高一函数专题 函数的周期性和对称性
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[ 【高分突破系列】高一数学上学期同步知识点剖析精品讲义与分层练习]
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模块导图
知识剖析
函数的周期性
1 概念
对于函数\(y=f(x)\)，如果存在一个不为零的常数\(T\)，使得当\(x\)取定义域内的每一个值时，\(f(x+T)=f(x)\)都成立，那么把函数\(y=f(x)\)叫做周期函数，常数\(T\)叫做这个函数的周期.
\({\color{Red}{ Eg }}\)
2 常见的结论
① 若\(f(x+a)=f(x+b)\)，则\(y=f(x)\)的周期是\(T=a-b\)
② 若\(f(x+a)=-f(x)\)，则\(y=f(x)\)的周期是\(T=2a\)
\({\color{Red}{(你可证明试试)}}\)
③ 若\(f(x+a)=\dfrac{1}{f(x)}\)，则\(y=f(x)\)的周期是\(T=2a\)
函数的对称性
函数图象自身的对称关系
1 轴对称
若\(f(x+a)=f(b-x)\), 则\(y=f(x)\)有对称轴\(x=\dfrac{a+b}{2}\)
2 中心对称
若函数\(y=f(x)\)定义域为\(R\)，且满足条件\(f(a+x)+f(b-x)=c\)(\(a\),\(b\),\(c\)为常数)，则函数\(y=f(x)\)的图象关于点\(\left(\dfrac{a+b}{2}, \dfrac{c}{2}\right)\)对称.
两个函数图象之间的对称关系
1 轴对称
若函数\(y=f(x)\)定义域为\(R\)，则两函数\(y=f(x+a)\)与\(y=f(b-x)\)的图象关于直线\(x=\dfrac{b-a}{2}\)对称.
特殊地，函数\(y=f(a+x)\)与函数\(y=f(a-x)\)的图象关于直\(x=0\)对称.
2 中心对称
若函数\(y=f(x)\)定义域为\(R\)，则两函数\(y=f(a+x)\)与\(y=c-f(b-x)\)的图象关于点\(\left(\dfrac{b-a}{2}, \dfrac{c}{2}\right)\)对称.
特殊地，函数\(y=f(x+a)\)与函数\(y=-f(b-x)\)图象关于点\(\left(\dfrac{b-a}{2}, 0\right)\)对称.
周期性与对称性拓展
\((1)\)若函数\(y=f(x)\)同时关于直线\(x=a\),\(x=b\)对称，则函数\(y=f(x)\)的周期\(T=2|b-a|\)；特殊地，若偶函数\(y=f(x)\)的图像关于直线\(x=a\)对称，则函数\(y=f(x)\)的周期\(T=2|a|\)；
\((2)\)若函数\(y=f(x)\)同时关于点\((a ,0)\),\((b ,0)\)对称，则函数\(y=f(x)\)的周期\(T=2|b-a|\)；
\((3)\)若函数\(y=f(x)\)同时关于直线\(x=a\)对称，又关于点\((b ,0)\)对称 , 则函数\(y=f(x)\)的周期
\(T=4|b-a|\)；
特殊地，若奇函数\(y=f(x)\)的图像关于直线\(x=a\)对称，则函数\(y=f(x)\)的周期\(T=4|a|\).
经典例题
【题型一】函数的周期性
【典题1】 设\(f(x)\)是周期为\(4\)的奇函数，当\(0≤x≤1\)时，\(f(x)=x(1+x)\)，则\(f\left(-\dfrac{9}{2}\right)=\) \(\underline{\quad \quad }\)
【解析】 \(∵f(x)\)是周期为\(4\)的奇函数，
当\(0≤x≤1\)时，\(f(x)=x(1+x)\)，
\(\therefore f\left(-\dfrac{9}{2}\right)=f\left(-\dfrac{9}{2}+4\right)=f\left(-\dfrac{1}{2}\right)\)\(=-f\left(\dfrac{1}{2}\right)=-\dfrac{1}{2}\left(1+\dfrac{1}{2}\right)=-\dfrac{3}{4}\).
