专题 直线与圆锥曲线
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知识剖析
直线与圆锥曲线的位置关系
设直线\(l : A x + B y + C = 0\),圆锥曲线\(C : f ( x , y ) = 0\),把两者方程联立得到方程组,消元\(y(x)\)得到一个关于\(x(y)\)的方程\(a x ^ { 2 } + b x + c = 0 ( a y ^ { 2 } + b y + c = 0 )\).
①当\(a \neq 0\)时,
\(∆ \gt 0 \Leftrightarrow\)方程有两个不同的实数解,即直线与圆锥曲线有两个交点\(\Leftrightarrow\)相交;
\(∆ = 0 \Leftrightarrow\)方程有两个相同的实数解,即直线与圆锥曲线有一个交点\(\Leftrightarrow\)相切;
\(∆ < 0 \Leftrightarrow\)方程无实数解,即直线与圆锥曲线无交点\(\Leftrightarrow\)相离.
②当\(a = 0 , b \neq 0\)时,即得到一个一次方程,则直线\(l\)与圆锥曲线\(C\)相交,且只有一个交点,此时,若\(C\)为双曲线,则直线与双曲线的渐近线的位置关系是平行;若\(C\)为抛物线,则直线与抛物线的对称轴的位置关系是平行.
圆锥曲线中的弦长公式
直线\(y = k x + b\)与圆锥曲线相交于\(A ( x _ { 1 } , y _ { 1 } ) , B ( x _ { 2 } , y _ { 2 } )\),则
\(A B = \sqrt { 1 + k ^ { 2 } } \cdot | x _ { 1 } - x _ { 2 } | = \sqrt { 1 + k ^ { 2 } } \cdot \sqrt { ( x _ { 1 } + x _ { 2 } ) ^ { 2 } - 4 x _ { 1 } x _ { 2 } } = \sqrt { 1 + k ^ { 2 } } \cdot \dfrac { \sqrt { ∆ } } { | a | }\)
或
\(A B = \sqrt { 1 + \dfrac { 1 } { k ^ { 2 } } } \cdot | y _ { 1 } - y _ { 2 } | = \sqrt { 1 + \dfrac { 1 } { k ^ { 2 } } } \cdot \sqrt { ( y _ { 1 } + y _ { 2 } ) ^ { 2 } - 4 y _ { 1 } y _ { 2 } } = \sqrt { 1 + \dfrac { 1 } { k ^ { 2 } } } \cdot \dfrac { \sqrt { ∆ } } { | a | }\),
(\(∆ = b ^ { 2 } - 4 a c\),注意对公式推导的理解,其本质是两点距离公式)
(注意对公式推导的理解)
抛物线的焦点弦长\(| A B | = x _ { 1 } + x _ { 2 } + p = \dfrac { 2 p } { \sin ^ { 2 } \theta }\),
\(\theta\)为弦\(AB\)所在直线的倾斜角.
点差法
① 涉及到中点弦问题可用点差法求解,在处理双曲线的中点弦问题要注意检验!
②“点差法”的常见题型:求中点弦方程、求(过定点、平行弦)弦中点轨迹、垂直平分线问题.
经典例题
【题型一】直线与圆锥曲线的位置关系
【典题1】 不论\(k\)为何值,直线\(y=kx+1\)与椭圆\(\dfrac{x^2}{7}+\dfrac{y^2}{m}=1\)有公共点,则实数\(m\)的范围是\(\underline{\quad \quad}\) .
【解析】\({\color{Red}{ 方法一}}\)
把直线\(y=kx+1\)代入椭圆\(\dfrac{x^2}{7}+\dfrac{y^2}{m}=1\),
化为\((m+7k^2 ) x^2+14kx+7-7m=0\),
其中\(m≠7,m>0\)\({\color{Red}{(注意这个坑) }}\)
\(∵\)直线\(y=kx+1\)与椭圆\(\dfrac{x^2}{7}+\dfrac{y^2}{m}=1\)有公共点,
\(∴m+7k^2≠0\),\(△=(14k)^2-4(m+7k^2)(7-7m)≥0\)恒成立.
化为\(1-m≤7k^2\).上式对于任意实数\(k\)都成立,\(∴1-m≤0\),解得\(m≥1\).
\(∴\)实数\(m\)的范围是\([1,7)∪(7,+∞)\).
\({\color{Red}{方法二 }}\)
从所给含参直线\(y=kx+1\)入手可知直线过定点\((0,1)\),
所以若过定点的直线均与椭圆有公共点,则该点位于椭圆的内部或椭圆上,
所以代入\((0,1)\)后\(\dfrac{x^2}{7}+\dfrac{y^2}{m} \leq 1\),即\(\dfrac{1}{m^2} \leq1⇒m≥1\),
因为是椭圆,所以\(m≠7\),
故\(m\)的取值范围是\([1,7)∪(7,+∞)\).
【点拨】判断直线与圆锥曲线的位置关系,通法是联立直线方程与圆锥曲线方程,确定判别式与\(0\)的大小关系;也可以通过几何的方法,若直线过圆锥曲线内一点则它们肯定相交.
【典题2】 若过点\(P(0,1)\)的直线\(l\)与双曲线\(E:x^2-y^2=1\)的右支相交于不同两点,则直线\(l\)斜率的取值范围为( )
A.\((1,\sqrt2)\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\)B.\([-\sqrt2,-1]\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\)C.\([1,\sqrt2]\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\)D.\((-\sqrt2,-1)\)
【解析】\({\color{Red}{(注意“右支”的限制) }}\)
由题意可得直线\(l\)斜率存在,设直线\(l\)的方程为\(y=kx+1\),
设交点\(A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)\),
联立\(\begin{cases} { y = k x + 1 } \\ { x ^ { 2 } - y ^ { 2 } = 1 } \end{cases}\),可得\((1-k^2 ) x^2-2kx-2=0\),
由题意可得\(\begin{cases} { 1 - k ^ { 2 } \neq 0 } \\ { △= 4 k ^ { 2 } + 8 ( 1 - k ^ { 2 } ) \gt 0 } \\ { x _ { 1 } + x _ { 2 } = \dfrac { 2 k } { 1 - k ^ { 2 } } \gt 0 } \\ { x _ { 1 } x _ { 2 } = \dfrac { - 2 } { 1 - k ^ { 2 } } \gt 0 } \end{cases}\),解得:\(-\sqrt2<k<-1\),
故选:\(D\).
【点拨】
① 当直线与双曲线左支交于两点\(⇒x_1+x_2<0,x_1 x_2>0\);
当直线与双曲线右支交于两点\(⇒x_1+x_2>0,x_1 x_2>0\).
② 注意二次项系数不为\(0\),若\(1-k^2=0⇒k=±1\),则方程为一元一次方程,只有一个解,从图象来看\(k=±1\)与渐近线斜率相等,也可知只有一个交点.
③本题是选择题,从几何的角度也可很快选到\(D\).
【典题3】 已知双曲线\(x^2-\dfrac{y^2}{4}=1\),过点\(P(1,1)\)的直线\(l\)与双曲线只有一个公共点,求直线\(l\)的方程.
【解析】双曲线\(x^2-\dfrac{y^2}{4}=1\)的渐近线方程为\(y=±2x\),
①直线\(x=1\)与双曲线只有一个公共点;\({\color{Red}{ (直线斜率不存在)}}\)
②过点\(P (1,1)\)平行于渐近线\(y=±2x\)时,直线\(l\)与双曲线只有一个公共点,
方程为\(y-1=±2(x-1)\),即\(2x-y-1=0\)或\(2x+y-3=0\);
③设过\(P\)的直线方程为\(y-1=k(x-1) (k≠±2)\)
由\(\begin{cases} { y - 1 = k ( x - 1 ) } \\ { x ^ { 2 } - \dfrac { y ^ { 2 } } { 4 } = 1 } \end{cases}\)
得\((4-k^2 ) x^2+(2k^2-2k)x-k^2+2k-5=0\)
只有一个交点,即\(△=0\),解得\(k=\dfrac{5}{2}\),
此时直线方程为\(y=\dfrac{5}{2} x-\dfrac{3}{2}\),即\(5x-2y-3=0\).
