3.3 函数的奇偶性
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[【高分突破系列】高一数学上学期同步知识点剖析精品讲义与分层练习]
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模块导图
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知识剖析
函数奇偶性的概念
① 一般地,设函数 \(f(x)\) 的定义域为 \(I\),如果 \(∀x∈I\),都有 \(-x∈I\),且 \(f(-x)=f(x)\),那么函数 \(f(x)\) 就叫做偶函数.
② 一般地,设函数 \(f(x)\) 的定义域为 \(I\),如果 \(∀x∈I\),都有 \(-x∈I\),且 \(f(-x)=-f(x)\),那么函数 \(f(x)\) 就叫做奇函数.
由奇偶函数的概念可知道其定义域 \(I\) 是关于原点对称的.
性质
① 偶函数关于 \(y\) 轴对称;
② 奇函数关于原点对称;
③ 若奇函数 \(f(x)\) 定义域内含有 \(0\),则 \(f(0)=0\);
④ 在公共定义域内,两个偶函数 (或奇函数) 的和 (或差) 仍是偶函数 (或奇函数),两个偶函数 (或奇函数) 的积 (或商) 是偶函数,一个偶函数与一个奇函数的积 (或商) 是奇函数.
判断函数奇偶性的方法
① 定义法
先判断定义域是否关于原点对称,再求 \(f(-x)\), 看下与 \(f(x)\) 的关系:若 \(f(-x)=f(x)\),则 \(y=f(x)\) 是偶函数;若 \(f(-x)=-f(x)\),则 \(y=f(x)\) 是奇函数.
② 数形结合
若函数关于原点对称,则函数是奇函数;若函数关于 \(y\) 轴对称,则函数是偶函数.
③ 取特殊值排除法 (选择题)
比如:若根据函数得到 \(f(1)≠f(-1)\),则排除 \(f(x)\) 是偶函数.
④ 性质法
偶函数的和、差、积、商 (分母不为 \(0\)) 仍为偶函数;奇函数的和、差 (分母不为 \(0\)) 仍为奇函数;
奇 (偶) 数个奇函数的积为奇 (偶) 函数;两个奇函数的商 (分母不为 \(0\)) 为偶函数;
一个奇函数与偶函数的积为奇函数.
对于复合函数 \(F(x)=f(g(x))\) 的奇偶性如下图
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经典例题
【题型一】对函数奇偶性概念的理解
角度1 函数奇偶性的概念
【典题 1】 已知 \(f(x)=ax^2+bx\) 是定义在 \([a-1 ,2a]\) 上的偶函数,那么 \(a+b\) 的值是 \(\underline{\quad \quad }\).
【解析】 依题意得 \(f(-x)=f(x)\),\(∴b=0\),
又 \(a-1=-2a\)\({\color {Red}{(奇偶函数的定义域关于原点对称) }}\)
\(\therefore a=\dfrac{1}{3}\),\(\therefore a+b=\dfrac{1}{3}\).
【典题 2】 \(f(x)\) 是定义在 \(R\) 上的奇函数,下列结论中,不正确的是________:
\((1)f(-x)+f(x)=0\)
\((2)f(-x)-f(x)=-2 f(x)\)
\((3)f(x)⋅f(-x)≤0\)
\((4) f(x)/f(-x) =-1\)
【解析】 根据奇函数的定义可知 \(f(-x)=-f(x)\),则 \((1)\),\((2)\) 正确;
对于 \((3)\),\(f(x)f(-x)=-f^2 (x)≤0\), 故正确;
对于 \((4)\),\(f(x)\) 是定义在 \(R\) 上的奇函数,则 \(f(0)=0\), 则 \((4)\) 不正确,
故答案为:\((4)\).
角度2 判断函数的奇偶性
\({\color {Red}{情况 1\quad 具体函数的奇偶性判断}}\)
【典题 1】 函数 \(f(x)=\dfrac{\sqrt{4-x^{2}}}{|x+3|-3}\) 的图象关于 \(\underline{\quad \quad }\) 对称.
【解析】 要使函数有意义,
则 \(\left\{\begin{array}{c}
4-x^{2} \geq 0 \\
|x+3|-3 \neq 0
\end{array}\right.\),
解得 \(-2<x<0\) 或 \(0<x<2\),
则定义域关于原点对称.
