专题 圆锥曲线最值问题
\(\mathbf{{\large {\color{Red} {欢迎到学科网下载资料学习}} } }\)【高分突破系列】 高二数学上学期同步知识点剖析精品讲义！
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适合高二同步提高或高三复习，难度4颗星！
模块导图
知识剖析
常见的几何模型
圆上点到圆外点的距离
圆\(⊙O\)外一定点\(A\)与圆上一动点\(P\)的距离\(PA\)最小值\(是P_1 A=AO-r\)，最大值\(P_2 A=AO+r\)(\(r\)是圆的半径).
圆上点到圆外直线的距离
圆上一动点\(P\)到圆外一定直线\(l\)的距离最小值是\(d-r\)，最大值是\(d+r\)(\(r\)是圆的半径，\(d\)是圆心到直线\(l\)的距离).
三点共线模型
一动点\(P\)到两定点\(A、B\)的距离分别为\(PA、PB\)，
当\(P、A、B\)共线，且点\(P\)在\(A、B\)之间时，\(PA+PB\)取到最小值\(P_1 A+P_1 B=AB\)；
当\(P、A、B\)共线，且点\(P\)在\(A、B\)同侧时，\(|PA-PB|\)取到最大值\(|P_1 A-P_1 B|=AB\)；
其本质是三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；
将军饮马模型
点\(A、B\)在直线\(l\)同侧，点\(P\)在直线\(l\)上，那\((AP+BP)_{min}=AP_1+BP_1\)；
垂线段最值模型
点\(A\)是\(∠MON\)内外的一点，点\(P\)在\(OM\)上，\(PA\)与点\(P\)到射线\(ON\)的距离之和为\(PA+PB\)．
(1) 点\(A\)是\(∠MON\)外，\((PA+PB)_{min}=AB_1\) \(\qquad\) (2) 点\(A\)是\(∠MON\)内，\((PA+PB)_{min}=A'B_1\).
胡不归模型
如图,求\(k\cdot AC+BC(0<k<1)\)，构造射线\(AE\)，使得角度\(\sinα=k\)，则\(k\cdot AC+BC=CD+BC\)，问题转化为“垂线段模型”，则\((k\cdot AC+BC)_{min}=BF\).
阿氏圆模型
如图，圆\(O\)半径是\(r\)，点\(A,B\)在圆\(O\)外，点\(P\)是圆\(O\)上一动点，已知\(r=k\cdot OB\)，求\(k\cdot BP+AP\)的最小值.
在线段\(OB\)上截取\(OC=k\cdot r\)，则\(\dfrac { OC } { O P } = \dfrac { O P } { O B } = k \Rightarrow \triangle B P O \sim \triangle P C O\)，即\(k\cdot PB=PC\)，
则\(k\cdot BP+AP\)的最小值转化为\(PC+PA\)的最小值，当然是\(AC\)，即\((k\cdot BP+AP)_{min}=AC.\)
最值问题常见处理方法
几何法
通过观察掌握几何量的变化规律，利用几何知识点找到几何量取到最值的位置，从而求出最值，这需要熟悉常见的几何模型.
代数法
理解几何量之间的变化规律，找到“变化源头”，通过引入恰当的参数(一般与源头有关)，把所求几何量表示成参数的式子，再利用求函数最值的方法（基本不等式、换元法、数形结合等）求得几何量的最值.