故直线\(l\)的方程为\(x=1\)或\(2x-y-1=0\)或\(2x+y-3=0\)或\(5x-2y-3=0\).
【点拨】从几何的角度看,直线与双曲线\(\dfrac { x ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } - \dfrac { y ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } = 1\)的位置关系与渐近线\(y=\dfrac{b}{a} x\)有关,
(1) 当点\(P\)在双曲线上或内,
当\(k=\dfrac{b}{a}\)或\(k=-\dfrac{b}{a}\)时,只有\(1\)个交点;
当\(k≠±\dfrac{b}{a}\)时,只有\(2\)个交点;
(2) 当点\(P\)在双曲线外,
当\(k=\dfrac{b}{a}\)或\(k=-\dfrac{b}{a}\)时,只有\(0\)或\(1\)个交点;
当\(k>\dfrac{b}{a}\)或\(k<-\dfrac{b}{a}\)时,只有\(0\)或\(2\)个交点;
当\(0<k<\dfrac{b}{a}\)或\(-\dfrac{b}{a}<k<0\)时,只有\(2\)个交点.
做题时注意特殊情况:斜率\(k\)不存在的直线.
【典题4】 椭圆\(\dfrac{x^2}{4}+\dfrac{y^2}{3}=1\)上的点到直线\(2x+\sqrt3y-9=0\)的距离的最大值为( )
A.\(2\sqrt7\) B.\(\dfrac{4\sqrt7}{7}\) C.\(\dfrac{2\sqrt7}{7}\) D.\(\sqrt7\)
【解析】\({\color{Red}{ 方法一 几何法}}\)
设与直线\(2x+\sqrt3y-9=0\)平行的直线\(2x+\sqrt3 y+m=0\)与椭圆\(\dfrac{x^2}{4}+\dfrac{y^2}{3}=1\)相切,
由\(\begin{cases} { 2 x + \sqrt { 3 } y + m = 0 } \\ { \dfrac { x ^ { 2 } } { 4 } + \dfrac { y ^ { 2 } } { 3 } = 1 } \end{cases}\),
得\(25x^2+16mx+4m^2-36=0\),
由\(∆=0\)得\(m=±5\),
设直线\(2x+\sqrt3 y+m=0\)与直线\(2x+\sqrt3y-9=0\)的距离为\(d\),
当\(m=5\)时,\(d=\dfrac{4\sqrt7}{7}\);当\(m=-5\)时,\(d=2\sqrt7\).
椭圆\(\dfrac{x^2}{4}+\dfrac{y^2}{3}=1\)上的点到直线\(2x+\sqrt3y-9=0\)的距离的最大值为\(2\sqrt7\).
\({\color{Red}{方法二 函数法 }}\)
椭圆\(\dfrac{x^2}{4}+\dfrac{y^2}{3}=1\)的参数方程为\(\begin{cases} { x = 2 cos \theta } \\ { y = \sqrt { 3 } sin \theta } \end{cases}\),\(θ\)为参数,
设椭圆上的动点\(P(2cosθ, \sqrt3 sinθ)\),
则点\(P\)到直线\(2x+\sqrt3y-9=0\)距离
\(d = \dfrac { | 4 \cos \theta + 3 \sin \theta - 9 | } { \sqrt { 4 + 3 } }\)\(= \dfrac { |5 \sin ( \theta + \alpha ) - 9 | } { \sqrt { 7 } } \leq \dfrac { 14 } { \sqrt { 7 } } = 2 \sqrt { 7 }\),其中\(tanα=\dfrac{4}{3}\),
\(∴ d _ { m a x } = 2 \sqrt { 7 }\).
故选:\(A\).
【点拨】
① 几何法,圆锥曲线\(C\)上的点到与\(C\)相离直线\(l\)最短距离等于直线\(l\)与其一平行且相切\(C\)的直线\(l_1\)距离;
② 函数法,利用了椭圆\(\dfrac { x ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } + \dfrac { y ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } = 1\)的参数方程\(\begin{cases} { x = a \cos \theta } \\ { y = b \sin \theta } \end{cases}\).
巩固练习
1(★)直线\(y=kx+1\)和曲线\(2x^2+3y^2=6\)的位置关系为\(\underline{\quad \quad}\).
2(★) 双曲线\(x^2-y^2=1\)与直线\(x-y=1\)交点的个数为\(\underline{\quad \quad}\).
3(★★) 直线\(y=kx(k>0)\)与双曲线\(\dfrac{x^2}{2}-\dfrac{y^2}{6}=1\)没有交点,则\(k\)的取值范围为 \(\underline{\quad \quad}\) .
4(★★) 已知点\(P\)在直线\(y=x-1\)上,点\(Q\)在曲线\(x^2=2y\)上,则\(|PQ|\)的最小值为\(\underline{\quad \quad}\).
5(★★) 椭圆\(C: \dfrac { x ^ { 2 } } { 9 } + \dfrac { y ^ { 2 } } { 4 } = 1\)上的点\(P\)到直线\(l:4x+3y+18=0\)的距离的最小值为\(\underline{\quad \quad}\).
参考答案
- 相交
- \(1\)
- \([\sqrt3,+∞)\)
- \(\dfrac{\sqrt2}{4}\)
- \(\dfrac { 18 - 6 \sqrt { 5 } } { 5 }\)
【题型二】直线与圆锥曲线的弦长问题
【典题1】 已知椭圆\(C : \dfrac { x ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } + \dfrac { y ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } = 1 ( a \gt b \gt 0 )\)的离心率为\(\dfrac { \sqrt { 2 } } { 2 }\),且经过点\((\sqrt2,1)\),直线\(l\)经过\(P(0,1)\),且与椭圆\(C\)相交于\(A、B\)两点.
(1)求椭圆\(C\)的标准方程;(2)当\(AB=3\),求此时直线\(l\)的方程.
【解析】(1)过程略,椭圆方程为\(\dfrac { x ^ { 2 } } { 4 } + \dfrac { y ^ { 2 } } { 2 } = 1\);
(2)当直线\(l\)的斜率不存在时,即直线\(l\)的方程\(x=0\),
\({\color{Red}{ (设直线方程前注意是否存在斜率)}}\)
此时\(AB=2b=2\sqrt2≠3\),
\(∴\)直线\(AB\)的斜率存在,
不妨设直线\(l\)的方程为\(y=kx+1\),设\(A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)\),
联立方程组可得\(\begin{cases} { y = k x + 1 } \\ { x ^ { 2 } + 2 y ^ { 2 } = 4 } \end{cases}\),消\(y\)可得\((1+2k^2 ) x^2+4kx-2=0\),
其判别式\(∆=8+32k^2>0\),
\({\color{Red}{(直线经过的点P在椭圆内,一定有∆>0,即k∈R;若点P在椭圆外要注意分析判别式∆) }}\)
\(∴x_1+x_2=-\dfrac{4k}{1+2k^2},x_1 x_2=-\dfrac{2}{1+2k^2}\),
\(∴ | A B | = \sqrt { 1 + k ^ { 2 } } \cdot \sqrt { ( x _ { 1 } + x _ { 2 } ) ^ { 2 } - 4 x _ { 1 } x _ { 2 } } = \sqrt { 1 + k ^ { 2 } } \cdot \sqrt { ( - \dfrac { 4 k } { 1 + 2 k ^ { 2 } } ) ^ { 2 } + \dfrac { 8 } { 1 + 2 k ^ { 2 } } }\)
\(= \sqrt { 1 + k ^ { 2 } } \cdot \sqrt { \dfrac { 8 + 32 k ^ { 2 } } { ( 1 + 2 k ^ { 2 } ) ^ { 2 } } } = 3\)
\({\color{Red}{(这里运算量较大,若|AB|=\sqrt{1+k^2}\cdot \dfrac{\sqrt∆}{|a|} =\sqrt{1+k^2}\cdot \dfrac{\sqrt{8+32k^2}}{1+2k^2}就简单多了) }}\)
整理可得\(4k^4-4k^2+1=0\),解得\(k^2=\dfrac{1}{2}\),即\(k=± \dfrac { \sqrt { 2 } } { 2 }\),
此时直线方程为\(y=\dfrac { \sqrt { 2 } } { 2 } x+1\)或\(y=-\dfrac { \sqrt { 2 } } { 2 } x+1\).
