4.1 指数函数
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知识剖析
指数运算
(1)n次方根与分数指数幂
一般地,如果\(x^n=a\),那么\(x\)叫做\(a\)的\(n\)次方根,其中\(n>1\),且\(n∈N^*\).
式子\(\sqrt[n]{a}\)叫做根式,这里\(n\)叫做根指数,\(a\)叫做被开放数.
负数没有偶次方根;\(0\)的任何次方根都是\(0\).
注意:(1)\((\sqrt[n]{a})^{n}=a\)
(2)当\(n\)是奇数时,\(\sqrt[n]{a^{n}}=a\);
当\(n\)是偶数时,\(\sqrt[n]{a^{n}}=|a|=\left\{\begin{array}{c}
a, a \geq 0 \\
-a, a<0
\end{array}\right.\).
(2) 正数的正分数指数幂的意义
① 正数的正分数指数幂的意义,规定:\(a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^{m}}\)\(\left(a>0, m, n \in N^{*}, \text { 且 } n>1\right)\)
巧记“子内母外”(根号内的\(m\)作分子,根号外的\(n\)作为分母)
\({\color{Red}{ Eg }}\)\(\sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}}\),\(\sqrt[3]{x^{5}}=x^{\frac{5}{3}}\).
② 正数的正分数指数幂的意义:\(a^{-\frac{m}{n}}=\dfrac{1}{a^{\frac{m}{n}}}=\dfrac{1}{\sqrt[n]{a^{m}}}\)\(\left(a>0, m, n \in N^{*}, \text { 且 } n>1\right)\)
③\(0\)的正分数指数幂等于\(0\),\(0\)的负分数指数幂没有意义.
(3) 实数指数幂的运算性质
①\(a^s\cdot a^r=a^{r+s}\)\((a>0,r,s∈R)\)
②\(\left(a^{s}\right)^{r}=a^{r s}\)\((a>0, r, s \in R)\)\((a>0, r \in R)\)
③\((a b)^{r}=a^{r} b^{r}\)\((a>0, r \in R)\)
指数函数概念
一般地,函数\(y=a^x\)(\(a>0\)且\(a≠1\))叫做指数函数,其中\(x\)是自变量,函数的定义域为\(R\).
图像与性质
函数名称 | 指数函数 | |
定义 | 函数$y=a^x (a>0$且$a≠1)$叫做指数函数 | |
图象 | $a>1$ | $0< a <1$ |
![]() |
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|
定义域 | $R$ | |
值域 | $(0,+∞)$ | |
过定点 | 图象过定点$(0,1)$,即当$x=0$时,$y=1$ | |
奇偶性 | 非奇非偶 | |
单调性 | 在$R$上是增函数 | 在$R$上是减函数 |
$a$变化对图象的影响 | 在第一象限内,$a$越大图象越高;在第二象限内,$a$越大图象越低 |
经典例题
【题型一】指数幂的化简与求值
【典题1】 求值\(\left(2 \dfrac{7}{9}\right)^{\frac{1}{2}}-(2 \sqrt{3}-\pi)^{0}-\left(2 \dfrac{10}{27}\right)^{-\frac{1}{3}}+0.125^{-\frac{2}{3}}+\sqrt{3} \cdot \sqrt{\left(\dfrac{3}{4}\right)^{3}}\)
【解析】 原式\(=\left(\dfrac{25}{9}\right)^{\frac{1}{2}}-1-\left(\dfrac{64}{27}\right)^{-\frac{1}{3}}+\left(\dfrac{1}{8}\right)^{-\frac{2}{3}}+3^{\frac{1}{2}} \cdot\left(\frac{3}{4}\right)^{\frac{3}{2}}\)
\(=\dfrac{5}{3}-1-\left(\dfrac{27}{64}\right)^{\frac{1}{3}}+\left(2^{-3}\right)^{-\frac{2}{3}}+3^{2} \cdot\left(\dfrac{1}{4}\right)^{\frac{3}{2}}\)
\(=\dfrac{2}{3}-\dfrac{3}{4}+4+\dfrac{9}{8}\)
\(=\dfrac{121}{24}\).
【点拨】 一般可以带分数化假分数、小数化分数、根式化幂、整数化幂.
【典题2】 已知\(x^{\frac{1}{2}}-x^{-\frac{1}{2}}=\sqrt{5}\),则\(x^{2}+\dfrac{1}{x^{2}}\)的值为\(\underline{\quad \quad}\) .
