3.1 椭圆
\(\mathbf{{\large {\color{Red} {欢迎到学科网下载资料学习}} } }\)【高分突破系列】 高二数学上学期同步知识点剖析精品讲义！
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模块导图
知识剖析
定义
平面内与两个定点\(F _ { 1 } , F _ { 2 }\)的距离之和等于常数(大于\(F _ { 1 }F _ { 2 }\))的点的轨迹称为椭圆．这两个定点称为椭圆的焦点，两焦点的距离称为椭圆的焦距.
如图：\(P\)是椭圆上一点，\(PF_{ 1 } + PF_{ 2 } = 2 a \gt F _ { 1 } F _ { 2 }\).
\({\color{Red}{解释}}\)
\(P F _ { 1 } + P F _ { 2 } = 2 a \gt F _ { 1 } F _ { 2 } \Rightarrow\)点\(P\)的轨迹是以\(F _ { 1 } , F _ { 2 }\)为焦点的椭圆；
\(P F _ { 1 } + P F _ { 2 } = 2 a= F _ { 1 } F _ { 2 } \Rightarrow\)点\(P\)的轨迹是线段；
\(P F _ { 1 } + P F _ { 2 } = 2 a < F _ { 1 } F _ { 2 } \Rightarrow\)点\(P\)的轨迹是无轨迹.
几何性质
一些常见结论
①通径：过焦点且垂直于长轴的弦，其长度为\(\dfrac{2b^2}{a}\)；
②最大角，\(P\)是椭圆上一点，当运动到短轴端点时，\(∠F_1 PF_2\)为最大角；
③焦点三角形面积\(S_{∆PF_1 F_2 }=b^2 \tan\dfrac{∠F_1 PF_2}{2}\)；
④焦半径\(PF_1=a+ex_0，PF_2=a-ex_0\)；
⑤椭圆\(\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2} =1(a>b>0)\)的参数方程\(\begin{cases} { x = a \cos \theta } \\ { y = b \sin \theta } \end{cases} (θ为参数)\).
经典例题
【题型一】椭圆的定义
【典题1】设定点\(F _ { 1 } ( 0 , - 3 ) , F _ { 2 } ( 0 , 3 )\)动点\(P\)满足条件\(| P F _ { 1 } | - a = \dfrac { 9 } { a } - | P F _ { 2 } | ( a \gt 0 )\)则点的轨迹是 ( )
A．椭圆 \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) B．线段 \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) C．不存在 \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) D．椭圆或线段
【解析】由题意得\(| P F _ { 1 } | - a = \dfrac { 9 } { a } - | P F _ { 2 } | ( a \gt 0 )\)
所以\(| P F _ { 1 } | + | P F _ { 2 } | = a + \dfrac { 9 } { a } \geq 2 \sqrt { a \cdot \dfrac { 9 } { a } } = 6\)
当且仅当\(a = \dfrac { 9 } { a }\)时取等号，此时\(a=3\)，则\(| P F _ { 1 } | + | P F _ { 2 } | \geq 6\)
因为定点\(F _ { 1 } ( 0 , - 3 ) , F _ { 2 } ( 0 , 3 )\)，所以\(| F _ { 1 } F _ { 2 } | = 6\)
当\(| P F _ { 1 } | + | P F _ { 2 } | = 6\)时，点\(P\)的轨迹是线段\(F _ { 1 } F _ { 2 }\)；
当\(| P F _ { 1 } | + | P F _ { 2 } | > 6\)时，点\(P\)的轨迹是以\(F _ { 1 } ,F _ { 2 }\)为焦点的椭圆;
故选：D．
【点拨】
\(P F _ { 1 } + P F _ { 2 } = 2 a \gt F _ { 1 } F _ { 2 } \Rightarrow\)点\(P\)的轨迹是以\(F _ { 1 } , F _ { 2 }\)为焦点的椭圆；
\(P F _ { 1 } + P F _ { 2 } = 2 a= F _ { 1 } F _ { 2 } \Rightarrow\)点\(P\)的轨迹是线段；
\(P F _ { 1 } + P F _ { 2 } = 2 a < F _ { 1 } F _ { 2 } \Rightarrow\)点\(P\)的轨迹是无轨迹.