【点拨】弦长公式
\(A B = \sqrt { 1 + k ^ { 2 } } \cdot | x _ { 1 } - x _ { 2 } | = \sqrt { 1 + k ^ { 2 } } \cdot \sqrt { ( x _ { 1 } + x _ { 2 } ) ^ { 2 } - 4 x _ { 1 } x _ { 2 } } = \sqrt { 1 + k ^ { 2 } } \cdot \dfrac { \sqrt { ∆ } } { | a | }\),
弦长公式有三条等式,根据题意进行选择,一般用\(A B = \sqrt { 1 + k ^ { 2 } } \cdot \dfrac { \sqrt { ∆ } } { | a | }\)计算量较小.
【典题2】设离心率为\(3\),实轴长为\(1\)的双曲线\(\dfrac { x ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } - \dfrac { y ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } = 1 ( a \gt b \gt 0 )\)的左焦点为\(F\),顶点在原点的抛物线\(C\)的准线经过点\(F\),且抛物线\(C\)的焦点在\(x\)轴上.
(1)求抛物线\(C\)的方程;
(2)若直线\(l\)与抛物线\(C\)交于不同的两点\(M,N\),且满足\(OM⊥ON\),求\(|MN|\)的最小值.
【解析】(1)过程略,抛物线\(C\)的方程\(y^2=6x\);
(2)设直线\(l\)的方程为\(x=my+t\),设点\(M(x_1,y_1)、N(x_2,y_2)\),
将直线\(l\)的方程与抛物线\(C\)的方程联立\(\begin{cases} { x = m y + t } \\ { y ^ { 2 } = 6 x } \end{cases}\),得\(y^2-6my-6t=0\),
由韦达定理得\(y_1+y_2=6m,y_1 y_2=-6t\),
\(∵OM⊥ON\),
\(∴k_{OM}⋅k_{ON}=\dfrac{y_1}{x_1}\cdot \dfrac{y_2}{x_2}=\dfrac{y_1 y_2}{x_1x_2}=-1\)
\({\color{Red}{ (\overrightarrow{OM} \cdot \overrightarrow{ON}=0也行)}}\)
因为点\(M,N\)在抛物线上,所以\(x _ { 1 } = \dfrac { y _ { 1 } ^ { 2 } } { 6 } , x _ { 2 } = \dfrac { y _ { 2 } ^ { 2 } } { 6 }\),
则\(\dfrac { y _ { 1 } y _ { 2 } } { x _ { 2 } x _ { 2 } } = - 1 \Rightarrow \dfrac { 36 } { y _ { 1 } y _ { 2 } } = - \dfrac { 36 } { 6 t } = - 1\),即\(t=6\),
\({\color{Red}{ (\dfrac { y _ { 1 } y _ { 2 } } { x _ { 1 } x _ { 2 } } = - 1 用“曲线代换”消去x_1 x_2,比“直线代换”x_1 x_2=(my_1+t)(my_1+t)简便) }}\)
由\(△=36m^2+144>0\)恒成立,
则|\(| M N | = \sqrt { 1 + m ^ { 2 } } \sqrt { ( y _ { 1 } + y _ { 2 } ) ^ { 2 } - 4 y _ { 1 } y _ { 2 } }\)\(= \sqrt { 1 + m ^ { 2 } } \cdot \sqrt { 36 m ^ { 2 } + 144 }\)\(= 6 \sqrt { ( 1 + m ^ { 2 } ) ( 4 + m ^ { 2 } ) } \geq 12\),
\({\color{Red}{(其中m与直线斜率k的关系是 m = \dfrac { 1 } { k }) }}\)
当且仅当\(m=0\)时,\(|MN|\)取得最小值\(12\).
【点拨】
①直线与抛物线\(y^2=2px\)的联立,常用\(x=my+t\),比起\(y=kx+b\)计算量少些!
②在处理类似\(“\dfrac { y _ { 1 } y _ { 2 } } { x _ { 1 } x _ { 2 } } = - 1 ”\)同含\(x,y\)的“韦达式”,注意“直线代换”和“曲线代换”的选取.
【典题3】在平面直角坐标系\(xOy\)中,已知点\(F _ { 1 } ( - \sqrt { 17 } , 0 ) , F _ { 2 } ( \sqrt { 17 } , 0 )\),点\(M\)满足
\(|MF_1 |﹣|MF_2 |=2\).记\(M\)的轨迹为\(C\).
(1)求\(C\)的方程;
(2)设点\(T\)在直线\(x = \dfrac { 1 } { 2 }\)上,过\(T\)的两条直线分别交\(C\)于\(A,B\)两点和\(P,Q\)两点,
且\(|TA|\cdot|TB|=|TP|\cdot|TQ|\),求直线\(AB\)的斜率与直线\(PQ\)的斜率之和.
【解析】(1)过程略,\(C\)的方程\(x ^ { 2 } - \dfrac { y ^ { 2 } } { 16 } = 1 ( x \geq 1 )\);
(2)
设\(T ( \dfrac { 1 } { 2 } , t )\),直线\(AB\)的方程为\(y = k _ { 1 } ( x - \dfrac { 1 } { 2 } ) + t\),
\(A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)\),设\(x _ { 2 }> x _ {1 }≥1\),
将直线\(AB\)方程代入\(C\)的方程化简并整理可得
\((16-k_1^2)x^2+(k_1^2-2tk_1)x-\dfrac{1}{4} k_1^2+k_1 t-t^2-16=0\),
由韦达定理有,
\(x _ { 1 } + x _ { 2 } = \dfrac { k _ { 1 } ^ { 2 } - 2 k _ { 1 } t } { k _ { 1 } ^ { 2 } - 16 } , x _ { 1 } x _ { 2 } = \dfrac { - \dfrac { 1 } { 4 } k _ { 1 } ^ { 2 } + k _ { 1 } t - t ^ { 2 } - 16 } { 16 - k _ 1^2}\),
所以\(| A T | \cdot | B T | =[\sqrt { 1 + k _ { 1 } ^ { 2 } } ( x _ { 1 } - \dfrac { 1 } { 2 } ) ]\cdot[\sqrt { 1 + k _ { 1 } ^ { 2 } } ( x _ { 2 } - \dfrac { 1 } { 2 } )]\)
\(= ( 1 + k _ { 1 } ^ { 2 } ) ( x _ { 1 } - \dfrac { 1 } { 2 } ) ( x _ { 2 } - \dfrac { 1 } { 2 } ) = \dfrac { ( 1 + k _ { 1 } ^ { 2 } ) ( t ^ { 2 } + 12 ) } { k _ { 1 } ^ { 2 } - 16 }\),
\({\color{Red}{(利用弦长公式 A B = \sqrt { 1 + k ^ { 2 } } \cdot | x _ { 1 } - x _ { 2 }| ) }}\)
设直线\(PQ\)的方程为\(y = k _ { 2 } ( x - \dfrac { 1 } { 2 } ) + t\),\(P(x_3,y_3),Q(x_4,y_4)\),设\(x_4>x_3≥1\),
同理可得\(| P T | \cdot| Q T | = \dfrac { ( 1 + k_2 ^ { 2 } ) ( t ^ { 2 } + 12 ) } { k _ { 2 } ^ { 2 } - 16 }\),
又\(|TA|\cdot|TB|=|TP|\cdot|TQ|\),则\(\dfrac { 1 + k _ { 1 } ^ { 2 } } { k _ { 1 } ^ { 2 } - 16 } = \dfrac { 1 + k _ { 2 } ^ { 2 } } { k _ { 2 } ^ { 2 } - 16 }\),
化简可得\(k_1^2=k_2^2\),
又\(k_1≠k_2\),则\(k_1=-k_2\),即\(k_1+k_2=0\),
即直线\(AB\)的斜率与直线\(PQ\)的斜率之和为\(0\).
【点拨】本题还有很多其他的解法,该解法计算量较大,但思路较直接,题中\(|TA|,|TB|,|TP|,
|TQ|\)四条线段均可理解为“弦长”,最后用\(“k_1,k_2,t"\)表示出来,而最后只需要证明\(k_1,+k_2=0\)便可!