【解析】 由\(x^{\frac{1}{2}}-x^{-\frac{1}{2}}=\sqrt{5}\),
两边平方得\(x-2+x^{-1}=5\),
则\(x+\dfrac{1}{x}=7\),
所以\(\left(x+\dfrac{1}{x}\right)^{2}=49 \Rightarrow x^{2}+\dfrac{1}{x^{2}}+2=49\)\(\Rightarrow x^{2}+\dfrac{1}{x^{2}}=47\)
【点拨】 注意\(x^{\frac{1}{2}}-x^{-\frac{1}{2}}\),\(x+\dfrac{1}{x}\),\(x^{2}+\dfrac{1}{x^{2}}\)之间平方的关系.
【典题3】 化简\(\sqrt{11+6 \sqrt{2}}+\sqrt{11-6 \sqrt{2}}\).
【解析】 \(\sqrt{11+6 \sqrt{2}}+\sqrt{11-6 \sqrt{2}}\)
\(=\sqrt{(3+\sqrt{2})^{2}}+\sqrt{(3-\sqrt{2})^{2}}\)
\(=3+\sqrt{2}+3-\sqrt{2}\)
\(=6\).
【点拨】 化简形如\(\sqrt{a+b \sqrt{m}}\)的式子,利用完全平方数处理.
巩固练习
1(★) 化简\(\sqrt[3]{a \sqrt{a}} \div a^{\frac{7}{6}}(a>0)=\)\(\underline{\quad \quad }\).
2(★★) 如果\(45^x=3\),\(45^y=5\),那么\(2x+y=\)\(\underline{\quad \quad }\).
3(★★) 已知\(a+\dfrac{1}{a}=7\),则\(a^{\frac{1}{2}}+a^{-\frac{1}{2}}=\)\(\underline{\quad \quad }\).
4(★★) \(\left(2 \dfrac{1}{4}\right)^{\frac{1}{2}}-(-2)^{0}-\left(\dfrac{27}{8}\right)^{-\frac{2}{3}}+\left(\dfrac{3}{2}\right)^{-2}=\)\(\underline{\quad \quad }\).
5(★★) 求值\(\sqrt{7+4 \sqrt{3}}+\sqrt{7-4 \sqrt{3}}=\)\(\underline{\quad \quad }\).
6(★★★) 已知实数\(x\),\(y\)满足\(3^x+3^y=9^x+9^y\),则\(\dfrac{27^{x}+27^{y}}{3^{x}+3^{y}}\)的取值范围是\(\underline{\quad \quad }\).
7(★★★) 已知\(2^a=3^b=6\),则\(a\),\(b\)不可能满足的关系是( )
A.\(a+b=ab\)\(\qquad \qquad\) B.\(a+b>4\) \(\qquad \qquad\)C.\((a-1)^2+(b-1)^2<2\) \(\qquad \qquad\)D.\(a^2+b^2>8\)
参考答案
1.\(a^{-\frac{2}{3}}\)
2.\(1\)
3.\(3\)
4.\(\dfrac{1}{2}\)
5.\(4\)
6.\(\left(1, \dfrac{9}{8}\right]\)
7.\(C\)
【题型二】指数函数的图象及应用
【典题1】 函数\(y=2^{|1-x|}\)的图象大致是( )
【解析】
\({\color{Red}{方法1}}\) 函数\(y=2^{|1-x|}=\left\{\begin{array}{l}
2^{x-1}, x>1 \\
2^{1-x}, x \leq 1
\end{array}\right.\),
\({\color{Red}{(利用|x|=\left\{\begin{array}{c}
x, x \geq 0 \\
-x, x<0
\end{array}\right.去掉绝对值把函数变成分段函数)}}\)
\(∴\)当\(x>1\)时,\(y=2^{x-1}\)是增函数,当\(x≤1\)时,\(y=2^{1-x}\)的减函数,
且\(x=1\)时,\(y=1\),即图象过\((1,1)\)点;
\(∴\)符合条件的图象是\(A\).
故选:\(A\).
\({\color{Red}{方法2}}\) 利用函数的图象变换
故选:\(A\).
【典题2】 设函数\(f(x)=|2^x-1|\),\(c<b<a\),且\(f(c)>f(a)>f(b)\),判断\(2^a+2^c\)与\(2\)的大小关系.