【典题2】如图，点\(A\)是平面\(\alpha\)外一定点，过\(A\)作平面\(\alpha\)的斜线\(l\)，斜线\(l\)与平面\(\alpha\)所成角为\(50 ^ { \circ }\)．若点\(P\)在平面\(\alpha\)内运动，并使直线\(AP\)与\(l\)所成角为\(35 ^ { \circ }\)，则动点\(P\)的轨迹是( )
A．圆 \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) B．椭圆 \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) C．抛物线 \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) D．双曲线的一支
【解析】用垂直于锥轴的平面去截圆锥，得到的是圆；把平面渐渐倾斜，得到椭圆；当平面和圆锥的一条母线平行时，得到抛物线；当平面再倾斜一些就可以得到双曲线．
故可知动点\(P\)的轨迹是椭圆的一部分．
故选：B．
巩固练习
1 (★) 设为定点\(F _ { 1 } ( - 4 , 0 ) , F _ { 2 } ( 4 , 0 )\)，动点\(M\)满足\(| M F _ { 1 } | + | M F _ { 2 } | = 8\)，则动点\(M\)的轨迹是( )
A．椭圆 \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) B．直线 \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) C．圆 \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) D．线段
2 (★★) 在棱长为\(1\)的正方体\(A B C D - A ^ { \prime } B ^ { \prime } C ^ { \prime } D ^ { \prime }\)中，若点\(P\)是棱上一点，则满足\(| P A | + | P C ^ { \prime } | = 2\)的点\(P\)的个数为( )
A．\(4\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) B．\(6\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) C．\(8\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) D．\(12\)
答案
1.\(B\)
2.\(B\)
【题型二】椭圆方程
【典题1】已知方程\(4 x ^ { 2 } + k y ^ { 2 } = 1\)的曲线是焦点在\(y\)轴上的椭圆，则实数\(k\)的取值范围为\(\underline{\quad \quad }\) ．
【解析】椭圆方程\(4 x ^ { 2 } + k y ^ { 2 } = 1\)化为\(\dfrac { x ^ { 2 } } { \dfrac { 1 } { 4 } } + \dfrac { y ^ { 2 } } { \dfrac { 1 } { k } } = 1\), \({\color{Red}{(化为标准式)}}\)
由于椭圆的焦点在\(y\)轴上，则\(\dfrac { 1 } { k } \gt \dfrac { 1 } { 4 }\)，即\(0 \lt k \lt 4\)，
故答案为：\((0 ,4)\).
【点拨】
曲线方程\(C : \dfrac { x ^ { 2 } } { m } + \dfrac { y ^ { 2 } } { n } = 1\)
当\(m \gt 0 , n \gt 0\)且\(m \neq n\)时为椭圆(若\(m=n\)那就是圆了)；
当\(m \gt n \gt 0\)时，\(C\)为焦点在\(x\)轴上的椭圆且\(a ^ { 2 } = m\)；
当\(n\gt m \gt 0\)时，\(C\)为焦点在\(y\)轴上的椭圆且\(a ^ { 2 } = n\).
简而言之：看分母大小.
【典题2】经过两点\(A ( 0 , 2 ) , B ( \dfrac { 1 } { 2 } , \sqrt { 3 } )\)的椭圆的标准方程为\(\underline{\quad \quad }\).
【解析】由题意，设椭圆的方程为\(\dfrac { x ^ { 2 } } { m } + \dfrac { y ^ { 2 } } { n } = 1\)，\({\color{Red}{（待定系数法）}}\)
则\(\left\{\begin{array}{l}
\dfrac{4}{n}=1 \\
\dfrac{1}{4 m}+\dfrac{3}{n}=1
\end{array}\right.\)，解得\(\{ \begin{array} { l } { m = 1 } \\ { n = 4 } \end{array}\)．
所以椭圆的标准方程为\(x ^ { 2 } + \dfrac { y ^ { 2 } } { 4 } = 1\)．
【点拨】过两个点的椭圆设为\(\dfrac { x ^ { 2 } } { m } + \dfrac { y ^ { 2 } } { n } = 1\)可避免对焦点在轴还是轴的分类讨论.