此时 \(|x+3|=x+3\),
则函数 \(f(x)=\dfrac{\sqrt{4-x^{2}}}{|x+3|-3}=\dfrac{\sqrt{4-x^{2}}}{x+3-3}=\dfrac{\sqrt{4-x^{2}}}{x}\)
\({\color {Red}{(化简函数形式很重要)}}\)
\(\because f(-x)=-\dfrac{\sqrt{4-x^{2}}}{x}=-f(x)\),
\(∴\) 函数 \(f(x)\) 是奇函数,图象关于原点对称,
【点拨】 本题利用定义法判断函数的奇偶性,首先判断定义域是否关于原点对称,这点很重要;
\({\color {Red}{情况 2 \quad 抽象函数的奇偶性判断}}\)
【典题 1】 设 \(f(x)\) 是 \(R\) 上的任意函数,则下列叙述正确的是 ( )
A.\(f(x) f(-x)\) 是奇函数 \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) B.\(f(x) |f(-x)|\) 是奇函数
C.\(f(x)- f(-x)\) 是奇函数 \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) D.\(f(x) +f(-x)\) 是奇函数
【解析】 \({\color {Red}{方法一 \quad 定义法}}\)
\(A\) 选项:设 \(F(x)=f(x)f(-x)\),
则 \(F(-x)=F(x)\) 为偶函数.
\(B\) 选项:设 \(G(x)=f(x)|f(-x)|\),
则 \(G(-x)=f(-x)|f(x)|\).
\(∴G(x)\) 与 \(G(-x)\) 关系不定.
\(C\) 选项:设 \(M(x)=f(x)-f(-x)\),
\(∴M(-x)=f(-x)-f(x)=-M(x)\),
\(∴M(x)\) 为奇函数.
\(D\) 选项:设 \(N(x)=f(x)+f(-x)\),
则 \(N(-x)=f(-x)+f(x)\),\(∴N(x)\) 为偶函数.
故选 \(C\).
\({\color {Red}{方法二 \quad 取特殊函数排除法}}\)
令 \(f(x)=x\),可知 \(F(x)=f(x)f(-x)=x^2\) 是偶函数,排除 \(A\),
令 \(f(x)=x^2\),可知 \(F(x)=f(x)|f(-x)|=x^4\) 是偶函数,排除 \(B\),
可知 \(N(x)=f(x)+f(-x)=2x^2\) 是偶函数,排除 \(D\).
故选 \(C\).
【点拨】
① 判断函数的奇偶性,一般利用定义法:先判断定义域是否关于原点对称,再求 \(f(-x)\),看下与 \(f(x)\) 的关系。偶尔结合函数图像也可以.
② 判断抽象函数的奇偶性时,可以通过 “取特殊函数排除法”.
③ 一般情况下,奇函数 + 奇函数 = 奇函数,偶函数 + 偶函数 = 偶函数,奇函数 × 奇函数 = 偶函数,偶函数 × 偶函数 = 偶函数.
巩固练习
1(★) 下列函数中,是偶函数的是 ( )
A.\(y=|x^2+x|\)\(\qquad \qquad\) B.\(y=2^{|x|}\) \(\qquad \qquad\) C.\(y=x^3+x\) \(\qquad \qquad\) D.\(y=lgx\)
2(★) 函数 \(f(x)=\dfrac{9^{x}+1}{3^{x}}\) 的图象关于 ( ) 对称
A.原点 \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) B.\(y=x\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) C.\(x\) 轴 \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) D.\(y\) 轴
3(★★) 若函数 \(f(x)\) 的定义域是 \(R\),且对任意 \(x\),\(y∈R\),都有 \(f(x+y)=f(x)+f(y)\) 成立.试判断 \(f(x)\) 的奇偶性.
参考答案
1.\(B\)
2.\(D\)
3. 奇函数
【题型二】函数奇偶性的运用
角度1 已知函数奇偶性,求值问题
【典题 1】 设 \(f(x)\) 为定义上 \(R\) 上的奇函数,当 \(x≥ 0\) 时,\(f(x)=2^x+2x+b\)(\(b\) 为常数),求 \(f(-1)\).
【解析】 因为 \(f(x)\) 为定义在 \(R\) 上的奇函数,
所以 \(f(0)=0⇒2^0+2×0+b=0\),
解得 \(b=-1\),
所以当 \(x≥0\) 时,\(f(x)=2^x+2x-1\),
又因为 \(f(x)\) 为定义在 \(R\) 上的奇函数,
所以 \(f(-1)=-f(1)=-(2^1+2× 1-1)=-3\),故选 \(A\).