【典题4】如图,在平面直角坐标系\(xoy\)中,已知椭圆\(C _ { 1 } : \dfrac { x ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } + \dfrac { y ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } = 1\)和椭圆\(C _ { 2 } : \dfrac { x ^ { 2 } } { c ^ { 2 } } + \dfrac { y ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } =1\),其中\(a>c>b>0\),\(a^2=b^2+c^2\),\(C_1,C_2\)的离心率分别为\(e_1,e_2\),且满足\(e_1:e_2=2:\sqrt3\),\(A,B\)分别是椭圆\(C_2\)的右、下顶点,直线\(AB\)与椭圆\(C_1\)的另一个交点为\(P\),且\(P B = \dfrac { 18 } { 5 }\).
(1)求椭圆\(C_1\)的方程;(2)与椭圆\(C_2\)相切的直线\(MN\)交椭圆\(C_1\)与点\(M,N\),求\(MN\)的最大值.
【解析】(1)由题意知\(e _ { 1 } = \dfrac { c } { a }\),\(e _ { 2 } = \dfrac { \sqrt { c ^ { 2 } - b ^ { 2 } } } { c } = \dfrac { \sqrt { 2 c ^ { 2 } - a ^ { 2 } } } { c }\),
因为\(e_1:e_2=2:\sqrt3\),所以\(\sqrt { 3 } \cdot \dfrac { c } { a } = 2 \cdot \dfrac { \sqrt { 2 c ^ { 2 } - a ^ { 2 } } } { c }\),化简得\(a ^ { 2 } = \dfrac { 3 } { 2 } c ^ { 2 }\),
又\(a^2=b^2+c^2\),所以\(a = \sqrt { 3 } b , c = \sqrt { 2 } b\),所以\(A ( \sqrt { 2 } b , 0 ) , B ( 0 , - b )\),
所以直线\(AB\)的方程为\(y = \dfrac { \sqrt { 2 } } { 2 } x - b\),
与椭圆\(C _ { 1 } : \dfrac { x ^ { 2 } } { 3 b ^ { 2 } } + \dfrac { y ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } = 1\)联立并消去\(y\),得\(x^2+3(\dfrac{\sqrt2}{2}x-b)^2=3b^2\),
整理得\(x _ { 1 } = 0 , x _ { 2 } = \dfrac { 6 \sqrt { 2 } } { 5 } b\),所以\(P ( \dfrac { 6 \sqrt { 2 } b} { 5 } , \dfrac { b } { 5 } )\),
因为\(P B = \dfrac { 18 } { 5 }\),所以\(\sqrt { ( \dfrac { 6 \sqrt { 2 } } { 5 } b - 0 ) ^ { 2 } + ( \dfrac { b } { 5 } + b ) ^ { 2 } } = \dfrac { 18 } { 5 }\),得\(b=\sqrt3\),所以\(a=3\),
\({\color{Red}{(PB用两点距离公式便可) }}\)
所以椭圆\(C_1\)的方程为\(\dfrac { x ^ { 2 } } { 9 } + \dfrac { y ^ { 2 } } { 3 } = 1\)
(2)① 当直线\(MN\)的斜率不存在时,易得\(MN=2.\)
② 当直线\(MN\)的斜率存在时,设直线\(MN:y=kx+m(k≠0)\),
与椭圆\(C _ { 2 } : \dfrac { x ^ { 2 } } { 6 } + \dfrac { y ^ { 2 } } { 3 } = 1\)联立并消去\(y\),得\((1+2k^2 ) x^2+4knx+2m^2-6=0\),
因为直线\(MN\)与椭圆\(C_2\)相切,所以\(∆=16k^2 m^2-4(1+2k^2 )(2m^2-6)=0\),
整理得\(6k^2+3-m^2=0 (*)\),
将直线\(MN\)与椭圆\(C_1\)方程联立并消去\(y\),得\((1+3k^2 ) x^2+6kmx+3m^2-9=0\),
由\((*)\)式可得\(∆=36k^2 m^2-4(1+3k^2 )(3m^2-9)=12(9k^2+3-m^2 )=36k^2\).
设\(M(x_M,y_M ),N(x_N,y_N)\),则\(x _ { M } + x _ { N } = - \dfrac { 6 k m } { 1 + 3 k ^ { 2 } } , x _ { M } x _ { N } = \dfrac { 3 m ^ { 2 } - 9 } { 1 + 3 k ^ { 2 } }\),
所以\(M N = \sqrt { 1 + k ^ { 2 } } | x _ { M } - x _ { N } |\)\(= \sqrt { 1 + k ^ { 2 } } \cdot \dfrac { \sqrt { 36 k ^ { 2 } } } { 1 + 3 k ^ { 2 } } =6 \sqrt { \dfrac { k^4 + k ^ { 2 } } { ( 1 + 3 k ^ { 2 } ) ^ { 2 } } }\),
\({\color{Red}{(换元法处理函数f ( x ) = \dfrac { a _ { 1 } x ^ { 2 } + b _ { 1 } x + c _ { 1 } } { a _ { 2 } x ^ { 2 } + b _ { 2 } x + c _ { 2 } }最值) }}\)
设\(t=1+3k^2\),则\(t>1\),\(M N = 6 \sqrt { \dfrac { t ^ { 2 } + t - 2 } { 9 t ^ { 2 } } } = 2 \sqrt { - 2 ( \dfrac { 1 } { t } - \dfrac { 1 } { 4 } ) ^ { 2 } + \dfrac { 9 } { 8 } } \leq \dfrac { 3 \sqrt { 2 } } { 2 }\),
综上所述,当\(t=4\),即\(k=±1\)时,\(MN\)最大,且最大值为\(\dfrac { 3 \sqrt { 2 } } { 2 }\).
巩固练习
1(★★)设\(F\)为拋物线\(C:y^2=4x\)的焦点,其准线\(l\)与\(x\)轴的交点为\(M\),过点\(F\)且倾斜角为\(60°\)的直线交拋物线\(C\)于\(A,B\)两点,则\(△AMB\)的面积为\(\underline{\quad \quad}\).
2(★★) 已知抛物线\(C:x^2=-2py(p>0)\)的焦点\(F\)与\(\dfrac { y ^ { 2 } } { 8 } + \dfrac { x ^ { 2 } } { 4 } = 1\)的一个焦点重合,过焦点\(F\)的直线与交\(C\)于\(A,B\)两不同点,抛物线\(C\)在\(A,B\)两点处的切线相交于点\(M\),且\(M\)的横坐标为\(2\),则弦长\(AB=\)______.
3(★★) 椭圆\(C : \dfrac { x ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } + \dfrac { y ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } = 1 ( a \gt b \gt 0 )\)的左、右焦点分别是\(F _ { 1 } , F _ { 2 }\),斜率为\(\dfrac{1}{2}\)的直线\(l\)过左焦点\(F_1\)且交\(C\)于\(A,B\)两点,且\(∆ABF_2\)的内切圆的周长是\(2π\),若椭圆的离心率为\(e\in[ \dfrac { 1 } { 2 } , \dfrac { 3 } { 4 } ]\),则线段\(AB\)的长度的取值范围是\(\underline{\quad \quad}\)
4(★★★) 已知\(P\)为椭圆\(\dfrac { x ^ { 2 } } { 16 } + \dfrac { y ^ { 2 } } { 4 } = 1\)上的一个动点,过点\(P\)作圆\(( x - 1 ) ^ { 2 } + y ^ { 2 } = 1\)的两条切线,切点分别是\(A,B\),则\(AB\)的最小值为\(\underline{\quad \quad}\).
5(★★)已知\(F(\sqrt3,0)\)椭圆\(C:\dfrac { x ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } + \dfrac { y ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } = 1 ( a \gt b \gt 0 )\)的右焦点,且点\(A(2,0)\)在椭圆上.
(1)求椭圆\(C\)的标准方程:
(2)过点\(F\)且斜率为\(1\)的直线与椭圆\(C\)相交于\(M,N\)两点,求线段\(MN\)的长度.