经典例题
【方法一】几何法
【典题1】已知椭圆\(C: \dfrac { x ^ { 2 } } { 25 } + \dfrac { y ^ { 2 } } { 16 } = 1\)内有一点\(M(2 ,3)\)，\(F_1 ,F_2\)为椭圆的左、右焦点，\(P\)为椭圆\(C\)上的一点，求：
(1)\(|PM|－|PF_1 |\)的最大值与最小值；
(2)\(|PM|+|PF_1 |\)的最大值与最小值．
【解析】(1)由椭圆\(C: \dfrac { x ^ { 2 } } { 25 } + \dfrac { y ^ { 2 } } { 16 } = 1\)可知\(a=5 ,b=4 ,c=3\)，
则\(F_1 (－3 ,0)\),\(F_2 (3 ,0)\)，
则\(||PM|－|PF_1 ||≤|MF_1 |=\sqrt{34}\)，当且仅当\(P、M、F_1\)三点共线时成立，
所以\(-\sqrt{34}≤|PM|－|PF_1 |≤\sqrt{34}\)，
所以\(|PM|－|PF_1 |\)的最大值与最小值分别为\(\sqrt{34}\)和\(-\sqrt{34}\)；
(2)\(2a=10\)，\(F_2 (3 ,0)\)，\(|MF_2 |=\sqrt{10}\)，
设\(P\)是椭圆上任一点，由\(|PF_1 |+|PF_2 |=2a=10\)，\(|PM|≥|PF_2 |－|MF_2 |\)
\(∴|PM|+|PF_1 |≥|PF_2 |－|MF_2 |+|PF_1 |\)\(≥2a－|MF_2 |=10-\sqrt{10}\)，
等号仅当\(|PM|=|PF_2 |－|MF_2 |\)时成立，此时\(P、M、F_2\)共线，
由\(|PM|≤|PF_2 |+|MF_2 |\)，
\(∴|PM|+|PF_1 |≤|PF_2 |+|MF_2 |+|PF_1 |\)\(=2a+|MF_2 |=10+\sqrt{10}\)，
等号仅当\(|PM|=|PF_2 |+|MF_2 |\)时成立，此时\(P、M、F_2\)共线，
故\(|PM|+|PF_1 |\)的最大值\(10+\sqrt{10}\)与最小值为\(10-\sqrt{10}\)．
【点拨】本题采取几何法，通过三点共线模型与椭圆的定义进行求解.
【典题2】设\(P\)是抛物线\(y^2=4x\)上的一个动点，\(F\)为抛物线的焦点，记点\(P\)到点\(A(－1 ,1)\)的距离与点\(P\)到直线\(x=-1\)的距离之和的最小值为\(M\)，若\(B(3 ,2)\)，记\(|PB|+|PF|\)的最小值为\(N\)，则\(M+N=\)\(\underline{\quad \quad }\)．
【解析】如下图所示，
过点\(P\)作\(PG\)垂直于直线\(x=-1\)，垂足为点\(G\)，由抛物线的定义可得\(|PG|=|PF|\)，
所以，点\(P\)到直线\(x=－1\)的距离为\(|PG|\)，
所以\(|PA|+|PG|=|PA|+|PF|≥|AF|=\sqrt5\)，
\({\color{Red}{ (三点共线模型)}}\)
当且仅当\(A、P、F\)三点共线时，\(|PA|+|PG|\)取到最小值，即\(M=\sqrt5\)．
如下图所示，
过点\(P\)作直线\(PH\)垂直于直线\(x=-1\)，垂足为点\(H\)，由抛物线的定义可得\(|PH|=|PF| ,\)
点\(B\)到直线\(x=-1\)的距离为\(d=4\)，
所以\(|PB|+|PF|=|PB|+|PH|≥4\)，当且仅当\(B、P、H\)三点共线时，等号成立，即\(N=4\)，
\({\color{Red}{ (垂线段最值模型)}}\)
因此\(M+N=\sqrt5+4\)．
【点拨】
① 本题采取几何法，通过几何模型与抛物线的定义进行求解；
② 处理抛物线类似的题目，注意点在抛物线之内还是之外，比如本题点\(A\)在抛物线外，点\(B\)在抛物线内.
【典题3】已知双曲线方程为\(x ^ { 2 } - \dfrac { y ^ { 2 } } { 4 } = 1\)，如图，点\(A\)的坐标为\((-\sqrt5 ,0)\)，\(B\)是圆\(x^2+(y-\sqrt5)^2=1\)上的点，点\(M\)在双曲线的右支上，求\(|MA|+|MB|\)的最小值．
【解析】设点\(D\)的坐标为\((\sqrt5 ,0)\)，则点\(A ,D\)是双曲线的焦点，
由双曲线的定义，得\(|MA|－|MD|=2a=2\)．
\(∴|MA|+|MB|=2+|MB|+|MD|≥2+|BD|\)，
\({\color{Red}{(此时相当于把点B看成“定点”看待，当M,B,D三点共线时|MB|+|MD|取到最小值，这是处理两动点的常规方法) }}\)
又\(B\)是圆\(x^2+(y-\sqrt5)^2=1\)上的点，圆心为\(C(0，\sqrt5)\)，
半径为\(1\)，故\(|BD|≥|CD|－1=\sqrt{10}-1\)，
从而\(|MA|+|MB|≥2+|BD|≥\sqrt{10}+1\)，
当点\(M ,B\)在线段\(CD\)上时取等号，即\(|MA|+|MB|\)的最小值为\(\sqrt{10}+1\)．
【点拨】本题眨眼一看，存在两动点\(M、B\)，有些头疼.题中通过双曲线的定义把\(|MA|+|MB|\)的最小值转化为\(|BD|\)最小值问题，这就是圆外一点到圆上最短距离问题，即\(|BD|≥|CD|－1=\sqrt{10}-1.\)注意两动点最值问题处理的方式.
