4.1 数列的概念与简单的表示
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模块导图
知识剖析
数列的相关概念
\((1)\)定义：数列是按照一定次序排列的一列数；
\((2)\)数列的项：数列中的每一个数叫做这个数列的项，第一项常称为首项；
\((3)\)数列的表示：数列的一般形式可以写成\(a_1\),\(a_2\),… ,\(a_n\),…，简记\(\{a_n\}\).
数列的分类
数列与函数的关系
数列就是定义在正整数集\(N^*\)(或它的有限子集\(\{1 ,2 ,3....n\}\))上的函数\(f(n)\)，其图象是一系列有限或无限孤立的点.
\({\color{Red}{解释}}\)
日后研究数列的性质可以从函数的角度出发，比如单调性，最值等.
通项公式
如果数列\(\{a_n\}\)的第\(n\)项与序号\(n\)之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式.
\({\color{Red}{Eg}}\) 数列\(1 ,0 ,1 ,0，…\)，其通项公式可以是\(a_{n}=\dfrac{1+(-1)^{n+1}}{2}\),\(a_{n}=\sin ^{2} \dfrac{n \pi}{2}\)等.
\({\color{Red}{解释}}\)
\((1)a_n\)与\(\{a_n\}\)是不同的概念，\(\{a_n\}\)表示数列\(a_1\),\(a_2\),⋯，而\(a_n\)表示的是数列的第\(n\)项；
(2)数列的项与它的项数是不同的概念，数列的项是指这个数列中的某一个确定的数，它是一个函数值；而项数是指这个数在数列中的位置序号，它是自变量的值.
递推公式
若已知数列\(\{a_n\}\)的第一项\(a_1\)(或前\(n\)项)，且任一项\(a_n\)和它的前一项\(a_{n-1}\)(或前\(n\)项)间的关系可以用一公式表示，那么这个公式叫做这个数列的递推公式.
\({\color{Red}{Eg}}\) \(a_1\)(初始条件)，\(a_n=2a_{n-1}+3n\)(递推关系)；
\(a_1=1\),\(a_2=2\)(初始条件) ,\(a_n=3a_{n-1}-2a_{n-2}\)(递推关系).
\(a_n\)与\(S_n\)的关系
若\(S_n\)为数列\(a_n\)的前\(n\)项和，即\(S_n=a_1+a_2+...+a_n\).
则\(a_{n}= \begin{cases}S_{1} & , n=1 \\ S_{n}-S_{n-1}, & n \geq 2\end{cases}\).
经典例题
【题型一】对数列的相关概念的理解
【典题1】下列有关数列的说法正确的是( )
①数列\(1 ,2 ,3\)可以表示成\(\{1 ,2 ,3\}\)；
②数列\(-1 ,0 ,1\)与数列\(1 ,0 ,-1\)是同一数列；
③数列\(\left\{\dfrac{1}{n}\right\}\)的第\(k-1\)项是\(\dfrac{1}{k-1}\)；
④数列中的每一项都与它的序号有关．
A．①② \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) B．③④ \(\qquad \qquad \qquad \qquad\)C．①③ \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) D．②④
【解析】对于①，\(\{1 ,2 ,3\}\)是集合，不是数列，故选项①错误；
对于②，数列是有序的，故数列\(-1 ,0 ,1\)与数列\(1 ,0 ,-1\)是不同的数列，故选项②错误；
对于③，数列\(\left\{\dfrac{1}{n}\right\}\)的第\(k-1\)项是\(\dfrac{1}{k-1}\)，故选项③正确；
对于④，由数列的定义可知，数列中的每一项都与它的序号有关，故选项④正确．
故选：B．
【点拨】注意集合与数列的在“顺序、异同性、表示方法”上的区别. 数列是有序性，集合是无序性的；集合是互异性的，但数列不作要求.
【典题2】数列\(\{a_n\}\)为从\(a_0\)开始的非负整数有限数列，\(a_i\)表示在这个数列中\(i\)出现的次数．那么数列的项数不可能是 ( )
A．\(4\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) B．\(5\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) C．\(6\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) D．\(7\)
【解析】\(a_i\)表示在这个数列中\(i\)出现的次数．\({\color{Red}{(理解这个是关键)}}\)
当\(a_0=2\),\(a_1=0\),\(a_2=2\),\(a_3=0\)时，满足条件，此时数列有\(4\)项，故排除\(A\)；
当\(a_0=2\),\(a_1=1\),\(a_2=2\),\(a_3=0\),\(a_4=0\)时，满足条件，此时数列有\(5\)项，故排除\(B\)；
当\(a_0=3\),\(a_1=2\),\(a_2=1\),\(a_3=1\),\(a_4 =0\),\(a_5=0\),\(a_6=0\)时，满足条件，此时数列有\(7\)项，故排除\(D\)；
故选：\(C\)．
【点拨】本题是选择题，优先考虑排除法，但留下了个问题：为什么项数不可能是\(6\)呢？还有其他项数不存在么？大家有什么想法，可以试试探究下！对问题的追问、深问是学数学的基本品质.