【典题2】 设偶函数\(f(x)\)对任意\(x∈R\)，都有\(f(x+3)=-\dfrac{1}{f(x)}\)，且当\(x∈[-3 ,-2]\)时，\(f(x)=4x\)，则\(f(107.5)=\) \(\underline{\quad \quad }\)．
【解析】 \(∵f(x+3)=-\dfrac{1}{f(x)}\)，
\(\therefore f(x+6)=-\dfrac{1}{f(x+3)}=-\dfrac{1}{-\frac{1}{f(x)}}=f(x)\)，
\(∴\)函数\(f(x)\)是以\(6\)为周期的函数．
\(∵\)当\(x∈[-3 ,-2]\)时，\(f(x)=4x\)，
\(\therefore f(107.5)=f(6 \times 17+5.5)=f(5.5)=-\dfrac{1}{f(2.5)}\)\(=-\dfrac{1}{f(-2.5)}=-\dfrac{1}{4 \times(-2.5)}=\dfrac{1}{10}\)．
故答案为\(\dfrac{1}{10}\)．
【点拨】
① 在求值过程中，比如本题中求\(f(107.5)\)，先用函数周期性把\(107.5\)这个数值变小些，尽量向\([-3 ,-2]\)靠拢.
② 函数综合性的题型，可用数形结合的方法找到思考的方向.
巩固练习
1 (★★) 已知定义在\(R\)上的奇函数\(f(x)\)，满足\(f(x+4)=-f(x)\)，且在\([0 ,2]\)上单调递减，则( )
A．\(f(8)<f(11)<f(15)\)\(\qquad \qquad \qquad\)B．\(f(11)<f(8)<f(15)\)\(\qquad \qquad\)
C．\(f(15)<f(11)<f(8)\)\(\qquad \qquad \qquad\)D．\(f(15)<f(8)<f(11)\)
2 (★★) 已知\(f(x)\)是定义在\(R\)上周期为\(2\)的函数，当\(x∈[-1 ,1]\)时，\(f(x)=|x|\)，那么当\(x∈[-7 ,-5]\)时，\(f(x)=\) \(\underline{\quad \quad }\).
3 (★★★) 设函数\(f(x)\)是定义在\(R\)上的奇函数，满足\(f(x+1)=-f(x-1)\)，若\(f(-1)>1\)，
\(f(5)=a^2-2a-4\)，则实数\(a\)的取值范围是\(\underline{\quad \quad }\).
参考答案
1.\(B\)
2.\(|x+6|\)
3.\((-1 ,3)\)
【题型二】函数图象自身的对称关系
【典题1】 定义在\(R\)上的函数\(f(x)\)的图象关于点\(\left(-\dfrac{3}{4}, 0\right)\)成中心对称且对任意的实数\(x\)都有\(f(x)=-f\left(x+\dfrac{3}{2}\right)\)且\(f(-1)=1\),\(f(0)=-2\)，则\(f(1)+f(2)+⋯+f(2014)=\) \(\underline{\quad \quad }\).
【解析】 \(∵f(x)=-f\left(x+\dfrac{3}{2}\right)\)，
\(\therefore f\left(x+\dfrac{3}{2}\right)=-f(x)\),
则\(f(x+3)=-f\left(x+\dfrac{3}{2}\right)=f(x)\)
\(∴f(x)\)是周期为\(3\)的周期函数．
\({\color{Red}{(确定周期后，接着求前三项和f(1)+f(2)+f(3)便可)}}\)
则\(f(2)=f(-1+3)=f(-1)=1\),\(f\left(\dfrac{1}{2}\right)=-f(-1)=-1\)
\(∵\)函数\(f(x)\)的图象关于点\(\left(-\dfrac{3}{4}, 0\right)\)成中心对称，
\(\therefore f(1)=-f\left(-\dfrac{5}{2}\right)=-f\left(\dfrac{1}{2}\right)=1\)
\(∵f(3)=f(0)=-2\)
\(∴f(1)+f(2)+f(3)=1+1-2=0\)
\(∴f(1)+f(2)+⋯+f(2014)=f(1)=1\)
【典题2】 已知函数\(f(x)=\dfrac{2 x^{2}}{x^{2}-4 x+8}\)，则( )
A．函数\(f(x)\)的图象关于\(x=2\)对称 \(\qquad \qquad \qquad \qquad\)B．函数\(f(x)\)的图象关于\(x=4\)对称
C．函数\(f(x)\)的图象关于\((2 ,2)\)对称 \(\qquad \qquad \qquad \qquad\)D．函数\(f(x)\)的图象关于\((4 ,4)\)对称
【解析】 \({\color{Red}{方法一 利用函数平移和奇偶性}}\)
对于A选项：若函数\(f(x)\)的图象关于\(x=2\)对称，
则\(y=f(x+2)\)是偶函数，
而\(y=f(x+2)=\dfrac{2(x+2)^{2}}{x^{2}+4}\)不是偶函数，
\(∴A\)错误；
对于\(B\)选项，可以采取类似选项\(A\)的方法排除；
对于\(C\)选项：若函数\(f(x)\)的图象关于\((2 ,2)\)对称，则函数向左和向下均平移\(2\)个单位的函数关于原点对称，即\(y=f(x+2)-2\)是奇函数.