【点拨】 若奇函数 \(y=f(x)\) 定义域内为 \(I\),且 \(0∈I\),则有 \(f(0)=0\).
【典题 2】 若函数 \(F(x)=f(x)-2x^4\) 是奇函数,\(G(x)=f(x)+\left(\dfrac{1}{2}\right)^{x}\) 为偶函数,
则 \(f(-1)=\)\(\underline{\quad \quad }\).
【解析】 \(∵\) 函数 \(F(x)=f(x)-2x^4\) 是奇函数,
\(∴F(1)+F(-1)=0\),
即 \(f(1)-2+f(-1)-2=0\),
则 \(f(1)+f(-1)=4\)①,
\(∵G(x)=f(x)+\left(\dfrac{1}{2}\right)^{x}\) 为偶函数,
\(∴G(1)=G(-1)\),即 \(f(1)+\dfrac{1}{2}=f(-1)+2\),
则 \(f(1)-f(-1)=\dfrac{3}{2}\)②,
由①-②解得 \(f(-1)=\dfrac{4-\dfrac{3}{2}}{2}=\dfrac{5}{4}\).
角度2 判断函数的图像
【典题 1】 函数 \(f(x)=\dfrac{x^{3}}{2^{-x}-2^{x}}\) 的图象大致为 ( )
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【解析】 函数的定义域为 \(\{x|x≠0\}\) 关于原点对称,
且 \(f(-x)=\dfrac{-x^{3}}{2^{x}-2^{-x}}=\dfrac{x^{3}}{2^{-x}-2^{x}}=f(x)\),
\({\color {Red}{(或由 y=x^3,y=2^{-x}-2^x 均是奇函数,得 f (x)=\dfrac {x^{3}}{2^{-x}-2^{x}} 是偶函数)}}\)
即函数 \(f(x)\) 为偶函数,其图象关于 \(y\) 轴对称,可排除 \(CD\);
又 \(f(1)=\dfrac{1}{2^{-1}-2}=-\dfrac{2}{3}<0\),可排除 \(A\);
故选:\(B\).
【点拨】 选择题中判断函数的图像,可采取排除法,主要是研究函数性质 (定义域、值域、奇偶性、单调性等)、取特殊值等手段进行排除选项!其中取特殊值排除法最简单.
巩固练习
1(★) 若函数 \(f(x)=\dfrac{2^{x}-a}{2^{x}+1}\) 的图象关于 \(y\) 轴对称,则常数 \(a=\)\(\underline{\quad \quad }\) .
2(★) 已知函数 \(f(x)=x^5-ax^3+bx+2\),\(f(-5)=17\),则 \(f(5)\) 的值是 \(\underline{\quad \quad }\).
3(★★) 已知函数 \(f(x)=g(x+1)-2^x\) 为定义在 \(R\) 上的奇函数,则 \(g(0)+g(1)+g(2)=\)\(\underline{\quad \quad }\).
4(★★) 函数 \(f(x)=\dfrac{\left(3^{x}-1\right) \ln x^{2}}{3^{x}+1}\) 的部分图象大致为 ( )

参考答案
1.\(-1\)
2.\(-13\)
3.\(\dfrac{7}{2}\)
4.\(B\)
【题型三】函数的奇偶性与单调性的综合
【典题 1】 已知奇函数 \(y=f(x)\) 在 \((-∞ ,0)\) 为减函数,且 \(f(2)=0\),则不等式
\((x-1)f(x-1)>0\) 的解集为 ( )
A.\(\{x \mid-3<x<-1\}\)
B.\(\{x \mid-3<x<1 \text { 或} x>2\}\)
C.\(\{x \mid-3<x<0 \text { 或} x>3\}\)
D.\(\{x \mid-1<x<1 \text { 或} 1<x<3\}\)
【解析】 由题意画出 \(f(x)\) 的草图如下,
因为 \((x-1)f(x-1)>0\),所以 \((x-1)\) 与 \(f(x-1)\) 同号,
由图象可得 \(-2<x-1<0\) 或 \(0<x-1<2\),
解得 \(-1<x<1\) 或 \(1<x<3\),
故选:\(D\).
【点拨】 涉及到函数奇偶性和单调性综合的题目,多利用数形结合的方法进行理解,对每个条件要等价转化,做到有根有据的,不能 “想当然”.