【典题4】椭圆\(\dfrac { x ^ { 2 } } { 4 } + \dfrac { y ^ { 2 } } { 3 } = 1\)上的点到直线\(l：2x+\sqrt3 y－9=0\)的距离的最大值为\(\underline{\quad \quad }\).
【解析】设与直线\(2x+\sqrt3 y－9=0\)平行的直线\(2x+\sqrt3 y+m=0\)与椭圆\(\dfrac { x ^ { 2 } } { 4 } + \dfrac { y ^ { 2 } } { 3 } = 1\)相切，
由\(\begin{cases} { 2 x + \sqrt { 3 } y + m = 0 } \\ { \dfrac { x ^ { 2 } } { 4 } + \dfrac { y ^ { 2 } } { 3 } = 1 } \end{cases}\)得\(25x^2+16mx+4m^2-36=0\)，
由\(∆=0\)得\(m=±5\)，
设直线\(2x+\sqrt3 y+m=0\)与直线\(2x+\sqrt3 y－9=0\)的距离为\(d\)，
当\(m=5\)时，\(d = \dfrac { 4 \sqrt { 7 } } { 7 }\)； 当\(m=-5\)时，\(d=2\sqrt7\).
椭圆\(\dfrac { x ^ { 2 } } { 4 } + \dfrac { y ^ { 2 } } { 3 } = 1\)上的点到直线\(2x+\sqrt3 y－9=0\)的距离的最大值为\(2\sqrt7\).
【点拨】通过观察，可知与直线\(l\)平行且与椭圆相切的直线与椭圆的切点即是取到最小距离的点，最小距离为两平行线的距离.
【方法二】代数法
【典题1】求点\(A(a ,0)\)到椭圆\(\dfrac { x ^ { 2 } } { 2 } + y ^ { 2 } = 1\)上的点之间的最短距离．
【解析】设椭圆\(\dfrac { x ^ { 2 } } { 2 } + y ^ { 2 } = 1\)上的点\(P(x ,y)\)，其中\(- \sqrt { 2 } \leq x \leq \sqrt { 2 }\)，
则\(P A ^ { 2 } = ( x - a ) ^ { 2 } + y ^ { 2 }\)\(= ( x - a ) ^ { 2 } + 1 - \dfrac { x ^ { 2 } } { 2 } = \dfrac { x ^ { 2 } } { 2 } - 2 a x + a ^ { 2 } + 1\)\({\color{Red}{ (曲线消元)}}\)
设\(f ( x ) = \dfrac { x ^ { 2 } } { 2 } - 2 a x + a ^ { 2 } + 1\)，\(- \sqrt { 2 } \leq x \leq \sqrt { 2 }\)，其对称轴为\(x=2a\)，
\({\color{Red}{(构造函数，问题转化为二次函数定区间动轴最值问题) }}\)
① 当\(2a<-\sqrt2\)，即\(a <- \dfrac { \sqrt { 2 } } { 2 }\)时，\(y=f(x)\)在\([ - \sqrt { 2 } , \sqrt { 2 } ]\)上递增，
则\(f ( x ) _ { m i n } = f ( - \sqrt { 2 } ) = a ^ { 2 } + 2 \sqrt { 2 } a + 2 = ( a + \sqrt { 2 } ) ^ { 2 }\)，
即\(PA\)的最小值为\(|a+\sqrt2|\)；
②当\(- \sqrt { 2 } \leq 2 a \leq \sqrt { 2 }\)，即\(- \dfrac { \sqrt { 2 } } { 2 } \leq a \leq \dfrac { \sqrt { 2 } } { 2 }\)时，\(y=f(x)\)在\([ - \sqrt { 2 } , \sqrt { 2 } ]\)上先递减再递增，
则\(f ( x ) _ { m i n } = f ( 2 a ) = 2 a ^ { 2 } - 4 a ^ { 2 } + a ^ { 2 } + 1 = 1 - a ^ { 2 }\)，
即\(PA\)的最小值为\(\sqrt { 1 - a ^ { 2 } }\)；
③当\(2 a \gt - \sqrt { 2 }\)，即\(a > - \dfrac { \sqrt { 2 } }{ 2 }\)时，\(y=f(x)\)在\([ - \sqrt { 2 } , \sqrt { 2 } ]\)上递减，