6(★★★) 已知椭圆\(E: \dfrac { x ^ { 2 } } { 4 } - \dfrac { y ^ { 2 } } { 2 } = 1\),过点\(P(1,1)\)作倾斜角互补的两条不同直线\(l_1,l_2\),设\(l_1\)与椭圆\(E\)交于\(A,B\)两点,\(l_2\)与椭圆\(E\)交于\(C,D\)两点。
(1) 若\(P(1,1)\)为线段\(AB\)的中点,求直线\(AB\)的方程;
(2)记\(\lambda = \dfrac { A B } { C D }\),求\(\lambda\)的取值范围.
参考答案
1.\(\dfrac { 8 \sqrt { 3 } } { 3 }\)
2.\(10\)
3.\([ \dfrac { 8 \sqrt { 5 } } { 3 } , 4 \sqrt { 5 } ]\)
4.\(\dfrac { 4 \sqrt { 22 } } { 11 }\)
5.\(( 1 ) \dfrac { x ^ { 2 } } { 4 } + y ^ { 2 } = 1 \quad ( 2 ) \dfrac { 8 } { 5 }\)
6.\((1) x+2y﹣3=0 \quad (2)[\dfrac{\sqrt6-\sqrt2}{2}, 1 )\cup ( 1 , \dfrac{\sqrt6+\sqrt2}{2}]\)
【题型三】中点弦
【典题1】 过椭圆\(\dfrac{x^2}{16}+\dfrac{y^2}{4}=1\)内一点\(M(2,1)\)引一条弦,使弦被点\(M\)平分,求这条弦所在的直线方程.
【解析】 \({\color{Red}{方法一 }}\) 若所求直线的斜率不存在,由椭圆的对称性可知点M不可能是弦的中点,
故可设所求直线方程为\(y-1=k(x-2)\),代入椭圆方程并整理得:
\((4k^2+1) x^2-8(2k^2-k)x+4(2k-1)^2-16=0\)
设直线与椭圆的交点为\(A(x_1,y_1 )、B(x_2,y_2)\),
于是\(x_1+x_2= \dfrac { 8 ( 2 k ^ { 2 } - k ) } { 4 k ^ { 2 } + 1 }\),
又\(M\)为\(AB\)的中点,
所以\(\dfrac { x _ { 1 } + x _ { 2 } } { 2 } = \dfrac { 4 ( 2 k ^ { 2 } - k ) } { 4 k ^ { 2 } + 1 } = 2\),解得\(k = - \dfrac { 1 } { 2 }\),
故所求直线方程为\(x+2y-4=0.\)
\({\color{Red}{ 方法二}}\) 设直线与椭圆的交点为\(A(x_1,y_1 )、B(x_2,y_2),\)
因为\(M(2,1)\)为\(AB\)的中点,
所以\(x_1+x_2=4,y_1+y_2=2\),
又\(A、B\)两点在椭圆上,则\(x_1^2+4y_1^2=16, x_2^2+4y_2^2=16\),
两式相减得\((x_1^2-x_2^2 )+4(y_1^2-y_2^2 )=0\),
所以\(\dfrac { y _ { 1 } - y _ { 2 } } { x _ { 1 } - x _ { 2 } } = - \dfrac { x _ { 1 } + x _ { 2 } } {4(y _ { 1 } + y _ { 2 }) } = - \dfrac { 1 } { 2 }\),
\({\color{Red}{(两式相减整理后得到\dfrac { y _ { 1 } - y _ { 2 } } { x _ { 1 } - x _ { 2 } } = - \dfrac { x _ { 1 } + x _ { 2 } } { 4(y _ { 1 } + y _ { 2 }) },其中 \dfrac { y _ { 1 } - y _ { 2 } } { x _ { 1 } - x _ { 2 } }为直线斜率,x_1+x_2,y_1+y_2均与中点有关,故点差法适合中点弦问题) }}\)
即\(k _ { A B } = - \dfrac { 1 } { 2 }\),
故所求直线方程为\(x+2y-4=0\).
\({\color{Red}{方法三 }}\) 设所求直线与椭圆的一个交点为\(A(x,y)\),由于中点为\(M(2,1)\),
则另一个交点为\(B(4-x,2-y)\),
因为\(A、B\)两点在椭圆上,所以有\(\begin{cases} { x ^ { 2 } + 4 y ^ { 2} = 16 } \\ { ( 4 - x ) ^ { 2 } + 4 ( 2 - y ) ^ { 2 } = 16 } \end{cases}\),
两式相减得\(x+2y-4=0\),
由于过\(A、B\)的直线只有一条,
故所求直线方程为\(x+2y-4=0\).
【点拨】
① 若\(A(x_1,y_1 )、B(x_2,y_2)\),则\(AB\)的中点\(C ( \dfrac { x _ { 1 } + x _ { 2 } } { 2 } , \dfrac { y _ { 1 } + y _ { 2 } } { 2 } )\);
② 对于中点弦问题,常有的解题方法是点差法(设而不求),其解题步骤为:
(1) 设点:即设出弦的两端点坐标;
(2) 代入:即代入圆锥曲线方程;
(3) 作差:即两式相减,再用平方差公式把上式展开;
(4) 整理:即转化为斜率与中点坐标的关系式,然后求解.
“点差法”的常见题型:求中点弦方程、求(过定点、平行弦)弦中点轨迹、垂直平分线问题.
【典题2】已知双曲线\(\dfrac { x ^ { 2 } } { 4 } - \dfrac { y ^ { 2 } } { 2 } = 1\),
(1)过点\(M(1,1)\)的直线交双曲线于\(A,B\)两点,若\(M\)为弦\(AB\)的中点,求直线\(AB\)的方程;
(2)是否存在直线\(l\),使得\(( 1 , \dfrac { 1 } { 2 } )\)为被该双曲线所截弦的中点,若存在,求出直线\(l\)的方程,若不存在,请说明理由.
【解析】 (1)设\(A(x_1,y_1 ),B(x_2,y_2)\),则\(\begin{cases} { x _ { 1 } ^ { 2 } - 2 y _ { 1 } ^ { 2 } = 4 } \\ { x _ { 2 } ^ { 2 } - 2 y _ { 2 } ^ { 2 } = 4 } \end{cases}\),
两式相减得\((x_1+x_2 )(x_1-x_2 )-2(y_1+y_2 )(y_1-y_2 )=0\),
所以\(\dfrac { y _ { 1 } - y _ { 2 } } { x _ { 1 } - x _ { 2 } } = \dfrac { x _ { 1 } + x _ { 2 } } { 2 ( y _ { 1 } + y _ { 2 } ) }\),
又因为\(x_1+x_2=2,y_1+y_2=2\),所以\(\dfrac { y _ { 1 } - y _ { 2 } } { x _ { 1 } - x _ { 2 } } = \dfrac { 1 } { 2 }\),
所以直线\(AB\)的方程为\(y-1=\dfrac{1}{2}(x-1)\),即\(x-2y+1=0\).
由方程组\(\begin{cases} { x - 2 y + 1 = 0 } \\ { \dfrac { x ^ { 2 } } { 4 } - \dfrac { y ^ { 2 } } { 2 } = 1 } \end{cases}\)
得\(x^2-2x-9=0\),其\(∆=40>0\),
说明所求直线存在.
(2)同法可得直线方程为\(2x-2y-1=0\),
但由方程组\(\begin{cases} {2 x - 2 y -1 = 0 } \\ { \dfrac { x ^ { 2 } } { 4 } - \dfrac { y ^ { 2 } } { 2 } = 1 } \end{cases}\),
得\(2x^2-4x+9=0\),
根据\(∆=-56<0\),说明所求直线不存在.
【点拨】
①求双曲线的中点弦问题最后记得要作出检验!那为什么第\(2\)问会出现不存在呢?
如下图所示,可知直线\(2x-2y-1=0\)与双曲线\(\dfrac { x ^ { 2 } } { 4 } - \dfrac { y ^ { 2 } } { 2 } = 1\)无交点,而与其共轭双曲线\(\dfrac { y ^ { 2 } } { 2 } - \dfrac { x ^ { 2 } } { 4 } = 1\)有交点,且点\(M\)是\(AB\)中点.
②已知双曲线\(\dfrac { x ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } - \dfrac { y ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } = 1\),任意弦\(AB\)的中点\(M(x_0,y_0)\),
若\(0 \leq \dfrac { x ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } - \dfrac { y ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } \leq 1\),则直线不存在;
若\(\dfrac { x ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } - \dfrac { y ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } \gt 1\)或\(\dfrac { x ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } - \dfrac { y ^ { 2 } } { b ^ { 2 } }< 0\),则直线存在.