【解析】 \(f(x)=|2^x-1|\)的图象可看成\(f(x)=2^x\)向下平移一个单位,再把\(x\)轴下方的图象做翻转得到,其图象如下图所示,
由图可知,要使\(c<b<a\)且\(f(c)>f(a)>f(b)\)成立,
则有\(c<0\)且\(a>0\),
故必有\(2^c<1\)且\(2^a>1\),
又\(f(c)-f(a)>0\),
即为\(1-2^c-(2^a-1)>0\),
\(∴2^a+2^c<2\).
【点拨】 涉及指数函数型的函数\(y=f(x)\),往往需要得到其图象,方法有:
① 利用要相应指数函数的图象通过平移、对称、翻转变换得其图象;
② 利用去掉绝对值得到分段函数得其图象.
巩固练习
1(★) 二次函数\(y=-x^2-4x(x>-2)\)与指数函数\(y=\left(\dfrac{1}{2}\right)^{x}\)的交点个数有( )
A.\(3\)个 \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) B.\(2\)个 \(\qquad \qquad \qquad \qquad\)C.\(1\)个 \(\qquad \qquad \qquad \qquad\)D.\(0\)个
2(★★) 若函数\(y=a^{|x|} +m-1(0<a<1)\)的图象和\(x\)轴有交点,则实数\(m\)的取值范围是( )
A.\([1,+∞)\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\)B.\((0,1)\)\(\qquad \qquad \qquad \qquad\)C.\((-∞,1)\)\(\qquad \qquad \qquad \qquad\)D.\([0,1)\)
3(★★) 如图所示,函数\(y=|2^x-2|\)的图象是( )
4(★★) 已知实数\(a\),\(b\)满足等式\(2^a=3^b\),下列五个关系式:①\(0<b<a\);②\(a<b<0\);③\(0<a<b\);④\(b<a<0\);⑤\(a=b\).其中可能成立的关系式有( )
A.①②③ \(\qquad \qquad \qquad \qquad\)B.①②⑤ \(\qquad \qquad \qquad \qquad\)C.①③⑤\(\qquad \qquad \qquad \qquad\) D.③④⑤
5(★★★) 若\(2^{x}-5^{-x} \leq 2^{-y}-5^{y}\),则有( )
A.\(x+y≥0\)\(\qquad \qquad\)B.\(x+y≤0\)\(\qquad \qquad\)C.\(x-y≤0\)\(\qquad \qquad\)D.\(x-y≥0\)
参考答案
1.\(C\)
2.\(D\)
3.\(B\)
4.\(B\)
5.\(B\)
【题型三】指数函数的性质及应用
角度1 比较指数式的大小
【典题1】 设\(y_{1}=4^{0.9}\),\(y_{2}=8^{0.48}\),\(y_{3}=\left(\dfrac{1}{2}\right)^{-1.5}\),则( )
A.\(y_3>y_1>y_2\) \(\qquad \qquad\) B.\(y_2>y_1>y_3\) \(\qquad \qquad\) C.\(y_1>y_2>y_3\)\(\qquad \qquad\)D.\(y_1>y_3>y_2\)
【解析】 利用幂的运算性质可得,
\(y_{1}=4^{0.9}=2^{1.8}\),\(y_{2}=8^{0.48}=2^{1.44}\),\(y_{3}=\left(\dfrac{1}{2}\right)^{-1.5}=2^{1.5}\),
再由\(y=2^x\)是增函数,知\(y_1>y_3>y_2\).
故选:\(D\).
【典题2】 已知\(a=0.7^{2.1}\),\(b=0.7^{2.5}\),\(c=2.1^{0.7}\),则这三个数的大小关系为( )
A.\(b<a<c\) \(\qquad \qquad\)B.\(a<b<c\) \(\qquad \qquad\) C.\(c<a<b\) \(\qquad \qquad\)D.\(c<b<a\)
【解析】 函数\(y=0.7^{x}\)是减函数,
\(∵2.1<2.5\),\(\therefore 0.7^{2.1}>0.7^{2.5}\),即\(a>b\).
又\(\because c=2.1^{0.7}>2.1^{0}=1\),\(a=0.7^{2.1}<0.7^{0}=1\),
\(∴c<a\),\(∴b<a<c\),
故选:\(A\).