则\(f ( x ) _ { m i n } = f ( \sqrt { 2 } ) = a ^ { 2 } - 2 \sqrt { 2 } a + 2 = ( a - \sqrt { 2 } ) ^ { 2 }\)，
即\(PA\)的最小值为\(|a-\sqrt2|\)；
综上，当\(a <- \dfrac { \sqrt { 2 } } { 2 }\)时，\(PA\)的最小值为\(|a+\sqrt2|\)；
\(- \dfrac { \sqrt { 2 } } { 2 } \leq a \leq \dfrac { \sqrt { 2 } } { 2 }\)时，\(PA\)的最小值为\(\sqrt { 1 - a ^ { 2 } }\)；
\(a > - \dfrac { \sqrt { 2 } }{ 2 }\)时，\(PA\)的最小值为\(|a-\sqrt2|\)．
【点拨】
① 两点\(A、B\)距离\(AB\)往往用两点距离公式\(\sqrt { ( x _ { A } - x _ { B } ) ^ { 2 } + ( y _ { A } - y _ { B } ) ^ { 2 } }\)表示；
② 本题把求距离最值问题转化为函数的最值问题，函数问题优先讨论定义域\(x∈[-\sqrt2,\sqrt2]\)，函数含有参数\(a\)，则按照“二次函数动轴定区间最值问题”的解题套路根据对称轴\(x=2a\)与区间\([-\sqrt2,\sqrt2]\)的相对位置进行分类讨论；
③ 本题还是利用椭圆的参数方程\(\begin{cases} { x = a \cos \theta } \\ { y = b \sin \theta } \end{cases}\)，设椭圆上点\(P(\sqrt2 cosθ ,sinθ)\)，从而构造函数\(| P A | = \sqrt { \cos ^ { 2 } \theta - 2 \sqrt { 2 } a \cos \theta + a ^ { 2 } + 1 }\)进行分析，相当引入变量\(θ\)表示\(PA\)，而解析中是引入变量\(x\).
【典题2】已知椭圆\(C : \dfrac { x ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } + \dfrac { y ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } = 1 ( a \gt b \gt 0 )\)的左右焦点分别为\(F_1，F_2\)，左顶点为\(A\)，离心率为\(\dfrac { \sqrt { 2 } }{ 2 }\)，点\(B\)是椭圆上的动点，\(△ABF_1\)的面积的最大值为\(\dfrac { \sqrt { 2 } - 1 } { 2 }\)．
(1)求椭圆\(C\)的方程；
(2)设经过点\(F_1\)的直线\(l\)与椭圆\(C\)相交于不同的两点\(M，N\)，线段MN的中垂线为\(l'\)．若直线\(l'\)与直线\(l\)相交于点\(P\)，与直线\(x=2\)相交于点\(Q\)，求\(\dfrac { | P Q | } {| M N | }\)的最小值．
【解析】(1)过程略，椭圆\(C\)的方程为\(\dfrac { x ^ { 2 } } { 2 } + y ^ { 2 } = 1\)．
(2)\({\color{Red}{(采取代数法，思路很直接，引入变量表示\dfrac{|PQ|}{|MN|}再求其最值，而|PQ|,|MN|是线段，用两点距离公式和弦长公式求出，}}\)
\({\color{Red}{由于它们是由直线l引起，故该变量与直线方程有关)}}\)
由题意知直线\(l\)的斜率不为\(0\)，故设直线\(l\)的方程为\(x=my－1\)，
设\(M(x_1 ,y_1)\),\(N(x_2 ,y_2)\)\(,P(x_P ,y_P)\),\(Q(2 ,y_Q)\)．
联立\(\begin{cases} { x ^ { 2 } + 2 y ^ { 2 } = 2 } \\ { x = m y - 1 } \end{cases}\)，得\((m^2+2) y^2－2my－1=0\)．
此时\(△=8(m^2+1)>0\)．
\(∴y _ { 1 } + y _ { 2 } = \dfrac { 2 m } { m ^ { 2 } + 2 }\)，\(\quad y _ { 1 } y _ { 2 } = - \dfrac { 1 } { m ^ { 2 } + 2 }\)．