【典题3】已知中心在原点,一焦点为\(F(0,5\sqrt2)\)的椭圆被直线\(l:y=3x-2\)截得的弦的中点横坐标为\(\dfrac{1}{2}\),求椭圆的方程.
【解析】设椭圆方程为\(\dfrac { y ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } + \dfrac { x ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } = 1 ( a \gt b \gt 0 )\),
则\(a^2-b^2=50\),
设\(P(x_1,y_1 ),Q(x_2,y_2)\),
由题易得弦\(PQ\)的中点\(M ( \dfrac { 1 } { 2 } , - \dfrac { 1 } { 2 } )\),所以\(\begin{cases} { x _ { 1 } + x _ { 2 } = 1 } \\ { y _ { 1 } + y _ { 2 } = - 1 } \end{cases}\),
将\(P,Q\)代入椭圆方程得\(\begin{cases}{ \dfrac { y ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } + \dfrac { x ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } = 1 } \\ { \dfrac { y ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } + \dfrac { x ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } = 1 } \end{cases}\),
两式相减得\(\dfrac { ( y _ { 1 } + y _ { 2 } ) ( y _ { 1 } - y _ { 2 } ) } { a ^ { 2 } } + \dfrac { ( x _ { 1 } + x _ { 2 } ) ( x _ { 1 } - x _ { 2 } ) } { b ^ { 2 } } = 0\),
即\(- \dfrac { y _ { 1 } - y _ { 2 } } { a ^ { 2 } } + \dfrac { x _ { 1 } - x _ { 2 } } { b ^ { 2 } } = 0\)\(\Rightarrow \dfrac { y _ { 1 } - y _ { 2 } } { x _ { 1 } - x _ { 2 } } = \dfrac { a ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } \Rightarrow \dfrac { a ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } = 3\),
又由\(a^2-b^2=50\),解得\(a^2=75,b^2=25\),
故所求椭圆方程为\(\dfrac { y ^ { 2 } } { 75 } + \dfrac { x ^ { 2 } } { 25 } = 1\).
【点拨】本题是直线的对称问题,也涉及到中点与斜率,故点差法用上场.
巩固练习
1(★★) 已知椭圆\(C : \dfrac { x ^ { 2 } } { 4 } + \dfrac { y ^ { 2 } } { 3 } = 1\),过点\(P(1,1)\)的直线\(l\)与椭圆\(C\)交于\(A,B\)两点,若点\(P\)恰为弦\(AB\)中点,则直线\(l\)斜率是\(\underline{\quad \quad}\) .
2(★★) 双曲线\(E : \dfrac { x ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } - \dfrac { y ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } = 1 ( a \gt 0 , b \gt 0 )\)被斜率为\(4\)的直线截得的弦\(AB\)的中点为\((2,1)\),则双曲线\(E\)的离心率为\(\underline{\quad \quad}\) .
3(★★) 已知双曲线\(x ^ { 2 } - \dfrac { y ^ { 2 } } { 2 } = 1\),过\(B(1,1)\)能否作直线\(l\),使\(l\)与双曲线交于\(P,Q\)两点,且\(B\)是线段\(P,Q\)的中点,这样的直线如果存在,求出它的方程;如果不存在,说明理由.
4(★★★) 已知椭圆\(\dfrac { x ^ { 2 } } { 4 } + \dfrac { y ^ { 2 } } { 3 } = 1\)的弦\(AB\)所在直线过点\(E(1,1)\),求弦\(AB\)中点\(F\)的轨迹方程 .
5(★★★) 已知椭圆\(C : \dfrac { x ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } + \dfrac { y ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } = 1 ( a \gt b \gt 0 )\),离心率\(e = \dfrac { 1 } { 2 }\),以原点为圆心,椭圆的短半轴长为半径的圆与直线\(x + \sqrt { 2 } y + 3 = 0\)相切.
(1)求椭圆\(C\)的标准方程;
(2)\(F\)是椭圆的右焦点,过点\(F\)的直线\(l\)与椭圆\(C\)交于点\(A,B\),且点\(A,B\)的中点横坐标为\(\dfrac { 1 } { 2 }\),求\(△OAB\)的面积.
参考答案
- \(- \dfrac { 4 } { 3 }\)
- \(\sqrt3\)
- 不存在
- \(3x^2+4y^2-3x-4y=0\)
- \((1)\dfrac { x ^ { 2 } } { 4 } + \dfrac { y ^ { 2 } } { 3 } = 1\quad ( 2 ) \dfrac { \sqrt { 21 } } { 4 }\)
【题型四】其他应用
【典题1】 设\(A,B\)是抛物线\(y=x^2\)上的两点,\(O\)是坐标原点,下列结论成立的是( )
A.若\(OA⊥OB\),则\(|OA||OB|≥2\)
B.若\(OA⊥OB\),直线\(AB\)过定点\((1,0)\)
C.若\(OA⊥OB\),\(O\)到直线\(AB\)的距离不大于\(1\)
D.若直线\(AB\)过抛物线的焦点\(F\),且\(|AF|=\dfrac{1}{3}\),则\(|BF|=1\)
【解析】对于选项\(A\),\(A(x_1,x_1^2),B(x_2,x_2^2)\),
\(∵OA⊥OB\),\(\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB} = 0\),
\(∴x_1 x_2+(x_1 x_2 )^2=0,∴x_1 x_2 (1+x_1 x_2)=0\),\(∴x_2=-\dfrac{1}{x_1}\),
\(|OA | \cdot | O B | = \sqrt { x _ { 1 } ^ { 2 } ( 1 + x _ { 1 } ^ { 2 } ) \dfrac { 1 } { x _ { 1 } ^ { 2 } } ( 1 + \dfrac { 1 } { x _ { 1 } ^ { 2 } } } )\)\(= \sqrt { 1 + x _ { 1 } ^ { 2 } + \dfrac { 1 } { x _ { 1 } ^ { 2 } } + 1 } \geq \sqrt { 2 + 2 | x _ { 1 } | \cdot \dfrac { 1 } { | x _ { 1 } | } } = 2\),
当且仅当\(x_1=±1\)时等号成立,故选项\(A\)正确;
对于选项\(B\):若\(OA⊥OB\),显然直线\(AB\)的斜率存在,设直线\(AB\)的方程为:\(y=kx+m\),
联立方程\(\begin{cases} { y = k x + m } \\ { y = x ^ { 2 } } \end{cases}\),消去\(y\)得:\(x^2-kx-m=0\),
设\(A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)\),\(∴x_1+x_2=k,x_1 x_2=-m\),
\(∴y_1 y_2=x_1^2 x_2^2=(x_1 x_2 )^2=m^2\),
\(∵OA⊥OB\),\(∴ \overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB} = 0\),
\(∴x_1 x_2+y_1 y_2=0\),
\(∴-m+m^2=0\),\(∴m=0\)或\(1\),
易知直线\(AB\)不过原点,\(∴m=1\),
\(∴\)直线\(AB\)的方程为:\(y=kx+1\),恒过定点\((0,1)\),故选项\(B\)错误,
对于选项\(C\),原点\(O\)到直线\(AB\)的距离\(d = \dfrac { 1 } { \sqrt { 1 + k ^ { 2 } } } \le 1\), 故选项\(C\)正确;
对于选项\(D\),直线\(AB\)过抛物线的焦点\(F(0,\dfrac{1}{4})\),
设直线\(AB\)的方程为\(y = k x + \dfrac { 1 } { 4 }\),
联立方程\(\begin{cases} { y = k x + \dfrac { 1 } { 4 } } \\ { x ^ { 2 } = y } \end{cases}\),消去\(y\)得:\(x^2-kx- \dfrac { 1 } { 4 }=0\),
设\(A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)\), 不妨设点\(A\)在\(y\)轴右侧,
\(∴x_1+x_2=k,x_1 x_2=-\dfrac{1}{4}\),
\(∴ | A F | = y _ { 1 } + \dfrac { 1 } { 4 } = \dfrac { 1 } { 3 } , ∴ y _ { 1 } = \dfrac { 1 } { 12 } , x _ { 1 } = \dfrac { \sqrt { 3 } } { 6 }\),
\(∴x _ { 2 } = \dfrac { - \dfrac { 1 } { 4 } } { x _ { 1 } } = - \dfrac { \sqrt { 3 } } { 2 }\),\(∴ y _ { 2 } = \dfrac { 3 } { 4 }\),
\(∴ | B F | = y _ { 2 } + \dfrac { 1 } { 4 } = 1\),故选项\(D\)正确,
故选:\(ACD\).