【典题3】求数列\(\left\{\dfrac{n}{n+2}\right\}\)是增减性.
【解析】 \({\color{Red}{方法一 \quad 作差法}}\)
\(a_{n+1}-a_{n}=\dfrac{n+1}{n+3}-\dfrac{n}{n+2}=\dfrac{2}{(n+3)(n+2)}>0\)，
所以\(a_{n+1}>a_n\)，故数列\(\left\{\dfrac{n}{n+2}\right\}\)是增数列.
\({\color{Red}{方法二 \quad 作商法}}\)
\(\dfrac{a_{n+1}}{a_{n}}=\dfrac{n+1}{n+3} \cdot \dfrac{n+2}{n}=\dfrac{n^{2}+3 n+2}{n^{2}+3 n}>1\)，
又\(∵a_n>0\)，所以\(a_{n+1}>a_n\)，
故数列\(\left\{\dfrac{n}{n+2}\right\}\)是增数列.
\({\color{Red}{方法三 \quad 函数思想}}\)
\(a_{n}=\dfrac{n}{n+2}=\dfrac{1}{1+\dfrac{2}{n}}\)，
\(\because f(x)=\dfrac{1}{1+\dfrac{2}{x}}\)在\((0 ,+∞)\)递增，
\(\therefore a_{n}=\dfrac{1}{1+\dfrac{2}{n}}\)也是随着\(n\)的增大而增大，
故数列\(\left\{\dfrac{n}{n+2}\right\}\)是增数列.
或\(a_{n}=\dfrac{n}{n+2}=1-\dfrac{2}{n+2}\)，
由\(f(x)=1-\dfrac{2}{x+2}\)在\((0 ,+∞)\)递增也可得结论.
【点拨】求证数列单调性，常用方法有三：
① 作差法，比较\(a_{n+1}-a_{n}\)与\(0\)的大小；
② 作商法，比较\(\dfrac{a_{n+1}}{a_{n}}\)与\(1\)的大小，此时要注意\(a_n\)的正负；
③ 视通项公式为函数解析式，用函数单调性的方法处理，此时要注意\(n\)的取值范围是正整数.
【典题4】已知数列\(\{b_n\}\)满足\(b_{n}=2 \lambda\left(-\dfrac{1}{2}\right)^{n-1}-n^{2}\)，若数列\(\{b_n\}\)是单调递减数列，则实数\(λ\)的取值范围是 \(\underline{\quad \quad}\) .
【解析】数列\(\{b_n\}\)是单调递减数列，
则\(b_{n+1}-b_{n}\)\(=2 \lambda\left(-\dfrac{1}{2}\right)^{n}-(n+1)^{2}-2 \lambda\left(-\dfrac{1}{2}\right)^{n-1}+n^{2}\)\(=6 \lambda\left(-\dfrac{1}{2}\right)^{n}-2 n-1<0\)，
\({\color{Red}{(利用减数列的概念，相当于得到一个恒成立问题，可想到分类参数法求解，由于(-\dfrac{1}{2})^{n}的存在，}}\)
\({\color{Red}{需要对n的奇偶性进行分类讨论)}}\)
当\(n\)为偶数时，
\(6 \lambda<\dfrac{2 n+1}{\left(-\frac{1}{2}\right)^{n}}=(2 n+1)(-2)^{n}=(2 n+1) 2^{n}\)
由于\(\left\{(2 n+1) 2^{n}\right\}\)为递增数列，
则数列\(\left\{(2 n+1) 2^{n}\right\}\)的最小值\((2×2+1)\cdot 2^2=20\)，
\(∴6λ<20\)，即\(\lambda<\dfrac{10}{3}\)，
当\(n\)为奇数时，
\(6 \lambda<\dfrac{2 n+1}{\left(-\frac{1}{2}\right)^{n}}=(2 n+1)(-2)^{n}=-(2 n+1) 2^{n}\)
由于\(\left\{-(2 n+1) 2^{n}\right\}\)为递减数列，
则数列\(\left\{-(2 n+1) 2^{n}\right\}\)的最大值\(-(2×1+1)\cdot 2=-6\)，
\(∴6λ>-6\)，\(∴λ>-1\)，
综上所述实数\(λ\)的取值范围是\(\left(-1, \dfrac{10}{3}\right)\)．
【点拨】本题充分考核了数列单调性的运用，其中也满满的“函数思想”，遇到类似\(\left(-\dfrac{1}{2}\right)^{n},(-1)^{n}\)式子进行奇偶性分类讨论是常用手段.
【典题5】若数列\(\left\{n(n+4)\left(\dfrac{2}{3}\right)^{n}\right\}\)中的最大项是第\(k\)项，求\(k\).