由弦长公式，得\(| M N | = \sqrt { 1 + m ^ { 2 } } | y _ { 1 } - y _ { 2 } |\)\(=\sqrt { 1 + m ^ { 2 } }\cdot \dfrac { \sqrt { 4 m ^ { 2 } + 4 m ^ { 2 } + 8 } } { m ^ { 2 } + 2 } = 2 \sqrt { 2 } \cdot \dfrac { m ^ { 2 } + 1 } { m ^ { 2 } + 2 }\)，
\({\color{Red}{(用m表示|MN|，弦长公式求得) }}\)
又\(y _ { p } = \dfrac { y _ { 1 } + y _ { 2 } } { 2 } = \dfrac { m } { m ^ { 2 } + 2 }\)，\(x _ { p } = m y _ { p } - 1 = \dfrac { - 2 } { m ^ { 2 } + 2 }\)．
\(∴ P ( \dfrac { - 2 } { m ^ { 2 } + 2 } , \dfrac { m } { m ^ { 2 } + 2 } )\)，
\(∵\)直线\(l\)与直线\(l'\)相互垂直，\(∴k_{PQ}\cdot k_l=-1\)
\(\dfrac { y_Q - \dfrac { m } { m ^ { 2 } + 2 } } { 2 + \dfrac { 2 } { m ^ { 2 } + 2 } } \cdot \dfrac { 1 } { m } = - 1 \Rightarrow y _ { Q } = - 2 m - \dfrac { m } { m ^ { 2 } + 2 }\),
即\(Q ( 2 , - 2 m - \dfrac { m } { m ^ { 2 } + 2 } )\)，
\(∴| P Q | = \sqrt { 1 + m ^ { 2 } } \cdot \dfrac { 2 m ^ { 2 } + 6 } { m ^ { 2 } + 2 }\)，
\(∴\dfrac { | P Q | } { | M N | } = \dfrac { 2 m ^ { 2 } + 6 } { 2 \sqrt { 2 } \sqrt { m ^ { 2 } + 1 } } = \dfrac { \sqrt { 2 } } { 2 } \cdot \dfrac { m ^ { 2 } + 3 } { \sqrt { m ^ { 2 } + 1 } }\)\(= \dfrac { \sqrt { 2 } } { 2 } ( \sqrt { m ^ { 2 } + 1 } + \dfrac { 2 } { \sqrt { m ^ { 2 } + 1 } } ) \geq 2\)，
当且仅当\(\sqrt { m ^ { 2 } + 1 } = \dfrac { 2 } { \sqrt { m ^ { 2 } + 1 } }\)，即\(m=±1\)时等号成立．
\(∴\)当\(m=±1\)，即直线\(l\)的斜率为\(±1\)时，\(\dfrac { | P Q | } {| M N | }\)取得最小值\(2\)．
【点拨】
① 本题中求\(\dfrac { | P Q | } {| M N | }\)的最小值，用代数法，则可把\(|PQ|、|MN|\)表示出来，\(|MN|\)用到了弦长公式，而\(|PQ|\)用两点距离公式，最后\(\dfrac { | P Q | } { | M N | } = \dfrac { \sqrt { 2 } } { 2 } \cdot \dfrac { m ^ { 2 } + 3 } { \sqrt { m ^ { 2 } + 1 } }\)，则问题就转化为求函数\(f ( m ) = \dfrac { \sqrt { 2 } } { 2 } \cdot \dfrac { m ^ { 2 } + 3 } { \sqrt { m ^ { 2 } + 1 } }\)的最小值，利用了基本不等式求解；
② 求\(|PQ|\)时，也可以\(| P Q | = \sqrt { 1 + m ^ { 2 } } | x _ { P } - 2 | = \sqrt { 1 + m ^ { 2 } } \cdot \dfrac { 2 m ^ { 2 } + 6 } { m ^ { 2 } + 2 }\).