【点拨】 比较指数式的大小,主要是利用指数函数的单调性,具体方法有
① 把指数幂化为同底,再利用指数函数的单调性比较大小;
② 若不能化为同底,可对指数幂进行估值,一般可以与\(0\),\(1\)比较大小;
③ 利用第三个数作为两个数字大小比较的过渡.
角度2 求解指数型不等式和方程
【典题1】 方程\(4^{x+1}-3 \times 2^{x+2}-16=0\)的解是\(\underline{\quad \quad }\).
【解析】 \(4^{x+1}-3 \times 2^{x+2}-16=0\),
即为\(4 \times\left(2^{x}\right)^{2}-12 \times 2^{x}-16=0\)
令\(t=2^x>0\)
则有\(4t^2-12t-16=0\),解得\(t=4\),\(t=-1\)(舍)
所以\(2^x=4\),\(x=2\)
故答案为\(x=2\).
【点拨】 利用换元法,要注意幂的底数之间的关系,同时换元后\(t=2^x>0\)是容易忽略的.
【典题2】 解不等式\(a^{2 x}+1<a^{x+2}+a^{x-2}(a>0)\)
【解析】 \(\because a^{x+2}+a^{x-2}=\left(a^{2}+\dfrac{1}{a^{2}}\right) a^{x}\),
令\(t=a^x\)
原不等式变形得\(t^{2}-\left(a^{2}+\dfrac{1}{a^{2}}\right) t+1<0\),
即\(\left(t-a^{2}\right)\left(t-\dfrac{1}{a^{2}}\right)<0\),\({\color{Red}{(注意因式分解)}}\)
(1)当\(a^{2}<\dfrac{1}{a^{2}}\),即\(0<a<1\)时,
则\(a^{2}<t<\dfrac{1}{a^{2}}\),即\(a^{2}<a^{x}<\dfrac{1}{a^{2}}\),\(∴-2<x<2\)
(2)当\(a^{2}>\dfrac{1}{a^{2}}\),即\(a>1\)时,则\(\dfrac{1}{a^{2}}<t<a^{2}\),
即\(a^{-2}<a^{x}<a^{2}\),\(∴-2<x<2\)
(3)当\(a^{2}=\dfrac{1}{a^{2}}\),即\(a=1\)时,无解.
综上,当\(a≠1\)时,\(-2<x<2\);
当\(a=1\)时无解.
【点拨】
① 求解指数型不等式,特别要注意底数大于\(1\)还是小于\(1\)再利用对应指数函数的单调性求解;本题还要注意\(a=1\);
② 本题利用了换元法,题目不等式为含涉及含参的一元二次不等式的求解,对\(a^2\),\(\dfrac{1}{a^{2}}\)的大小比较是关键.
角度3 指数型函数综合问题
【典题1】 已知定义在\(R\)上的函数\(y=f(x)\)满足:
①对于任意的\(x∈R\),都有\(f(x+1)=\dfrac{1}{f(x)}\);
②函数\(y=f(x)\)是偶函数;
③当\(x∈(0,1]\)时,\(f(x)=x+e^x\),
则\(f\left(-\dfrac{3}{2}\right)\),\(f\left(\dfrac{21}{4}\right)\),\(f\left(\dfrac{22}{3}\right)\)从小到大的排列是\(\underline{\quad \quad }\) .
【解析】 由题意\(f(x+1)=\dfrac{1}{f(x)}\),故函数\(y=f(x)\)为周期为\(2\)的函数;
\(f\left(-\dfrac{3}{2}\right)=f\left(\dfrac{1}{2}\right)\);\(f\left(\dfrac{22}{3}\right)=f\left(8-\dfrac{2}{3}\right)=f\left(-\dfrac{2}{3}\right)=f\left(\dfrac{2}{3}\right)\);\(f\left(\dfrac{21}{4}\right)=f\left(6-\dfrac{3}{4}\right)=f\left(\dfrac{3}{4}\right)\);
\({\color{Red}{(把自变量数值向(0,1]靠拢) }}\)
\(∵\)当\(x∈(0,1]\)时,\(f(x)=x+e^x\)是增函数,
故\(f\left(\dfrac{1}{2}\right)<f\left(\dfrac{2}{3}\right)<f\left(\dfrac{3}{4}\right)\),
即\(f\left(-\dfrac{3}{2}\right)<f\left(\dfrac{22}{3}\right)<f\left(\dfrac{21}{4}\right)\).