【解析】令\(a_{n}=n(n+4)\left(\dfrac{2}{3}\right)^{n}\)，
假设\(\dfrac{a_{n+1}}{a_{n}}=\dfrac{(n+1)(n+5)\left(\dfrac{2}{3}\right)^{n+1}}{n(n+4)\left(\dfrac{2}{3}\right)^{n}}\)\(=\dfrac{2}{3} \dfrac{(n+1)(n+5)}{n(n+4)} \geq 1\)，\({\color{Red}{(作商法)}}\)
则\(2(n+1)(n+5)≥3n(n+4)\)，即\(n^2≤10\)，
又\(n\)是整数，
即\(n≤3\)时，\(a_{n+1}＞a_n\)；当\(n≥4\)时，\(a_{n+1}<a_n\)；
所以\(a_4\)最大．
【点拨】本题通过讨论数列\(\left\{n(n+4)\left(\dfrac{2}{3}\right)^{n}\right\}\)的增减性，从而得到最大值，其中就有函数思想的影子.
巩固练习
1(★)下列叙述正确的是( )
A．数列\(1 ,3 ,5 ,7\)与\(7 ,5 ,3 ,1\)是同一数列
B．数列\(0 ,1 ,2 ,3 ,…\)的通项公式是\(a_n=n\)
C．\(-1 ,1 ,-1 ,1 ,…\)是常数列
D．\(1 ,2 ,2^2 ,2^3 ,…\)是递增数列，也是无穷数列
2(★)对于项数都为\(m\)的数列\(\{a_n\}\)和\(\{b_n\}\)，记\(b_k\)为\(a_1\),\(a_2\),… ,\(a_k\)\((k=1 ,2 ,… ,m)\)中的最小值，给出下列命题：
①若数列\(\{b_n\}\)的前\(5\)项依次为\(5 ,5 ,3 ,3 ,1\)，则\(a_4=3\)；
②若数列\(\{b_n\}\)是递减数列，则数列\(\{a_n\}\)也是递减数列；
③数列\(\{b_n\}\)可能是先递减后递增的数列；
④若数列\(\{a_n\}\)是递增数列，则数列\(\{b_n\}\)是常数列．
其中，是真命题的为( )
A．①④ \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) B．①③ \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) C．②③ \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) D．②④
3(★)数列\(1 ,1 ,2 ,3 ,5 ,x ,13 ,…\)中的\(x\)等于( )
A．\(6\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) B．\(7\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) C．\(8\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) D．\(11\)
4(★)【多选题】满足下列条件的数列\(\{a_n\}\)\((n∈N^*)\)是递增数列的为( )
A．\(a_{n}=\dfrac{1}{n}\) \(\qquad \qquad\) B．\(a_n=n^2+n\)\(\qquad \qquad\)C．\(a_n=1－2n\) \(\qquad \qquad\)D．\(a_n=2^n+1\)
5(★★)已知数列\(\{a_n\}\)是递增数列，且对于任意\(n∈N^*\),\(a_n=n^2+2λn+1\)，则实数\(λ\)的取值范围是\(\underline{\quad \quad}\) .
6(★★)已知数列\(a_{n}=8+\dfrac{2 n-7}{2^{n}}\)若其最大项和最小项分别为\(M\)和\(m\)，则\(m+M\)的值为\(\underline{\quad \quad}\).
7(★★)已知\(\{a_n\}\)满足\(a_{n}=(n-\lambda) 2^{n}\)\(\left(n \in \boldsymbol{N}^{*}\right)\)，若\(\{a_n\}\)是递增数列，则实数\(λ\)的取值范围是\(\underline{\quad \quad}\)．
8(★★★)在数列\(\{a_n\}\)中，已知\(a_{n}=\dfrac{a n}{b n+1}\)，且\(a_{2}=\dfrac{6}{5}\)，\(a_{3}=\dfrac{9}{7}\)．
(1)求通项公式\(a_n\)；
(2)求证：\(\{a_n\}\)是递增数列；
(3)求证：\(1 \leq a_{n}<\dfrac{3}{2}\)．
参考答案
1.\(D\)
2.\(D\)
3.\(C\)
4.\(BD\)
5.\(\left(-\dfrac{3}{2},+\infty\right)\)
6.\(\dfrac{435}{32}\)
7.\((-∞ ,3)\)
8.\(\text { (1) } a_{n}=\dfrac{3 n}{2 n+1}\)
\((2)\)提示：作差法
\((3)\)提示:分离常数法
【题型二】数列与函数的关系
【典题1】数列\(\{a_n\}\)的通项\(a_n=-3n^2+2020n+1\)，当\(a_n\)取最大值时，\(n=\)\(\underline{\quad \quad}\).