【典题3】\(P\)是抛物线\(x^2=2y\)上的动点，过\(P(x_0 ,y_0)\)作圆\(x ^ { 2 } + ( y - 1 ) ^ { 2 } = 1\)的两条切线\(l_1，l_2\)交x轴于\(A，B\)两点，
(1)若两条切线\(l_1，l_2\)的斜率乘积为\(1\)，求\(P\)点的纵坐标；
(2)求当\(4<y_0<8\)时，\(△PAB\)面积的取值范围．
【解析】(1)设点直线\(PA ,PB\)的斜率分别为\(k_1 ,k_2\)，记\(P(x_0 ,y_0)\)
\(∴PA\)的方程：\(y－y_0=k_1 (x－x_0)\)，
则由直线\(l_1\)与圆相切得\(\dfrac { | y_0 - k _ { 1 } x _ { 0 } - 1 | } { \sqrt { 1 + k _ { 1 } ^ { 2 } } } = 1\)\(\Rightarrow ( x _ { 0 } ^ { 2 } - 1 ) k _ { 1 } ^ { 2 } + 2 x _ { 0 } ( 1 - y _ { 0 } ) k _ { 1 } + y _ { 0 } ^ { 2 } - 2 y _ { 0 } = 0\)
同理直线\(l_2\)与圆相切可得\(( x _ { 0 } ^ { 2 } - 1 ) k _ { 2 } ^ { 2 } + 2 x _ { 0 } ( 1 - y _ { 0 } ) k _ { 2 } + y _ { 0 } ^ { 2 } - 2 y _ { 0 } = 0\)
所以\(k_1 ,k_2\)是\((x_0^2-1) k^2+2x_0 (1-y_0 )k+y_0^2-2y_0=0\)的两根，
\(∴k _ { 1 } k _ { 2 } = \dfrac { y _ { 0 } ^ { 2 } - 2 y _ { 0 } } { x _ { 0 } ^ { 2 } - 1 }\)
又\(∵k_1 k_2=1\)．\(∴y_0^2-2y_0=x_0^2-1\)，
又\(x_0^2=2y_0\)，\(∴y_0^2-4y_0+1=0\)
\(∴y_0=2±\sqrt3\)．
(2)由(1)得\(x _ { A } = x _ { 0 } - \dfrac { y _ { 0 } } { k _ { 1 } }\)，\(x _ { B } = x _ { 0 } - \dfrac { y _ { 0 } } { k _ { 2 } }\)
\(S _ {\triangle P AB } = \dfrac { 1 } { 2 } | A B ||y_P| = \dfrac { 1 } { 2 } y_0^2 |\dfrac { 1 } { k _ { 1 } } - \dfrac { 1 } { k _ { 2 } }|=\dfrac { 1 } { 2 } y _ { 0 } ^ { 2 } | \dfrac { k _ { 2 } - k _ { 1 } } { k _ { 1 } k _ { 2 } } |\)
由(1)知：\(| k _ { 1 } k _ { 2 } | = | \dfrac { y _ { 0 } ^ { 2 } - 2 y _ { 0 } } { x _ { 0 } ^ { 2 } - 1 } |\)，
\(|k _ { 1 } - k _ { 2 } | = | \dfrac { 2\sqrt { y ^ { 2 } - 2 y _ { 0 } + x _ { 0 } ^ { 2 } } } { x _ { 0 } ^ { 2 } - 1 } |\)\(= | \dfrac { 2 \sqrt { y _ { 0 } ^ { 2 } } } { x _ { 0 } ^ { 2 } - 1 } |=| \dfrac { 2 y _ { 0 } } { x _ { 0 } ^ { 2 } - 1 } |\)；
\(S _ {\triangle P AB } = \dfrac { 1 } { 2 } y _ { 0 } ^ { 2 } | \dfrac { k _ { 2 } - k _ { 1 } } { k _ { 1 } k _ { 2 } } | = \dfrac { 1 } { 2 } y _ { 0 } ^ { 2 } | \dfrac { 2 y _ { 0 } } { y _ { 0 } ^ { 2 } - 2 y _ { 0 } } |\)\(= \dfrac { y _ { 0 } ^ { 2 } } { | y _ { 0 } - 2 | } = \dfrac { y _ { 0 } ^ { 2 } } { y _ { 0 } - 2 }\)，
故令\(t=y_0－2∈(2 ,6)\)，
所以\(S _ {\triangle P AB } = \dfrac { y _ { 0 } ^ { 2 } } { y _ { 0 } - 2 } = \dfrac { ( t + 2 ) ^ { 2 } } { t } = t + \dfrac { 4 } { t } + 4\)
\(f ( t ) = t + \dfrac { 4 } { t } + 4\)在\((2 ,6)\)上递增，故函数值域为\((8 ,\dfrac{32}{3})\)，
即\(△PAB\)面积的取值范围为\((8 ,\dfrac{32}{3})\)．
【点拨】
① 若\(x_1 、x_2\)满足\(ax_1^2+bx_2+c=0 ,ax_2^2+bx_2+c=0(a≠0)\)，则\(x_1 、x_2\)是一元二次方程\(ax^2+bx+c=0(a≠0)\)的两根；
② 本题求\(△PAB\)面积的取值范围，则先求出\(S _ {\triangle P AB } = \dfrac { y _ { 0 } ^ { 2 } } { y _ { 0 } - 2 }\)(本题给出了\(y_0\)的范围，用\(y_0\)作为变量表示面积很自然)，则问题就变成求函数\(f ( y _ { 0 } ) = \dfrac { y _ { 0 } ^ { 2 } } { y _ { 0 } - 2 }\)，\(y_0∈(4 ,8)\)的值域问题，用到了换元法与对勾函数\(f(t)=t+\dfrac{4}{t}\)的性质.
