,1]\)时，\(t∈[1,3]\)，
\({\color{Red}{ (利用换元法要注意新变量的求值范围) }}\)
问题转化为当\(t∈[1,3]\)时，\(g(t)=t^2-3t+c<0\)恒成立，
于是只需\(g(t)\)在\([1,3]\)上的最大值\(g(3)<0\)，
即\(9-9+c<0\)，解得\(c<0\)．
\(∴\)实数\(c\)的取值范围是\((-∞,0)\)；
(2)若存在\(x_0∈[0,1]\)，使\(f(x_0)<0\)，
则存在\(t∈[1,3]\)，使\(g(t)=t^2-3t+c<0\)．
于是只需\(g(t)\)在\([1,3]\)上的最小值\(g\left(\dfrac{3}{2}\right)=\left(\dfrac{3}{2}\right)^{2}-3 \cdot \dfrac{3}{2}+c<0\)，
解得\(c<\dfrac{9}{4}\)；
\(∴\)实数\(c\)的取值范围是\(\left(-\infty, \dfrac{9}{4}\right)\)；
(3)若方程\(f(x)=c\cdot 3^x\)在\([0,1]\)上有唯一实数解，
则方程\(t^2-(3+c)t+c=0\)在\([1,3]\)上有唯一实数解，
\({\color{Red}{(一元二次方程根的分布问题) }}\)
因\(△=(3+c)^2-4c=(c+1)^2+8>0\)，
故\(t^2-(3+c)t+c=0\)在\([1,3]\)上不可能有两个相等的实数解，
令\(h(t)=t^2-(3+c)t+c\)．
则\(h(1)\cdot h(3)≤0\)，
所以\(-2\cdot (-2c)≤0\)，解得\(c≤0\)．
\(∴\)实数\(c\)的取值范围是\((-∞,0]\)．
【点拨】 利用换元法把问题转化为二次函数问题；恒成立、能成立问题最终转化为最值问题，注意函数单调性.
 

【典题5】 已知定义在\((-1,1)\)上的奇函数\(f(x)\)．在\(x∈(-1,0)\)时，\(f(x)=2^{x}+2^{-x}\)．
(1)试求\(f(x)\)的表达式；
(2)若对于\(x∈(0,1)\)上的每一个值，不等式\(t·2^x·f(x)<4^x-1\)恒成立，求实数\(t\)的取值范围．
【解析】 (1)\(∵f(x)\)是定义在\((-1,1)\)上的奇函数，\(∴f(0)=0\)，
设\(x∈(0,1)\)，则\(-x∈(-1,0)\)，
则\(f(x)=-f(-x)=-\left(2^{x}+2^{-x}\right)\)，
故\(f(x)=\left\{\begin{array}{cc} 2^{x}+2^{-x} & x \in(-1,0) \\ 0 & x=0 \\ -2^{x}-2^{-x} & x \in(0,1) \end{array}\right.\)
(2)由题意，\(t·2^x·f(x)<4^x-1\)可化为\(t \cdot 2^{x} \cdot\left(-2^{x}-2^{-x}\right)<4^{x}-1\)
化简可得\(t>\dfrac{-4^{x}+1}{4^{x}+1}\)，
\({\color{Red}{(此处恒成立问题用到“分离参数法”转化为最值问题) }}\)
令\(g(x)=\dfrac{-4^{x}+1}{4^{x}+1}=-1+\dfrac{2}{4^{x}+1}\)，\({\color{Red}{ (分离常数法)}}\)
易得\(g(x)\)在\((0,1)\)上递减，
\(\therefore g(x)<g(0)=-1+\dfrac{2}{4^{0}+1}=0\)，
故\(t≥0\)． \({\color{Red}{(t可取到0) }}\)
【点拨】
① 恒成立问题可转化为最值问题，其中手段常见分离参数法、直接构造函数法、数形结合法、变换主元法等；
② 判断形如\(y=\dfrac{a \cdot f(x)+b}{m \cdot f(x)+n}\)函数的单调性，可用分离常数法；比如\(y=\dfrac{-x+1}{2x+1}\)，\(y=\dfrac{2x^{2}-3}{x^{2}+1}\)，\(y=\dfrac{2^{x-1}+1}{2^{x}+1}\)等.
 