【解析】 \({\color{Red}{方法一 \quad 数列的单调性}}\)
根据题意，\(a_{n-1}=-3(n-1)^{2}+2020(n-1)+1\)，
则\(a_n-a_{n-1}=-6n+2023\)，
当\(1≤n≤336\)时，\(a_n-a_{n-1}>0\)，即\(a_n>a_{n-1}\)，
当\(n≥337\)时，\(a_n-a_{n-1}<0\)，即\(a_n<a_{n-1}\)，
而\(a_{337}>a_{336}\)，
故数列\(\{a_n\}\)各项中最大项是第\(337\)项.
\({\color{Red}{方法二 \quad 函数法}}\)
依题意，\(a_n=-3n^2+2020n+1\)，
表示抛物线\(f(n)=3n^2+2020n+1\)当\(n\)为正整数时对应的函数值，
又\(y=3x^2+2020x+1\)为开口向下的抛物线，
故到对称轴\(x=-\dfrac{2020}{2 \times(-3)}=\dfrac{1010}{3}\)距离越近的点，函数值越大，
故当\(n=337\)时，\(a_n=f(n)\)有最大值．
【点拨】数列是特殊的函数，可用数形结合的方法，但要注意自变量\(n\)是正整数.
【典题2】数列\(\{a_n\}\)的通项\(a_{n}=\dfrac{n}{n^{2}+90}\)，则数列\(\{a_n\}\)中的最大值是\(\underline{\quad \quad}\).
【解析】\(a_{n}=\dfrac{n}{n^{2}+90}=\dfrac{1}{n+\dfrac{90}{n}}\)，
\(\because f(x)=x+\dfrac{90}{x}\)在\((0,3 \sqrt{10})\)上单调递减，在\((3 \sqrt{10},+\infty)\)上单调递增，\({\color{Red}{(对勾函数)}}\)
\({\color{Red}{(9<3 \sqrt{10}<10，由于n只能取正整数，故还要比较f(9)、f(10)大小)}}\)
\(\therefore f(9)=9+10=19\)，\(f(10)=9+10=19\)
即\(f(9)=f(10)\)为最小值，
此时\(a_{n}=\dfrac{n}{n^{2}+90}\)取得最大值为\(a_{9}=a_{10}=\dfrac{1}{19}\).
【点拨】根据数列的通项公式想到与之对应的函数，形如\(y=\dfrac{\text { 一次函数 }}{\text { 二次函数 }}\)的函数和对勾函数与基本不等式有关.
【典题3】【多选题】对于数列\(\{a_n\}\)，定义\(b_{n}=a_{n}-\dfrac{1}{a_{n}}\)\(\left(n \in N^{*}\right)\)，称数列\(\{b_n\}\)是\(\{a_n\}\)的“倒差数列”．下列叙述正确的有( )
A．若数列\(\{a_n\}\)单调递增，则数列\(\{b_n\}\)单调递增
B．若数列\(\{b_n\}\)是常数列，数列\(\{a_n\}\)不是常数列，则数列\(\{a_n\}\)是周期数列
C．若\(a_{n}=1-\left(-\dfrac{1}{2}\right)^{n}\)，则数列\(\{b_n\}\)没有最小值
D．若\(a_{n}=1-\left(-\dfrac{1}{2}\right)^{n}\)，则数列\(\{b_n\}\)有最大值
【解析】对于\(A\)：函数\(f(x)=x-\dfrac{1}{x}\)在\((-∞ ,0)\)和\((0 ,+∞)\)上单调递增，但在整个定义域上不是单调递增，可知数列\(\{a_n\}\)单调递增时数列\(\{b_n\}\)不一定是单调递增，
\({\color{Red}{(利用复合函数的单调性思考，要a_n>0或a_n<0才成立；举个反例易排除A)}}\)
如：\(a_{n}=n-\dfrac{5}{2}\)，则\(b_{2}=-\dfrac{1}{2}+2=\dfrac{3}{2}\)，\(b_{3}=\dfrac{1}{2}-2=-\dfrac{3}{2}\)，故\(A\)错误；
对于\(B\)：数列\(\{b_n\}\)是常数列，
\(\therefore a_{n+1}-\dfrac{1}{a_{n+1}}=a_{n}-\dfrac{1}{a_{n}}\)\(\Rightarrow\left(a_{n+1}-a_{n}\right)\left(1+\dfrac{1}{a_{n} a_{n+1}}\right)=0\)，
\(∵\)数列\(\{a_n\}\)不是常数列，\(∴a_{n+1}-a_n≠0\)，
\(\therefore 1+\dfrac{1}{a_{n} a_{n+1}}=0\)，整理可得\(a_{n+1}=-\dfrac{1}{a_{n}}\)，\(\therefore a_{n+2}=-\dfrac{1}{a_{n+1}}=a_{n}\)，
\({\color{Red}{(类比：若f(x)满足f(x+1)=-f(x)，则f(x)是以2为周期的函数)}}\)
\(∴\)数列\(\{a_n\}\)是以\(2\)为周期的周期数列，故\(B\)正确；
对于\(CD\)，若\(a_{n}=1-\left(-\dfrac{1}{2}\right)^{n}\)，
则\(b_{n}=1-\left(-\dfrac{1}{2}\right)^{n}-\dfrac{1}{1-\left(-\dfrac{1}{2}\right)^{n}}\)