【典题4】如图，已知抛物线\(C：y^2=2px(p>0)\)，\(G\)为圆\(H:(x+2)^2+y^2=1\)上一动点，由\(G\)向\(C\)引切线，切点分别为\(E，F\)，当\(G\)点坐标为\((－1 ,0)\)时的面积为\(4\)．
(1)求\(C\)的方程；
(2)当点\(G\)在圆\(H:(x+2)^2+y^2=1\)上运动时，记\(k_1，k_2\)分别为切线\(GE，GF\)的斜率，求\(|\dfrac{1}{k_1} -\dfrac{1}{k_2}|\)的取值范围．
【解析】(1)设切线方程为\(y=k(x+1)\)，不妨设\(k>0\)．
联立\(\begin{cases} { y = k ( x + 1 ) } \\ { y ^ { 2 } = 2 p x } \end{cases}\)，化为\(k^2 x^2+(2k^2－2p)x+k^2=0\)
则\(△=(2k^2－2p)^2－4k^4=0\)，化为\(p=2k^2\)．
方程\(k^2 x^2+(2k^2－2p)x+k^2=0\)，
化为\((x－1)^2=0\)，解得\(x=1\)．
\(∴E(1 ,2k)\)，由对称性可知\(F(1,-2k)\)，
\(∵△GEF\)的面积为\(4\)，\(∴\dfrac{1}{2}×2×4k=4\)，解得\(k=1\)．
\(∴p=2\)．
\(∴C\)的方程为\(y^2=4x\)．
(2)设\(G(x_0 ,y_0)\),\((－3≤x_0≤－1)\)，则\(y_0^2=1-(x_0+2)^2\)．
设切线方程为\(y－y_0=k(x－x_0)\)，
联立\(\begin{cases} { y - y _ { 0 } = k ( x - x _ { 0 } ) } \\ { y ^ { 2 } = 4 x } \end{cases}\)，化为\(ky^2－4y+4(y_0－kx_0)=0\)
\(△_1=16－16k(y_0－kx_0)=0\)．
\(∴x_0 k^2－ky_0+1=0\)，\(∴k _ { 1 } + k _ { 2 } = \dfrac { y _ { 0 } } { x _ { 0 } }\)，\(k _ { 1 } k _ { 2 } = \dfrac { 1 } { x _ { 0 } }\)，
\(∴ | k _ { 1 } - k _ { 21 } | = \sqrt { ( k _ { 1 } + k _ { 2 } ) ^ { 2 } - 4 k _ { 1 } k _ { 2 } }\)\(=\sqrt { \dfrac { y _ { 0 } ^ { 2 } } { x _ 0^2 } - \dfrac { 4 } { x _ { 0 } } } = \dfrac { \sqrt { y _ { 0 } ^ { 2 } - 4 x _ { 0 } } } { | x _ { 0 } | }\)．
\(∴ | \dfrac { 1 } { k _ { 1 } } - \dfrac { 1 } { k _ { 2 } } | = \dfrac { | k _ { 1 } - k _ { 2 } | } { | k _ { 1 } k _ { 2 } | } = \sqrt { y _ { 0 } ^ { 2 } - 4 x _ { 0 } }\)
\(= \sqrt { 1 - ( x _ { 0 } + 2 ) ^ { 2 } - 4 x _ { 0 } } = \sqrt { - ( x _ { 0 } + 4 ) ^ { 2 } + 13 } \in [ 2 , 2 \sqrt { 3 } ]\).
\(∴|\dfrac{1}{k_1} -\dfrac{1}{k_2}|\)的取值范围是\([ 2 , 2 \sqrt { 3 } ]\)．
【点拨】理解到本题的变化源头在点\(G(x_0 ,y_0)\)，利用直线与抛物线相切把\(|\dfrac{1}{k_1} -\dfrac{1}{k_2}|\)用\(x_0 ,y_0\)表示，由于\(y _ { 0 } ^ { 2 } + ( x _ { 0 } + 2 ) ^ { 2 } = 1\)，想到消元\(y_0\)，得到\(| \dfrac { 1 } { k _ { 1 } } - \dfrac { 1 } { k _ { 2 } } | = \sqrt { - ( x _ { 0 } + 4 ) ^ { 2 } + 13 }\)，把问题转化为求函数\(f ( x _ { 0 } ) = \sqrt { - ( x _ { 0 } + 4 ) ^ { 2 } + 13 }\)的值域，注意到\(x_0\)的取值范围.