【点拨】处理垂直的方法
(1) 若要求线段长度,想到勾股定理或直角三角形其他性质;
(2) 想到直线斜率关系,得到\(k_{OA}\cdot k_{OB}=-1\),但要注意两直线的斜率是否都存在;
(3) 想到向量的关系,得到\(\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB} = 0\).
【典题2】 已知椭圆\(\dfrac { x ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } + \dfrac { y ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } = 1 ( a \gt b \gt 0 )\)的离心率为\(\dfrac { \sqrt { 3 } } { 3 }\),过椭圆的右焦点且斜率为\(\dfrac{1}{2}\)的直线与椭圆交于\(A,B\)两点,则\(△AOB\)(其中\(O\)为原点)的形状为\(\underline{\quad \quad}\).
【解析】由椭圆的离心率可得\(\dfrac { \sqrt { a ^ { 2 } - b ^ { 2 } } } { a } = \dfrac { \sqrt { 3 } } { 3 }\),解得\(b ^ { 2 } = \dfrac { 2 a ^ { 2 } } { 3 }\),
则椭圆的方程为\(\dfrac { x ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } + \dfrac { y ^ { 2 } } { \dfrac { 2 } { 3 } a ^ { 2 } } = 1\),
椭圆的右焦点为\(F ( \dfrac { \sqrt { 3 } } { 3 } a , 0 )\),由直线\(l\)的方程为\(y = \dfrac { 1 } { 2 } ( x - \dfrac { \sqrt { 3 } } { 3 } a )\),
由\(\begin{cases} { \dfrac { x ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } + \dfrac { y ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } = 1 } \\ { y = \dfrac { 1 } { 2 } ( x - \dfrac { \sqrt { 3 } } { 3 } a ) } \end{cases}\)
可得\(11x^2-2\sqrt3 ax-7a^2=0\),
设\(A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)\),
由韦达定理得\(x _ { 1 } + x _ { 2 } = \dfrac { 2 \sqrt { 3 } } { 11 } a , x _ { 1 } x _ { 2 } = \dfrac { - 7 a ^ { 2 } } { 11 }\),
则\(y _ { 1 } y _ { 2 } = \dfrac { 1 } { 4 } ( x _ { 1 } - \dfrac { \sqrt { 3 } } { 3 } a ) ( x _ { 2 } - \dfrac { \sqrt { 3 } } { 3 } a )\)\(= - \dfrac { 8 } { 33 } a ^ { 2 }\),
则\(\overrightarrow{ O A } \cdot \overrightarrow{ O B } = x _ { 1 } x _ { 2 } + y _ { 1 } y _ { 2 } = - \dfrac { 29 } { 33 } a ^ { 2 } \lt 0\),
\(∴∠AOB\)一定为钝角,
【点拨】判断三角形\(∆ABC\)的形状,通法是确定最大角(比如是角\(A\)),再利用余弦定理或数量积
(1) 余弦定理:\(\cos A = \dfrac { b ^ { 2 } + c ^ { 2 } - a ^ { 2 } } { 2 b c }\).若\(cosA>0\),则\(∆ABC\)是锐角三角形;
若\(cosA=0\),则\(∆ABC\)是直角角三角形;若\(cosA<0\),则\(∆ABC\)是钝角三角形;
(2) 数量积\(\overrightarrow{ AB } \cdot \overrightarrow{ AC }\),若\(\overrightarrow{ AB } \cdot \overrightarrow{ AC }>0\),则\(∆ABC\)是锐角三角形;
若\(\overrightarrow{ AB } \cdot \overrightarrow{ AC }=0\),则\(∆ABC\)是直角角三角形;若\(\overrightarrow{ AB } \cdot \overrightarrow{ AC }<0\),则\(∆ABC\)是钝角三角形.
【典题3】已知抛物线\(C:y^2=2px(p>0)\),焦点为\(F\),准线为\(l\),抛物线\(C\)上一点\(A\)的横坐标为\(3\),且点\(A\)到焦点的距离为\(4\).
(1)求抛物线的方程;
(2)设过点\(P(6,0)\)的直线\(l\)与抛物线交于\(A,B\)两点,若以\(AB\)为直径的圆过点\(F\),求直线\(l\)的方程.
【解析】(1)抛物线\(y^2=2px(p>0)\)的准线方程为\(x = - \dfrac { p } { 2 }\),
由抛物线\(C\)上一点\(A\)的横坐标为\(3\),
根据抛物线的定义可知,\(3 + \dfrac { p } { 2 } = 4\),解得\(p=2\),
所以抛物线\(C\)的方程是\(y^2=4x\);
(2) \({\color{Red}{方法一 }}\) 由题意可知,直线\(l\)不垂直于\(y\)轴,
可设直线\(l:x=my+6\),
则由\(\begin{cases} { y ^ { 2 } = 4 x } \\ { x = m y + 6 } \end{cases}\)可得\(y^2-4my-24=0\),
设\(A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)\),则\(y_1+y_2=4m,y_1 y_2=-24\),
因为以\(AB\)为直径的圆过点\(F\),
所以\(FA⊥FB\),即\(\overrightarrow{FA } \cdot \overrightarrow{ FB}=0\),
可得\((x_1-1)(x_2-1)+y_1 y_2=0\),
即\((my_1+5)(my_2+5)+y_1 y_2=0\)\(⇒(1+m^2 ) y_1 y_2+5m(y_1+y_2 )+25=0\)
\(⇒-24(1+m^2 )+20m^2+25=0⇒1-4m^2=0\),
解得\(m = \pm \dfrac { 1 } { 2 }\),
所以直线\(l:x = \pm \dfrac { 1 } { 2 } y + 6\),
即\(l:2x+y-12=0\)或\(2x-y-12=0\).
\({\color{Red}{ 方法二}}\) 由于抛物线方程是\(y^2=4x\),
可设\(A(4t_1^2,4t_1 ),B(4t_2^2,4t_2 )\),由于对称性不妨设\(t_1>t_2\),
因为\(A、P、B\)三点共线,故\(k_{AP}=k_{BP}\)
所以\(\dfrac { 4 t _ { 1 } } { 4 t _ { 1 } ^ { 2 } - 6 } = \dfrac { 4 t _ { 2 } } { 4 t _ { 2 } ^ { 2 } - 6 } \Rightarrow t _ { 1 } t _ { 2 } = - \dfrac { 3 } { 2 }\)①,
\(∵t_1>t_2\)\(∴t_1>0,t_2<0\)
因为以\(AB\)为直径的圆过点\(F\),所以\(FA⊥FB\),即\(\overrightarrow{FA } \cdot \overrightarrow{ FB}=0\),
可得\((4t_1^2-1)(4t_2^2-1)+4t_1 t_2=0\)\(⇒16t_1^2 t_2^2-4(t_1^2+t_2^2 )+4t_1 t_2+1=0\)②
由①②解得\(t _ { 1 } = 1 , t _ { 2 } = - \dfrac { 3 } { 2 }\)或\(t _ { 1 } = \dfrac { 3 } { 2 } , t _ { 2 } = - 1\),
当\(t _ { 1 } = 1 , t _ { 2 } = - \dfrac { 3 } { 2 }\)时,\(A(4,4),B(9,-6)\),此时直线\(l\)方程为\(2x+y-12=0\);
当\(t _ { 1 } = \dfrac { 3 } { 2 } , t _ { 2 } = - 1\)时,\(A(9,6),B(4,-4)\),此时直线\(l\)方程为\(2x-y-12=0\);
即\(l:2x+y-12=0\)或\(2x-y-12=0\).