易得\(y=f(x+2)-2=\dfrac{2(x+2)^{2}}{x^{2}+4}-2=\dfrac{8 x}{x^{2}+4}\)是奇函数，
\(∴C\)正确；
对于\(D\)选项：若函数\(f(x)\)的图象关于\((4 ,4)\)对称，则函数向左和向下均平移\(4\)个单位的函数关于原点对称，即\(y=f(x+4)-4\)是奇函数.
而\(y=f(x+4)-4=\dfrac{2(x+4)^{2}}{(x+2)^{2}+4}-4=-\dfrac{2 x^{2}}{(x+2)^{2}+4}\)
不是奇函数，
\(∴D\)错误．
故选\(C\)．
\({\color{Red}{方法二 利用函数自身的轴对称和中心对称关系}}\)
利用函数自身的轴对称关系:若\(f(x+a)=f(b-x)\), 则\(y=f(x)\)有对称轴\(x=\dfrac{a+b}{2}\).
对于\(A\)选项：若函数\(f(x)\)的图象关于\(x=2\)对称，
则有\(f(4-x)=f(x)\)
而\(f(4-x)=\dfrac{2(4-x)^{2}}{(4-x)^{2}-4(4-x)+8}\)\(=\dfrac{2(4-x)^{2}}{x^{2}-4 x+8} \neq \dfrac{2 x^{2}}{x^{2}-4 x+8}=f(x)\),
\(∴A\)错误；
对于\(B\)选项：若函数\(f(x)\)的图象关于\(x=4\)对称，
则有\(f(8-x)=f(x)\)，
而\(f(8-x)=\dfrac{2(8-x)^{2}}{(8-x)^{2}-4(8-x)+8}\)\(=\dfrac{2(8-x)^{2}}{x^{2}-12 x+40} \neq \dfrac{2 x^{2}}{x^{2}-4 x+8}=f(x)\),
\(∴B\)错误；
利用函数自身的中心对称关系：
若\(f(a+x)+f(b-x)=c\)(\(a\),\(b\),\(c\)为常数),
则函数\(f(x)\)的图象关于点\(\left(\dfrac{a+b}{2}, \dfrac{c}{2}\right)\)对称.
对于\(C\)选项：若函数\(f(x)\)的图象关于\((2 ,2)\)对称，
则\(f(x)+f(4-x)=4\)，
易得\(f(x)+f(4-x)\)\(=\dfrac{2 x^{2}}{x^{2}-4 x+8}+\dfrac{2(4-x)^{2}}{x^{2}-4 x+8}=4\)，
\(∴C\)正确；
对于\(D\)选项：若函数\(f(x)\)的图象关于\((4 ,4)\)对称，
则\(f(x)+f(8-x)=8\)，
而\(f(x)+f(8-x)\)\(=\dfrac{2 x^{2}}{x^{2}-4 x+8}+\dfrac{2(8-x)^{2}}{x^{2}-12 x+40}\)显然不恒等于\(8\)，
\(∴D\)错误．
故选\(C\)．
\({\color{Red}{方法三 取特殊值排除法}}\)
对于\(A\)选项：\(f(0)=0\)，\(f(4)≠0\)，故函数\(f(x)\)的图象不可能关于\(x=2\)对称，排除\(A\)；
对于\(B\)选项：\(f(0)=0\)，\(f(8)≠0\)，故函数\(f(x)\)的图象不可能关于\(x=4\)对称，排除\(B\)；
对于\(D\)选项：\(f(0)=0\)，\(f(8)=\dfrac{16}{5} \neq 8\)，故函数\(f(x)\)的图象不可能关于\((4 ,4)\)对称，排除\(D\)；
故选\(C\)．
【点拨】
① 从三种方法来说，显然大家觉得方法三有种秒杀的感觉，很爽，从应试的角度来讲是这样子的.从提高数学能力的角度，还是需要好好领会下方法一、二；
② 方法一需要理解抽象函数的平移变换：左加右减，上加下减，它充分体现了数形结合的力量；
③ 方法一其实也是方法二的一种特殊情况的表现；
对于函数自身的轴对称和中心对称关系
(1) 轴对称:若\(f(x+a)=f(b-x)\), 则\(y=f(x)\)有对称轴\(x=\dfrac{a+b}{2}\).