【典题 2】 设函数 \(f(x)=lg(x^2+1)\),则使得 \(f(3x-2)>f(x-4)\) 成立的 \(x\) 的取值范围为 ( )
A.\(\left(\dfrac{1}{3}, 1\right)\) \(\qquad \qquad\) B.\(\left(-1, \dfrac{3}{2}\right)\) \(\qquad \qquad\) C.\(\left(-\infty, \dfrac{3}{2}\right)\) \(\qquad \qquad\) D.\((-\infty,-1) \cup\left(\dfrac{3}{2},+\infty\right)\)
【解析】 \({\color {Red}{方法一}}\)
\(∵f(x)=lg(x^2+1)\)
\(∴\) 由 \(f(3x-2)>f(x-4)\)
得 \(lg[(3x-2)^2+1]>lg[(x-4)^2+1]\),\({\color {Red}{(代入原函数暴力求解)}}\)
则 \((3x-2)^2+1>(x-4)^2+1\),
解得 \(x<-1\) 或 \(x>\dfrac{3}{2}\).
\({\color {Red}{方法二}}\)
根据题意,函数 \(f(x)=lg(x^2+1)\),其定义域为 \(R\),
有 \(f(-x)=lg(x^2+1)=f(x)\),
即函数 \(f(x)\) 为偶函数,
设 \(t=x^2+1\),则 \(y=lgt\),
在区间 \([0 ,+∞)\) 上,\(t=x^2+1\) 为增函数且 \(t≥1\),\(y=lgt\) 在区间 \([1 ,+∞)\) 上为增函数,
则 \(f(x)=lg(x^2+1)\) 在 \([0 ,+∞)\) 上为增函数,
\(f(3x-2)>f(x-4)\)\(⇒f(|3x-2|)>f(|x-4|)\)\(⇒|3x-2|>|x-4|\),
解得 \(x<-1\) 或 \(x>\dfrac{3}{2}\),
故选:\(D\).
【点拨】
① 若函数 \(y=f(x)\) 是偶函数,则函数在 \(y\) 轴两侧的单调性是相反的,
若函数 \(y=f(x)\) 是奇函数,则函数在 \(y\) 轴两侧的单调性是相同的,
② 若函数 \(y=f(x)\) 是偶函数,在 \([0 ,+∞)\) 上递增,
则求解 \(f(x_2)>f(x_1)\) 等价于解不等式 \(|x_2 |>|x_1 |\),不要漏了绝对值.(如下图所示).

③ 遇到类似 \(f(3x-2)>f(x-4)\) 的函数不等式,一般都是利用函数的单调性处理.
巩固练习
1(★) 下列函数中,既是偶函数,又在 \((0,+∞)\) 上单调递增的是 ( )
A.\(f(x)=1-x^2\)\(\qquad \qquad\) B.\(f(x)=x-\dfrac{1}{x}\)\(\qquad \qquad\)C.\(f(x)=\log _{\frac{1}{2}}|x|\) \(\qquad \qquad\)D.\(f(x)=2^{|x|}\)
2(★) 如果奇函数 \(f(x)\) 在区间 \([1 ,5]\) 上是减函数,且最小值为 \(6\),那么 \(f(x)\) 在区间 \([-5 ,-1]\) 上是 ( )
A.减函数且最大值为 \(-6\) \(\qquad \qquad \qquad\) B.增函数且最大值为 \(6\)
C.减函数且最小值为 \(-6\) \(\qquad \qquad \qquad\) D.增函数且最小值为 \(-6\)
3(★★) 已知函数 \(f(x)=x^3+2x\),则不等式 \(f(2x)+f(x-1)>0\) 的解集为 \(\underline{\quad \quad }\) .
4(★★) 已知函数 \(f(x)=ln|x|+x^2\),设 \(a=f(-2)\),\(b=f(1)\),\(c=f(2^{0.3})\),则 \(a,c,b\) 的大小关系 \(\underline{\quad \quad }\).
5(★★★) 已知 \(f(x)\) 是 \(R\) 上的奇函数且单调递增,则下列函数是偶函数且在 \((0 ,+∞)\) 上单调递增的有 \(\underline{\quad \quad }\).
①\(y=|f(x)|\);②\(y=f(x^2+x)\);
③\(y=f(|x|)\);④\(y=e^{f(x)} +e^{-f(x)}\).
参考答案
1.\(D\)
2.\(A\)
3.\(\left(\dfrac{1}{3},+\infty\right)\)
4.\(a>c>b\)
5.①③④