【点拨】
① 直线\(l\)方程设为\(y=kx+b\),当直线\(l⊥x\)轴时\(k\)不存在;直线\(l\)方程设为\(x=my+t\),当直线\(l//x\)轴时\(m\)不存在;其中\(k = \dfrac { 1 } { m }\);
② 当直线\(l\)与抛物线\(y^2=2px\)有两个交点,常设直线\(l\)方程为\(x=my+t\),因为此时\(m\)肯定存在,避免\(k\)的分类讨论,与抛物线联立\(y^2=2px\)计算量也较小!
③ 方法二是利用了抛物线\(y^2=2px(p>0)\)的参数方程\(\begin{cases} { x = 2 p t ^ { 2 } } \\ { y = 2 p t } \end{cases}\),为设元提供另一种方式.
【典题4】 如图,已知\(O\)为坐标原点,椭圆\(C : \dfrac { x ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } + \dfrac { y ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } = 1 ( a \gt b \gt 0 )\)的左、右焦点分别为\(F_1、F_2\),点\(P(0,1)\)是椭圆\(C\)的上顶点,\(△PF_1 F_2\)是等腰直角三角形,点\(A(m,n)(m≠0)\)是椭圆\(C\)上一点,直线\(PA\)交\(x\)轴于点\(M\).
(1)求椭圆\(C\)的方程;
(2)若点\(B\)与点\(A\)关于\(x\)轴对称,直线\(PB\)交\(x\)轴于点\(N\),点\(Q(0,y_0)\),且\(∠OQM=∠ONQ\),求\(y_0\)的值.
【解析】(1)由于点\(P(0,1)\)是椭圆\(C\)的上顶点,且\(△PF_1 F_2\)是等腰直角三角形,
\(∴b=1\),\(a^2+a^2=(2c)^2\),
又\(a^2=b^2+c^2\),联立解得\(a = \sqrt { 2 }\).
所以椭圆\(C\)的方程为\(\dfrac { x ^ { 2 } } { 2 } + y ^ { 2 } = 1\);
(2)
\(∵\)点\(B\)与点\(A\)关于\(x\)轴对称,\(∴B(m,-n)\),
直线\(PA\)的方程为\(y = \dfrac { n - 1 } { m } x + 1\),令\(y=0\),得\(x = \dfrac { m } { 1 - n }\),
所以\(M ( \dfrac { m } { 1 - n } , 0 )\), 同理可得\(N ( \dfrac { m } { 1 + n } , 0 )\).
则\(\tan\angle O Q M = | \dfrac { \dfrac { m } { 1 - n } } { y _ { 0 } } | = | \dfrac { m } { ( 1 - n ) y _ { 0 } }|\),\(\tan \angle O N Q = | \dfrac { y _ { 0 } } { \dfrac { m } { 1 + n } } | = | \dfrac { ( 1 + n ) y _ { 0 } } { m } |\).
\(∵∠OQM=∠ONQ\),\(∴tan∠OQM=tan∠ONQ\),
即\(| \dfrac { m } { ( 1 - n ) y _ { 0 } } | = | \dfrac { ( 1 + n ) y _ { 0 } } { m } |\),则\(y _ { 0 } ^ { 2 } = \dfrac { m ^ { 2 } } { | 1 - n ^ { 2 } | }\).
\(∵A(m,n)\)是椭圆\(C\)上一点,\(∴ \dfrac { m ^ { 2 } } { 2 } + n ^ { 2 } = 1\),
得\(\dfrac { m ^ { 2 } } { 1 - n ^ { 2 } } = 2\),即\(y_0^2=2\),则\(y_0=±\sqrt2\).
【点拨】题中两角相等\(∠OQM=∠ONQ\),得到了\(tan∠OQM=tan∠ONQ\),有时候也可以利用正弦值或余弦值相等的,想到三角形\(∆OQM~∆ONQ\)也可以的.
巩固练习
1(★★) 已知直线\(l:\sqrt3 x-y-\sqrt3=0\)过抛物线\(C:y^2=2px\)的焦点\(F\),且与抛物线\(C\)交于点\(A、B\)两点,过\(A、B\)两点分别作抛物线准线的垂线,垂足分别为\(M、N\),则下列说法错误的是( )
A.抛物线的方程为\(y^2=4x\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\)B.线段\(AB\)的长度为\(\dfrac{16}{3}\)
C.\(∠MFN=90°\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) D.线段\(AB\)的中点到\(y\)轴的距离为\(\dfrac{8}{3}\)
2(★★)已知双曲线\(\dfrac { x ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } - \dfrac { y ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } = 1 ( a \gt 0 , b \gt 0 )\)的渐近线为\(y = \pm \sqrt { 3 } x\),过右焦点\(F\)的直线\(l\)与双曲线交于\(A,B\)两点且\(\overrightarrow{AF} =3\overrightarrow{FB}\),则直线\(l\)的斜率为( )
A.\(±\sqrt3\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\)B.\(±\sqrt{15}\)\(\qquad \qquad \qquad \qquad\) C.\(±1\)\(\qquad \qquad \qquad \qquad\) D.\(±\sqrt5\)
3(★★) 已知直线\(l:kx-y-k=0(k∈R)\)与抛物线\(C:y^2=2px(p>\dfrac{1}{2})\)相交于\(A,B\)两点,\(O\)为坐标原点,则\(△AOB\)为( )
A.锐角三角形\(\qquad \qquad\) B.直角三角形 \(\qquad \qquad\)C.钝角三角形\(\qquad \qquad\) D.不确定
4(★★★)【多选题】已知双曲线\(\dfrac { x ^ { 2 } } { n } - \dfrac { y ^ { 2 } } { n } = 1 ( n \in N ^ { * } )\),不与\(x\)轴垂直的直线\(l\)与双曲线右支交于点\(B,C\)(\(B\)在\(x\)轴上方,\(C\)在\(x\)轴下方),与双曲线渐近线交于点\(A,D\)(\(A\)在\(x\)轴上方),\(O\)为坐标原点,下列选项中正确的为( )
A.\(|AC|=|BD|\)恒成立
B.若\(S_{△BOC}=\dfrac{1}{3} S_{△AOD}\),则\(|AB|=|BC|=|CD|\)
C.\(△AOD\)面积的最小值为\(1\)
D.对每一个确定的\(n\),若\(|AB|=|BC|=|CD|\),则\(△AOD\)的面积为定值
5(★★★) 已知点\(F\)是抛物线\(y^2=16x\)的焦点,直线\(l\)经过点\(F\)与抛物线交于\(A,D\)两点,与圆\((x-4)^2+y^2=16\)交于\(B,C\)两点(如图所示),则\(|AB|\cdot|CD|=\)\(\underline{\quad \quad}\).
6(★★★) 已知抛物线\(y=x^2\)和点\(P(0,1)\),若过某点\(C\)可作抛物线的两条切线,切点分别是\(A,B\),且满足\(\overrightarrow{ C P } = \dfrac { 1 } { 3 } \overrightarrow{C A } + \dfrac { 2 } { 3 }\overrightarrow{ C B }\),则\(△ABC\)的面积为\(\underline{\quad \quad}\).
7(★★★) 若直线\(l\)过抛物线\(x^2=-2y\)的焦点\(F\)交抛物线于\(M,N\)两点,则的取值范围为\(\underline{\quad \quad}\) .
8(★★★★) 已知抛物线方程\(y^2=4x\),\(F\)为焦点,\(P\)为抛物线准线上一点,\(Q\)为线段\(PF\)与抛物线的交点,定义:\(d ( P ) = \dfrac { |P F | } { | F Q | }\).
(1)当\(P ( - 1 , - \dfrac { 8 } { 3 } )\)时,求\(d(P)\);
(2)证明:存在常数\(a\),使得\(2d(P)=|PF|+a\);
(3)\(P_1,P_2,P_3\)为抛物线准线上三点,且\(|P_1 P_2 |=|P_2 P_3 |\),判断\(d(P_1)+d(P_3)\)与\(2d(P_2)\)的关系.
参考答案
- \(D\)
- \(B\)
- \(C\)
- \(ABD\)
- \(16\)
- \(\dfrac{27\sqrt2}{16}\)
- \(\{2\}\)
- \((1) \dfrac{8}{3}\quad (2)a=2\quad (3) d(P_1)+d(P_3)>2d(P_2)\)