\({\color{Red}{(遇到(-\dfrac{1}{2})^{n}进行奇偶性分类讨论)}}\)
①当\(n\)为偶数时，
\(b_{n}=1-\dfrac{1}{2^{n}}-\dfrac{1}{1-\dfrac{1}{2^{n}}}=1-\dfrac{1}{2^{n}}-\dfrac{2^{n}}{2^{n}-1}\)\(=-1-\dfrac{1}{2^{n}}-\left(1+\dfrac{1}{2^{n}-1}\right)=-\left(\dfrac{1}{2^{n}}+\dfrac{1}{2^{n}-1}\right)\)
易得\(b_n<0\)且\(\{b_n\}\)偶数项单调递增，
此时\(\left(b_{n}\right)_{\min }=b_{2}=-\left(\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{3}\right)=-\dfrac{7}{12}\)，
②当\(n\)为奇数时，
\(b_{n}=1+\dfrac{1}{2^{n}}-\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{2^{n}}}=1+\dfrac{1}{2^{n}}-\dfrac{2^{n}}{2^{n}+1}\)\(=1+\dfrac{1}{2^{n}}-\left(1-\dfrac{1}{2^{n}+1}\right)=\dfrac{1}{2^{n}+1}+\dfrac{1}{2^{n}}\)
易得\(b_n>0\)且\(\{b_n\}\)奇数项单调递减，
此时\(\left(b_{n}\right)_{\max }=b_{1}=\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{2}=\dfrac{5}{6}\)，
由以上分析可得，数列\(\{b_n\}\)的图象如图，
\({\color{Red}{(数形结合的威力还是很大的，突出前面确定b_n>0(n为奇数),b_n<0(n为偶数)的必要性)}}\)
故数列\(\{b_n\}\)有最大值和最小值，即\(C\)错误，\(D\)正确，
故本题选\(BD\).
【点拨】本题可进一步理解数列作为一特别函数，看到两者的共同点，在讨论其性质均可利用到函数的周期性、复合函数单调性、最值等众多性质，最主要是通过数列通项公式的形式你可以想到与之对应的函数不，本题实际可以理解为复合函数.
巩固练习
1(★★)在数列\(\{a_n\}\)中，\(a_n=-2n^2+29n+3\)，则此数列最大项的值是\(\underline{\quad \quad}\).
2(★★)数列\(\{a_n\}\)中，\(a_{n}=\dfrac{n-\sqrt{2006}}{n-\sqrt{2007}}\)，则该数列前\(100\)项中的最大项与最小项分别是\(\underline{\quad \quad}\).
3(★★)若数列\(\{a_n\}\)的通项公式为\(a_{n}=\dfrac{n}{n^{2}+2020}\)\(\left(n \in N^{*}\right)\)，则这个数列中的最大项\(\underline{\quad \quad}\).
4(★★★)数列\(\{a_n\}\)的通项公式为\(a_{n}=\left(\dfrac{4}{5}\right)^{2 n-4}-\left(\dfrac{4}{5}\right)^{n-2}\)，则数列\(\{a_n\}\)( )
A．有最大项，无最小项\(\qquad \qquad\) B．有最小项，无最大项 \(\qquad \qquad\)C．既有最大项又有最小项 \(\qquad \qquad\) D．既无最大项又无最小项
5(★★)数列\(\{a_n\}\)中，\(a_{n}=2 n+\dfrac{k}{n}\)，若对任意\(n∈N^*\)，都有\(a_n≥a_3\)成立，则实数\(k\)的取值范围为( )
A．\([12 ,24]\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) B．\((12 ,24]\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\)C．\([3 ,12]\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) D．\((3 ,12]\)
6(★★★) 已知\(\{x_n\}\)是递增数列，且\(x_n≥0\)，则关于数列\(\{x_n\}\)，对任意的正整数\(p ,q\)，下列结论不可能成立的( )
A．\(x_{pq}=px_q+qx_p\) \(\qquad \qquad\)B．\(x_{p+q}=px_q+qx_p\) \(\qquad \qquad\) C．\(x_{pq}=x_p+x_q-1\)\(\qquad \qquad\) D．\(x_{p+q}=2x_p x_q\)
7(★★)数列\(\{a_n\}\)中，\(a_{n}=n-\sqrt{n^{2}+2}\)，求数列\(\{a_n\}\)的最大项和最小项.
参考答案
1.\(1108\)
2.\(a_{45},a_{44}\)
3.第\(44\)项
4.\(C\)
5.\(A\)
6.\(B\)
7.数列\(\{a_n\}\)的最小项为\(a_{1}=1-\sqrt{3}\)，没有最大项.