【典题2】 若\(e^{a}+\pi^{b} \geq e^{-b}+\pi^{-a}\),则有( )
A.\(a+b≤0\) \(\qquad \qquad\)B.\(a-b≥0\) \(\qquad \qquad\)C.\(a-b≤0\) \(\qquad \qquad\)D.\(a+b≥0\)
【解析】 \({\color{Red}{方法一\quad 取特殊值排除法}}\)
取\(a=0\),\(b=1\)得\(1+\pi \geq \dfrac{1}{e}+1\),满足题意,排除\(A\),\(B\);
取\(a=1\),\(b=0\)得\(e+1 \geq 1+\dfrac{1}{\pi}\),满足题意,排除\(C\);
故选:\(D\).
\({\color{Red}{方法二\quad 构造函数利用单调性}}\)
令\(f(x)=e^{x}-\pi^{-x}\),则\(f(x)\)是增函数,
\(\because e^{a}+\pi^{b} \geq e^{-b}+\pi^{-a}\)\(\Rightarrow e^{a}-\pi^{-a} \geq e^{-b}-\pi^{b}\),
\(∴f(a)≥f(-b)\),即\(a+b≥0\).
故选:\(D\).
【点拨】
① 做选择题,利用“取特殊值排除法”是较快的一种方法,一般取数都是利于计算的;
② 遇到类似这样的题目,不等式\(e^{a}+\pi^{b} \geq e^{-b}+\pi^{-a}\)的两边形式较为“一致”,一般都采取构造函数的方法处理,把不等式\(e^{a}+\pi^{b} \geq e^{-b}+\pi^{-a}\)变形成\(e^{a}-\pi^{-a} \geq e^{-b}-\pi^{b}\),就较容易联想到构造函数\(f(x)=e^{x}-\pi^{-x}\);
③ 判断函数的单调性,可以采取“性质法”:增+增=增,减+减=减.
【典题3】 已知函数\(f(x)=a^x\),\(g(x)=a^{2x}+m\),其中\(m>0\),\(a>0\)且\(a≠1\).当\(x∈[-1,1]\)时,\(y=f(x)\)的最大值与最小值之和为\(\dfrac{5}{2}\).
(1)求\(a\)的值;
(2)若\(a>1\),记函数\(h(x)=g(x)-2mf(x)\),求当\(x∈[0,1]\)时,\(h(x)\)的最小值\(H(m)\).
【解析】 (1)\(∵f(x)\)在\([-1,1]\)上为单调函数,
\(f(x)\)的最大值与最小值之和为\(a+a^{-1}=\dfrac{5}{2}\),
\(∴a=2\)或\(\dfrac{1}{2}\).
(2)\(∵a>1\)\(∴a=2\)
则\(h(x)=2^{2x}+m-2m×2^x\),
令\(t=2^x\),
\(∵x∈[0,1]\)时,\(∴t∈[1,2]\),
\(h(x)=t^2-2mt+m\),对称轴为\(t=m\)
\({\color{Red}{(二次函数动轴定区间最值问题)}}\)
当\(0<m<1\)时,\(H(m)=h(1)=-m+1\)
当\(1≤m≤2\)时,\(H(m)=h(m)=-m^2+m\)
当\(m>2\)时,\(H(m)=h(2)=-3m+4\).
综上所述,\(H(m)=\left\{\begin{array}{l}
-m+1,(0<m<1) \\
-m^{2}+m,(1 \leq m \leq 2) \\
-3 m+4,(m>2)
\end{array}\right.\).
【点拨】 本题第二问最后把问题转化为“二次函数在闭区间上的最值问题”中的“动轴定区间”,对对称轴\(t=m\)在区间\([1,2]\)“左、中、右”进行分类讨论.
【典题4】 已知函数\(f(x)=9^{x}-3^{x+1}+c\)(其中\(c\)是常数).
(1)若当\(x∈[0,1\)]时,恒有\(f(x)<0\)成立,求实数\(c\)的取值范围;
(2)若存在\(x_0∈[0,1]\),使\(f(x_0)<0\)成立,求实数\(c\)的取值范围;
(3)若方程\(f(x)=c\cdot 3^x\)在\([0,1]\)上有唯一实数解,求实数\(c\)的取值范围.
\({\color{Red}{思路痕迹}}\)
(1) 恒成立问题可转化为求函数\(y=f(x)\)的最大值,见到\(9^x\),\(3^{x+1}\)可以考虑换元法,则函数可变成二次函数的最值问题:
(2) 该问是存在性问题,可转化为求函数\(y=f(x)\)的最小值.