巩固练习
1(★★)已知抛物线\(y^2=4x\)的焦点为\(F\)，定点\(A(2 ,2)\)，在此抛物线上求一点\(P\)，使\(|PA|+|PF|\)最小，则\(P\)点坐标为( )
A．\((－2，2)\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) B．\((1，\sqrt2)\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\)C．\((1，2)\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\)D．\((1，－2)\)
2(★★)\(F\)是椭圆\(\dfrac { x ^ { 2 } } { 9 } + \dfrac { y ^ { 2 } } { 5 } = 1\)的左焦点，\(P\)是椭圆上的动点，\(A(1 ,1)\)为定点，则\(|PA|+|PF|\)的最小值是( )
A．$9-\sqrt2 \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) $ B．\(3+\sqrt2\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) C．\(6-\sqrt2\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) D．\(6+\sqrt2\)
3(★★)点\(P\)是双曲线\(\dfrac { x ^ { 2 } } { 4 } - y ^ { 2 } = 1\)的右支上一点,\(M、N\)分别是\(( x + \sqrt { 5 } ) ^ { 2 } + y ^ { 2 } = 1\)和\(( x -\sqrt { 5 } ) ^ { 2 } + y ^ { 2 } = 1\)上的点，则\(|PM|－|PN|\)的最大值是( )
A．\(2\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) B．\(4\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) C．\(6\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) D．\(8\)
4(★★★)【多选题】已知抛物线\(x^2=2py(p>0)\)的焦点为\(F\)，过点\(F\)的直线\(l\)交抛物线于\(A，B\)两点，以线段\(AB\)为直径的圆交\(x\)轴于\(M，N\)两点，设线段\(AB\)的中点为\(Q\)．若抛物线\(C\)上存在一点\(E(t ,2)\)到焦点\(F\)的距离等于\(3\)．则下列说法正确的是( )
A．抛物线的方程是\(x^2=2y\)
B．抛物线的准线是\(y=－1\)
C．\(sin∠QMN\)的最小值是\(\dfrac{1}{2}\)
D．线段\(AB\)的最小值是\(6\)
5(★★)设\(P ,Q\)分别为圆\(x^2+(y-6)^2=2\)和椭圆\(\dfrac { x ^ { 2 } } { 10 } + y ^ { 2 } = 1\)上的点，则\(P ,Q\)两点间的最大距离是\(\underline{\quad \quad }\)．
6(★★★)\(E、F\)是椭圆\(\dfrac { x ^ { 2 } } { 4 } + \dfrac { y ^ { 2 } } { 2 } = 1\)的左、右焦点，\(l\)是椭圆的准线,点\(P∈l\)，则\(∠EPF\)的最大值是 \(\underline{\quad \quad}\) ．
7(★★★)已知过抛物线\(C：y^2=4x\)焦点的直线交抛物线\(C\)于\(P,Q\)两点,交圆\(x^2+y^2－2x=0\)于\(M,N\)两点，其中\(P,M\)位于第一象限,则\(\dfrac { 1 } { | P M | } + \dfrac { 4 } { | Q N | }\)的最小值为\(\underline{\quad \quad }\)．
8(★★★)如图，抛物线\(C：x^2=2py(p>0)\)的焦点为\(F\)，以\(A(x_1 ,y_1)(x_1≥0)\)为直角顶点的等腰直角\(△ABC\)的三个顶点\(A，B，C\)均在抛物线\(C\)上．
(1)过\(Q(0 ,－3)\)作抛物线\(C\)的切线\(l\)，切点为\(R\)，点\(F\)到切线\(l\)的距离为\(2\)，求抛物线\(C\)的方程；
(2)求\(△ABC\)面积的最小值．
9(★★★★)已知抛物线\(C:y^2=2px(p>0)\)，焦点为\(F\)，直线\(l\)交抛物线\(C\)于\(A(x_1 ,y_1 )\)，\(B(x_2 ,y_2)\)两点，\(D(x_0 ,y_0)\)为\(AB\)的中点，且\(|AF|+|BF|=1+2x_0\)．
(1)求抛物线\(C\)的方程；
(2)若\(x_1 x_2+y_1 y_2=－1\)，求\(\dfrac { x _ { 0 } } { | A B | }\)的最小值．
参考答案
1.\(C\)
2.\(C\)
3.\(C\)
4.\(BC\)
5.\(6\sqrt2\)
6.\(\dfrac{π}{6}\)
7.\(4\)
8.\((1) x^2=4y \quad (2) 4p^2\)
9.\((1) y^2=2x \quad (2) \dfrac{\sqrt2}{4}\)