巩固练习

1(★) 设\(a=0.6^{0.4}\)，\(b=0.4^{0.6}\)，\(c=0.4^{0.4}\)，则\(a,b,c\)的大小关系为(　　)
A．\(a<b<c\) \(\qquad \qquad\) B．\(b<c<a\)\(\qquad \qquad\)C．\(c<a<b\)\(\qquad \qquad\) D．\(c<b<a\)
 

2(★★) 已知实数\(a\)，\(b\)满足\(\dfrac{1}{2}>\left(\dfrac{1}{2}\right)^{a}>\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)^{b}>\dfrac{1}{4}\)，则(　　)
A．\(b<2 \sqrt{b-a}\) \(\qquad \qquad\) B．\(b>2 \sqrt{b-a}\) \(\qquad \qquad\) C．\(a<\sqrt{b-a}\) \(\qquad \qquad\) D．\(a>\sqrt{b-a}\)
 

3(★★) 设\(a>0\)，\(b>0\)，下列命题中正确的是(　　)
A．若\(2^a+2a=2^b+3b\)，则\(a>b\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\)B．若\(2^a+2a=2^b+3b\)，则\(a<b\)
C．若\(2^a-2a=2^b-3b\)，则\(a>b\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) D．若\(2^a-2a=2^b-3b\)，则\(a<b\)
 

4(★★) 方程\(4^{x+1}-3 \times 2^{x+2}-16=0\)的解是\(\underline{\quad \quad }\).
 

5(★★) 若方程\(\left(\dfrac{1}{4}\right)^{x}+\left(\dfrac{1}{2}\right)^{x}-1+a=0\)有正数解，则实数\(a\)的取值范围是\(\underline{\quad \quad }\).
 

6(★★★) 已知函数\(f(x)=a^x (a>0,a≠1)\)在\([-2,1]\)上的值域为\([m,4]\)，且函数\(g(x)=\dfrac{3 m-1}{x}\)在\((0,+∞)\)上是减函数，则\(m+a=\)\(\underline{\quad \quad }\)．
 

7(★★★) 设不等式\(4^x-m(4^x+2^x+1)≥0\)对于任意的\(x∈[0,1]\)恒成立，则实数\(m\)的取值范围是\(\underline{\quad \quad }\)．
 

8(★★★) 已知\(f(x)=a-\dfrac{2}{3^{x}+1}(a \in R)\)：
(1)证明\(f(x)\)是\(R\)上的增函数；
(2)是否存在实数\(a\)使函数\(f(x)\)为奇函数？若存在，请求出\(a\)的值，若不存在，说明理由．
 
 
 

9(★★★) 设函数\(f(x)=a^{x}-a^{-x}(a>0 \text { 且 } a \neq 1)\)．
(1)判断函数\(f(x)\)的奇偶性；
(2)若\(f(1)<0\)，试判断 函数\(f(x)\)的单调性．并求使不等式\(f(x^2+tx)+f(4-x)<0\)对一切\(x∈R\)恒成立的t的取值范围；
(3)若\(f(1)=\dfrac{3}{2}\)，\(g(x)=a^2x+a^{-2x}-2mf(x)\)且\(g(x)\)在\([1,+∞)\)上的最小值为\(-2\)，求\(m\)的值．
 
 
 
10(★★★) 已知函数\(f(x)=a \cdot 4^{x}-2^{x+1}+a+3\).
(1)若\(a=0\)，解方程\(f(2x)=-5\)；
(2)若\(a=1\)，求\(f(x)\)的单调区间；
(3)若存在实数\(x_0∈[-1,1]\)，使\(f(x_0 )=4\)，求实数\(a\)的取值范围.
 
 
 

参考答案

1.\(B\)

2.\(B\)

3.\(A\)

4.\(x=2\)

5.\((-3,0)\)

6.\(1\)

7.\(\left(-\infty, \dfrac{1}{3}\right]\)

8.\((1)\)略，提示：定义法\((2)\)\(a=1\)

9.\((1)\)奇函数\((2)-3<t<5\)\((3) m=2\)

10.\((1) x=1\)
\((2)\)单调增区间是\([0,+∞)\)，单调减区间是\((-∞,0]\)
\(\text { (3) }\left\{a \mid 1 \leq a \leq \dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\right\}\)