(3) 该问转化为方程\(t^2-(3+c)t+c=0\)在\([1,3]\)上有唯一实数解,属于二次方程根的分布问题.
【解析】 (1)\(f(x)=9^{x}-3^{x+1}+c=\left(3^{x}\right)^{2}-3 \times 3^{x}+c\),
令\(3^x=t\),当\(x∈[0,1]\)时,\(t∈[1,3]\),
\({\color{Red}{ (利用换元法要注意新变量的求值范围) }}\)
问题转化为当\(t∈[1,3]\)时,\(g(t)=t^2-3t+c<0\)恒成立,
于是只需\(g(t)\)在\([1,3]\)上的最大值\(g(3)<0\),
即\(9-9+c<0\),解得\(c<0\).
\(∴\)实数\(c\)的取值范围是\((-∞,0)\);
(2)若存在\(x_0∈[0,1]\),使\(f(x_0)<0\),
则存在\(t∈[1,3]\),使\(g(t)=t^2-3t+c<0\).
于是只需\(g(t)\)在\([1,3]\)上的最小值\(g\left(\dfrac{3}{2}\right)=\left(\dfrac{3}{2}\right)^{2}-3 \cdot \dfrac{3}{2}+c<0\),
解得\(c<\dfrac{9}{4}\);
\(∴\)实数\(c\)的取值范围是\(\left(-\infty, \dfrac{9}{4}\right)\);
(3)若方程\(f(x)=c\cdot 3^x\)在\([0,1]\)上有唯一实数解,
则方程\(t^2-(3+c)t+c=0\)在\([1,3]\)上有唯一实数解,
\({\color{Red}{(一元二次方程根的分布问题) }}\)
因\(△=(3+c)^2-4c=(c+1)^2+8>0\),
故\(t^2-(3+c)t+c=0\)在\([1,3]\)上不可能有两个相等的实数解,
令\(h(t)=t^2-(3+c)t+c\).
则\(h(1)\cdot h(3)≤0\),
所以\(-2\cdot (-2c)≤0\),解得\(c≤0\).
\(∴\)实数\(c\)的取值范围是\((-∞,0]\).
【点拨】 利用换元法把问题转化为二次函数问题;恒成立、能成立问题最终转化为最值问题,注意函数单调性.
【典题5】 已知定义在\((-1,1)\)上的奇函数\(f(x)\).在\(x∈(-1,0)\)时,\(f(x)=2^{x}+2^{-x}\).
(1)试求\(f(x)\)的表达式;
(2)若对于\(x∈(0,1)\)上的每一个值,不等式\(t·2^x·f(x)<4^x-1\)恒成立,求实数\(t\)的取值范围.
【解析】 (1)\(∵f(x)\)是定义在\((-1,1)\)上的奇函数,\(∴f(0)=0\),
设\(x∈(0,1)\),则\(-x∈(-1,0)\),
则\(f(x)=-f(-x)=-\left(2^{x}+2^{-x}\right)\),
故\(f(x)=\left\{\begin{array}{cc}
2^{x}+2^{-x} & x \in(-1,0) \\
0 & x=0 \\
-2^{x}-2^{-x} & x \in(0,1)
\end{array}\right.\)
(2)由题意,\(t·2^x·f(x)<4^x-1\)可化为\(t \cdot 2^{x} \cdot\left(-2^{x}-2^{-x}\right)<4^{x}-1\)
化简可得\(t>\dfrac{-4^{x}+1}{4^{x}+1}\),
\({\color{Red}{(此处恒成立问题用到“分离参数法”转化为最值问题) }}\)
令\(g(x)=\dfrac{-4^{x}+1}{4^{x}+1}=-1+\dfrac{2}{4^{x}+1}\),\({\color{Red}{ (分离常数法)}}\)
易得\(g(x)\)在\((0,1)\)上递减,
\(\therefore g(x)<g(0)=-1+\dfrac{2}{4^{0}+1}=0\),
故\(t≥0\). \({\color{Red}{(t可取到0) }}\)
【点拨】
① 恒成立问题可转化为最值问题,其中手段常见分离参数法、直接构造函数法、数形结合法、变换主元法等;
② 判断形如\(y=\dfrac{a \cdot f(x)+b}{m \cdot f(x)+n}\)函数的单调性,可用分离常数法;比如\(y=\dfrac{-x+1}{2x+1}\),\(y=\dfrac{2x^{2}-3}{x^{2}+1}\),\(y=\dfrac{2^{x-1}+1}{2^{x}+1}\)等.