【题型三】由数列前几项求数列通项公式
【典题1】写出下列数列\(\{a_n\}\)的一个通项公式：
\((1)-7 ,14 ,-21 ,28，…\)；
\((2)\dfrac{1}{4}, \dfrac{3}{8}, \dfrac{5}{16}, \dfrac{7}{32} \ldots\)；
\((3)2 ,5 ,10 ,17 ,26 ,…\)；
\((4)2 ,32 ,332 ,3332 ,33332 ,….\)；
\((5)1 ,2 ,2 ,3 ,3 ,4 ,4 ,…．\)
【解析】\({\color{Red}{分解结构法}}\)
\((1)\)数列\(-7 ,14 ,-21 ,28\)，…每项可分解成符号和项的绝对值相乘得到，
故\(a_{n}=(-1)^{n} 7 n\)；
\({\color{Red}{(奇偶性的符号变换规律可考虑(-1)^{n}或(-1)^{n-1})}}\)
\((2)\)数列\(\dfrac{1}{4}, \dfrac{3}{8}, \dfrac{5}{16}, \dfrac{7}{32} \ldots\)每项可分解成分子和分母相除得到，
\({\color{Red}{ (分子相邻数之间的差是2，是等差数列；分母相邻数之间是2倍的关系，是等比数列)}}\)
故\(a_n=(2n-1)2^{n+1}\)
\({\color{Red}{变形法}}\)
\((3)\)数列\(2 ,5 ,10 ,17 ,26 ,…\)中若每项减去\(1\)，则变成\(1 ,4 ,9 ,16 ,25 ,…\)，
这些数都是完全平方数，易想到数列的通项是\(n^2\)，
则原数列只需要在这基础上加回\(1\)便可，即\(a_n=n^2+1\).
\((4)\)数列\(2 ,32 ,332 ,3332 ,33332 ,….\)中若每项加上\(1\)，
则变成\(3 ,33 ,333 ,3333 ,33333 ,….\)，
再每项乘以\(3\)，变成\(9 ,99 ,999 ,9999 ,99999 ,…\)
其中\(9=10-1\),\(99=10^2-1\)，\(999=10^3-1\)，\(9999=10^4-1\)，\(99999=10^5-1\)，
则其通项\(b_n=10^{n+1}-1\)，
要求原数列的通项公式，
则“逆回去”，除以\(3\)再减\(1\)可得\(a_{n}=\dfrac{b_{n}}{3}-1=\dfrac{10^{n+1}-1}{3}-1=\dfrac{10^{n+1}-4}{3}\)
\({\color{Red}{奇偶项拆分}}\)
\((5)\)数列\(1 ,2 ,2 ,3 ,3 ,4 ,4 ,…\), 相邻每项之间没什么关系，若分奇偶性来看，就简单多了，
可得奇数项为\(1 ,2 ,3 ,4 ,…\), 可得\(a_{n}=\dfrac{n+1}{2}\)．
偶数项为\(2 ,3 ,4 ,…\), 可得\(a_{n}=\dfrac{n+2}{2}\)．
则该数列通项公式\(a_{n}=\left\{\begin{array}{l}
\dfrac{n+1}{2}, n \text { 为奇数 } \\
\dfrac{n+2}{2}, n \text { 为偶数 }
\end{array}\right.\).
巩固练习
1(★)数列\(\sqrt{2}\)，\(\sqrt{5}\)，\(2 \sqrt{2}\)，\(\sqrt{11}\)，⋅⋅⋅的一个通项公式为( )
A．\(\sqrt{3 n-3}\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) B．\(\sqrt{3 n-1}\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) C．\(\sqrt{3 n+1}\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) D．\(\sqrt{3 n+3}\)
2(★)数列\(1\),\(-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)，\(\dfrac{1}{2}\)，\(-\dfrac{\sqrt{2}}{4}\)，\(\dfrac{1}{4}\)…的一个通项公式为( )
A．\(\left(-\dfrac{1}{2}\right)^{n-1}\) \(\qquad \qquad\) B．\(\left(-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)^{n}\) \(\qquad \qquad\) C．\((-1)^{n}\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)^{n-1}\) \(\qquad \qquad\) D．\((-1)^{n+1}\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)^{n-1}\)
3(★)【多选题】已知数列\(0\),\(2\),\(0\),\(2\),\(0\),\(2\),…，则前六项适合的通项公式为( )
A．\(a_n=1+(-1)^n\)
B．\(a_{n}=2 \cos \dfrac{n \pi}{2}\)
C．\(a_{n}=2\left|\sin \dfrac{(n+1) \pi}{2}\right|\)
D．\(a_{n}=1-\cos (n-1) \pi+(n-1)(n-2)\)
4(★★★)写出下列数列的一个通项公式：
\(\text { (1) } \dfrac{1}{2}, 2, \dfrac{9}{2}, 8, \dfrac{25}{2}, \ldots\)；
\((2)1 ,-3 ,5 ,-7 ,9…\)；
\((3)1 ,2 ,1 ,2 ,1 ,2…\)；
\(\text { (4) } \dfrac{4}{5}, \dfrac{9}{10}, \dfrac{16}{17}, \dfrac{25}{26}, \ldots\)；
\((5)7 ,77 ,777 ,7777 ,…\)；
\((6)1 ,3 ,6 ,10 ,15 ,…\);
参考答案
1.\(B\)
2.\(D\)
3.\(AC\)
4.\(\text { (1) } a_{n}=\dfrac{n^{2}}{2}\)；
\(\text { (2) } a_{n}=(-1)^{n+1} \times(2 n-1)\)；
\(\text { (3) } a_{n}=\dfrac{3}{2}+(-1)^{n}\left(\dfrac{1}{2}\right)\)；
\(\text { (4) } a_{n}=\dfrac{n^{2}}{n^{2}+1}\)；
\(\text { (5) } a_{n}=\dfrac{7}{9}\left(10^{n}-1\right)\)；
\(\text { (6) } a_{n}=\dfrac{n(n+1)}{2}\)．
【题型四】由递推公式求通项公式
【典题1】已知数列\(\{a_n\}\)满足\(a_1=2\),\(a_{n+1}=a_{n}+\ln \left(1+\dfrac{1}{n}\right)\)，求\(a_n\).