对于选项\(A\)，令\(a=b=2\),有\(f(x+2)=f(2-x)\)，
即证明\(f(x+2)\)是偶函数便可.
(2) 中心对称:若函数\(y=f(x)\)满足条件\(f(a+x)+f(b-x)=c\)(\(a\),\(b\),\(c\)为常数)，则函数\(y=f(x)\)的图象关于点\(\left(\dfrac{a+b}{2}, \dfrac{c}{2}\right)\)对称.
对于选项\(C\)，令\(a=b=2\)，\(c=4\)，有\(f(2+x)+f(2-x)=4\)\(\Rightarrow f(2+x)-2=2-f(2-x)\),
即证明\(y=f(2+x)-2\)是奇函数.
【题型三】两个函数图象之间的对称关系
【典题1】 下列函数中，其图象与函数\(y=lgx\)的图象关于点\((1 ,0)\)对称的是( )
A．\(y=\lg(1-x)\) \(\qquad\)B．\(y=\lg(2-x)\)\(\qquad\)C．\(y=\log _{0.1}(1-x)\) \(\qquad\)D．\(y=\log _{0.1}(2-x)\)
【解析】 设所求函数图象上任意一点\(P(x ,y)\)，
则\(P(x ,y)\)关于\((1 ,0)\)对称的点\((2-x ,-y)\)在\(y=lgx\)上，即\(-y=lg(2-x)\)，
所以\(y=-\lg (2-x)=\log _{0.1}(2-x)\)
故选：\(D\)．
【典题2】 下列函数中，其图象与函数\(y=2^x\)的图象关于直线\(y=1\)对称的是\(\underline{\quad \quad }\) .
【解析】 设\(P(x ,y)\)为所求函数图象上的任意一点，
它关于直线\(y=1\)对称的点是\(Q(x ,2-y)\)．
由题意知点\(Q(x ,2-y)\)在函数\(y=2^x\)的图象上，
则\(2-y=2^x\)，即\(y=2-2^x\)．
【点拨】 这种涉及函数对称性、平移去求解析式的题，常用代入法.
巩固练习
1(★★)已知函数\(f(x)=\dfrac{a x+2}{x-6}\)的对称中心为\((b ,1)\)，则\(a=\) ；\(b=\) \(\underline{\quad \quad }\)．
2(★★)【多选题】函数\(f(x)\)的图象关于直线\(x=1\)对称，那么( )
A．\(f (2-x)=f (x)\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad\) B．\(f (1-x)=f (1+x)\)
C．函数\(y=f (x+1)\)是偶函数 \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) D．函数\(y=f (x-1)\)是偶函数
3(★★★)已知函数\(f(x)=\ln x+\ln(a-x)\)的图象关于直线\(x=1\)对称，则函数\(f(1)\)的值为 ( )
A．\(0\)\(\qquad \qquad \qquad \qquad\) B．\(1\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\)C．\(\ln a\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\)D．\(-1\)
4(★★★)已知函数\(f(x)=\ln \dfrac{x}{4-x}\)，则( )
A．\(y=f(x)\)的图象关于点\((2 ,0)\)对称
B．\(y=f(x)\)的图象关于直线\(x=2\)对称
C．\(f(x)\)在\((0 ,4)\)上单调递减
D．\(f(x)\)在\((0 ,2)\)上单调递减，在\((2 ,4)\)上单调递增
5(★★)同一平面直角坐标系中，函数\(y=2^{x+1}\)与\(y=2^{1-x}\)的图象( )
A．关于原点对称 \(\qquad \qquad\) B．关于\(x\)轴对称 \(\qquad \qquad\) C．关于\(y\)轴对称 \(\qquad \qquad\) D．关于直线\(y=x\)对称
6(★★★)【多选题】已知定义在\(R\)上的函数\(y=f(x)\)满足条件\(f(x+2)=-f(x)\)，且函数\(y=f(x-1)\)为奇函数，则( )
A．函数\(y=f(x)\)是周期函数
B．函数\(y=f(x)\)的图象关于点\((-1 ,0)\)对称
C．函数\(y=f(x)\)为\(R\)上的偶函数
D．函数\(y=f(x)\)为\(R\)上的单调函数
答案
1.\(1，6\)
2.\(ABC\)
3.\(A\)
4.\(A\)
5.\(C\)
6.\(ABC\)