巩固练习
1(★) 设\(a=0.6^{0.4}\),\(b=0.4^{0.6}\),\(c=0.4^{0.4}\),则\(a,b,c\)的大小关系为( )
A.\(a<b<c\) \(\qquad \qquad\) B.\(b<c<a\)\(\qquad \qquad\)C.\(c<a<b\)\(\qquad \qquad\) D.\(c<b<a\)
2(★★) 已知实数\(a\),\(b\)满足\(\dfrac{1}{2}>\left(\dfrac{1}{2}\right)^{a}>\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)^{b}>\dfrac{1}{4}\),则( )
A.\(b<2 \sqrt{b-a}\) \(\qquad \qquad\) B.\(b>2 \sqrt{b-a}\) \(\qquad \qquad\) C.\(a<\sqrt{b-a}\) \(\qquad \qquad\) D.\(a>\sqrt{b-a}\)
3(★★) 设\(a>0\),\(b>0\),下列命题中正确的是( )
A.若\(2^a+2a=2^b+3b\),则\(a>b\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\)B.若\(2^a+2a=2^b+3b\),则\(a<b\)
C.若\(2^a-2a=2^b-3b\),则\(a>b\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) D.若\(2^a-2a=2^b-3b\),则\(a<b\)
4(★★) 方程\(4^{x+1}-3 \times 2^{x+2}-16=0\)的解是\(\underline{\quad \quad }\).
5(★★) 若方程\(\left(\dfrac{1}{4}\right)^{x}+\left(\dfrac{1}{2}\right)^{x}-1+a=0\)有正数解,则实数\(a\)的取值范围是\(\underline{\quad \quad }\).
6(★★★) 已知函数\(f(x)=a^x (a>0,a≠1)\)在\([-2,1]\)上的值域为\([m,4]\),且函数\(g(x)=\dfrac{3 m-1}{x}\)在\((0,+∞)\)上是减函数,则\(m+a=\)\(\underline{\quad \quad }\).
7(★★★) 设不等式\(4^x-m(4^x+2^x+1)≥0\)对于任意的\(x∈[0,1]\)恒成立,则实数\(m\)的取值范围是\(\underline{\quad \quad }\).
8(★★★) 已知\(f(x)=a-\dfrac{2}{3^{x}+1}(a \in R)\):
(1)证明\(f(x)\)是\(R\)上的增函数;
(2)是否存在实数\(a\)使函数\(f(x)\)为奇函数?若存在,请求出\(a\)的值,若不存在,说明理由.
9(★★★) 设函数\(f(x)=a^{x}-a^{-x}(a>0 \text { 且 } a \neq 1)\).
(1)判断函数\(f(x)\)的奇偶性;
(2)若\(f(1)<0\),试判断 函数\(f(x)\)的单调性.并求使不等式\(f(x^2+tx)+f(4-x)<0\)对一切\(x∈R\)恒成立的t的取值范围;
(3)若\(f(1)=\dfrac{3}{2}\),\(g(x)=a^2x+a^{-2x}-2mf(x)\)且\(g(x)\)在\([1,+∞)\)上的最小值为\(-2\),求\(m\)的值.
10(★★★) 已知函数\(f(x)=a \cdot 4^{x}-2^{x+1}+a+3\).
(1)若\(a=0\),解方程\(f(2x)=-5\);
(2)若\(a=1\),求\(f(x)\)的单调区间;
(3)若存在实数\(x_0∈[-1,1]\),使\(f(x_0 )=4\),求实数\(a\)的取值范围.
参考答案
1.\(B\)
2.\(B\)
3.\(A\)
4.\(x=2\)
5.\((-3,0)\)
6.\(1\)
7.\(\left(-\infty, \dfrac{1}{3}\right]\)
8.\((1)\)略,提示:定义法\((2)\)\(a=1\)
9.\((1)\)奇函数\((2)-3<t<5\)\((3) m=2\)
10.\((1) x=1\)
\((2)\)单调增区间是\([0,+∞)\),单调减区间是\((-∞,0]\)
\(\text { (3) }\left\{a \mid 1 \leq a \leq \dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\right\}\)