【解析】由条件知\(a_{n+1}-a_{n}=\ln \left(1+\dfrac{1}{n}\right)=\ln \dfrac{n+1}{n}=\ln (n+1)-\ln n\)
\(\therefore a_{2}-a_{1}=\ln 2-\ln 1\),\(a_{3}-a_{2}=\ln 3-\ln 2\)，\(a_{4}-a_{3}=\ln 4-\ln 3\ldots\)
\(a_{n-1}-a_{n-2}=\ln (n-1)-\ln (n-2)\)，\(a_{n}-a_{n-1}=\ln n-\ln (n-1)\)
把以上\(n-1\)个式子累加得到
\(\begin{aligned}
&a_{n}-a_{1} \\
&=\ln 2-\ln 1+\ln 3-\ln 2+\ln 4-\ln 3+\cdots \\
&\quad+\ln (n-1)-\ln (n-2)+\ln n-\ln (n-1) \\
&=\ln n-\ln 1 \\
&=\ln n(n \geq 2)
\end{aligned}\)
\(∴a_n=a_1+\ln n=\ln n+2 (n≥2)\)
\(∵a_1=2\)满足上式，
故\(a_n=\ln n+2 (n∈N^*)\)
【点拨】这是累加法，适合形如\(a_{n+1}=a_n+f(n)\)的递推公式求解通项公式.
【典题2】已知\(a_1=1\),\(a_{n}=n\left(a_{n+1}-a_{n}\right)\)\(\left(n \in N^{*}\right)\)，求数列\(\{a_n\}\)通项公式.
【解析】\(\because a_{n}=n\left(a_{n+1}-a_{n}\right)\)，
\(\therefore \dfrac{a_{n+1}}{a_{n}}=\dfrac{n+1}{n}\)，
又有\(a_{n}=a_{1} \cdot \dfrac{a_{2}}{a_{1}} \cdot \dfrac{a_{3}}{a_{2}} \ldots \dfrac{a_{n}}{a_{n-1}}\)\(=1 \times \dfrac{2}{1} \times \dfrac{3}{2} \times \ldots \times \dfrac{n}{n-1}=n(n \geq 2)\)，
\(∵a_1=1\)满足上式，
\(∴ a_n=n (n∈N^*)\).
【点拨】这是累加法，适合形如\(a_{n+1}=f(n)\cdot a_n\)的递推公式求解通项公式.
巩固练习
1(★★)在数列\(\{a_n\}\)中，已知\(a_1=1\)，\(a_2=5\)，且\(a_{n+2}=a_{n+1}-a_{n}\)\(\left(n \in N^{*}\right)\)，则\(a_{2020}=\)\(\underline{\quad \quad}\)．
2(★★)已知数列\(\{a_n\}\)满足\(a_{1}=\dfrac{1}{2}\)，\(a_{n+1}=a_{n}+\dfrac{1}{n^{2}+n}\)，求\(a_n\).
3(★★)已知\(a_1=3\),\(a_{n+1}=\dfrac{3 n-1}{3 n+2} a_{n}(n \geq 1)\)，求\(a_n\).
4(★★)设数列\(\{a_n\}\)是首项为\(1\)的正项数列，且\((n+1) a_{n+1}^{2}-n a_{n}^{2}+a_{n+1} a_{n}=0\), 求通项公式是\(a_n\).
参考答案
1.\(-1\)
2.\(a_{n}=\dfrac{3}{2}-\dfrac{1}{n}\)
3.\(a_{n}=\dfrac{6}{3 n-1}\)
4.\(a_{n}=\dfrac{1}{n}\)
【题型五】a_n与S_n的关系的应用
【典题1】已知数列\(\{a_n\}\)的前\(n\)项和\(S_n\)，满足关系\(\lg(S_n+2)=n\)，求\(\{a_n\}\)的通项公式.
【解析】\(∵\lg(S_n+2)=n\)，\(∴S_n=10^n-2\)
当\(n≥2\)时，\(a_{n}=S_{n}-S_{n-1}=9 \times 10^{n-1}\)
当\(n=1\)时，\(a_1=S_1=8\)不满足\(a_{n}=9 \times 10^{n-1}\)，
\({\color{Red}{(注意a_1的值是否满足a_{n}=9 \times 10^{n-1}(n \geq 2)}}\)
\(\therefore a_{n}=\left\{\begin{array}{lr}
8, & n=1 \\
9 \times 10^{n-1}, & n \geq 2
\end{array}\right.\).
【典题2】已知数列\(\{a_n\}\)的前\(n\)项和\(S_n\)，满足\(a_2=-4\)，\(2S_n=n(a_n-7)\)，求\(a_1\)和数列\(\{a_n\}\)的通项公式.
【解析】(1)在\(2S_n=n(a_n-7)\)中，
当\(n=1\)时，\(2S_1=a_1-7\)\(⇒2a_1=a_1-7⇒a_1=-7\)；
由\(2S_n=n(a_n-7)\)①得，
\(2 S_{n+1}=(n+1)\left(a_{n+1}-7\right)\)②，
由②-①可得，\(2 a_{n+1}=(n+1) a_{n+1}-n a_{n}-7\)，
化简得\((n-1) a_{n+1}-n a_{n}=7\)，
当\(n≥2\)时，有\(\dfrac{a_{n+1}}{n}-\dfrac{a_{n}}{n-1}=\dfrac{7}{n(n-1)}=7\left(\dfrac{1}{n-1}-\dfrac{1}{n}\right)\)，
\({\color{Red}{(此处利用裂项\dfrac{1}{n(n-1)}=\dfrac{1}{n-1}-\dfrac{1}{n})}}\)
\(\therefore \dfrac{a_{n+1}}{n}-\dfrac{a_{2}}{1}\)
\(=\left(\dfrac{a_{n+1}}{n}-\dfrac{a_{n}}{n-1}\right)+\left(\dfrac{a_{n}}{n-1}-\dfrac{a_{n-1}}{n-2}\right)+\cdots \cdots+\left(\dfrac{a_{3}}{2}-\dfrac{a_{2}}{1}\right)\)\({\color{Red}{(累加法)}}\)
\(=7\left(\dfrac{1}{n-1}-\dfrac{1}{n}\right)+7\left(\dfrac{1}{n-2}-\dfrac{1}{n-1}\right)+\cdots \ldots+7\left(\dfrac{1}{1}-\dfrac{1}{2}\right)\)
\(=7\left(1-\dfrac{1}{n}\right)=\dfrac{7(n-1)}{n}\)
\(\therefore \dfrac{a_{n+1}}{n}=\dfrac{a_{2}}{1}+\dfrac{7(n-1)}{n}=-4+\dfrac{7(n-1)}{n}=\dfrac{3 n-7}{n}\)
\(\therefore a_{n+1}=3 n-7(n \geq 2)\)，
\({\color{Red}{(n≥2不能漏，注意所得结论的前提)}}\)
故\(a_n=3n-10(n≥3)\)，
\({\color{Red}{(此时注意n的取值改为n≥3)}}\)
又\(a_1=-7\),\(a_2=-4\)也都符合上式，
所以\(a_n=3n-10(n∈N^*)\)．
【点拨】若已知条件已知\(S_n\)或者\(S_n\)与\(a_n\)的关系式，均可以利用\(a_{n}=\left\{\begin{array}{lr}
S_{1}, & n=1 \\
S_{n}-S_{n-1}, & n \geq 2
\end{array}\right.\)求解数列的通项公式\(a_n\).
巩固练习
1(★★)已知数列\(\{a_n\}\)的前\(n\)项和\(S_n\)满足\(S_n=n^2+n-1\)，求数列\(\{a_n\}\)的通项公式.
2(★★)已知无穷数列\(\{a_n\}\)的前\(n\)项和\(S_n\)，并且\(a_n+S_n=1\)，求\(\{a_n\}\)的通项公式.
3(★★★)设数列\(\{a_n\}\)的前\(n\)项和\(S_n\)，已知\(a_1=2\)，\(a_2=8\)，\(S_{n+1}+4 S_{n-1}=5 S_{n}\)\((n \geq 2)\)，求数列\(\{a_n\}\)的通项公式；
参考答案
1.\(a_{n}=\left\{\begin{array}{c}
1, n=1 \\
2 n, n \geq 2
\end{array}\right.\)
2.\(a_{n}=\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n}\)
3.\(a_{n}=2^{2 n-1}\)