【典题3】已知\(F ( \sqrt { 2 } , 0 )\)是椭圆\(E : \dfrac { x ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } + \dfrac { y ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } = 1 ( a \gt b \gt 0 )\)的右焦点，且\(E\)过点\(( \sqrt { 2 } , 1 )\)，则椭圆\(E\)的标准方程为\(\underline{\quad \quad }\) ．
【解析】 \({\color{Red}{ 方法一}}\) 已知\(F ( \sqrt { 2 } , 0 )\)是椭圆\(E : \dfrac { x ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } + \dfrac { y ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } = 1 ( a \gt b \gt 0 )\)的右焦点，且\(E\)过点\(( \sqrt { 2 } , 1 )\)，，
可得解得\(\left\{\begin{array}{l}
a^{2}-b^{2}=c^{2}=2 \\
\dfrac{2}{a^{2}}+\dfrac{1}{b^{2}}=1
\end{array}\right.\)，解得\(a= 2 , b = \sqrt { 2 }\)，
\({\color{Red}{(这里求a,b可“猜”，由 \dfrac { 2 } { a ^ { 2 } } + \dfrac { 1 } { b ^ { 2 } } = 1可猜a^2 =3或4等，若解方程计算量较大)}}\)
所以所求椭圆方程为：\(\dfrac { x ^ { 2 } } { 4 } + \dfrac { y ^ { 2 } } { 2 } = 1\)．
\({\color{Red}{方法二}}\) 依题意可知，椭圆的两个焦点分别为\(F _ { 1 } ( - \sqrt { 2 } , 0 ) , F _ { 2 } ( \sqrt { 2 } , 0 )\)，
由椭圆的定义，可知\(2 a = E F _ { 1 } + E F _ { 2 } = \sqrt { ( \sqrt { 2 } + \sqrt { 2 } ) ^ { 2 } + ( 1 - 0 ) ^ { 2 } + 1 } = 4 \Rightarrow a = 2\)，
又\(c = \sqrt { 2 }\)，所以\(b = \sqrt { a ^ { 2 } - c ^ { 2 } } = \sqrt { 2 }\);
所以所求椭圆方程为：\(\dfrac { x ^ { 2 } } { 4 } + \dfrac { y ^ { 2 } } { 2 } = 1\)．
【点拨】方法二利用椭圆的定义求解，计算量较小.
巩固练习
1 (★)已知方程\(\dfrac { x ^ { 2 } } { 4 - k } + \dfrac { y ^ { 2 } } { k - 1 } = 1\)表示焦点在轴上的椭圆，则\(k\)的取值范围是\(\underline{\quad \quad }\)．
2 (★)已知\(B,C\)是两个定点，\(BC=6\)，且\(\triangle A B C\)的周长等于\(16\)，则顶点\(A\)的轨迹方程为 \(\underline{\quad \quad }\) ．
3 (★)焦点在\(x\)轴上，焦距等于\(4\)，且经过点\(P ( 3 , - 2 \sqrt { 6 } )\)的椭圆标准方程是\(\underline{\quad \quad }\) ．
参考答案
- \(( 1 , \dfrac { 5 } { 2 } )\)
- \(\dfrac { x ^ { 2 } } { 25 } + \dfrac { y ^ { 2 } } { 16 } = 1 ( y \neq 0 )\)或\(\dfrac { y ^ { 2 } } { 25 } + \dfrac { x ^ { 2 } } { 16 } = 1 ( x \neq 0 )\)
- \(\dfrac { x ^ { 2 } } { 36 } + \dfrac { y ^ { 2 } } { 32 } = 1\)
【题型三】椭圆的图像及其性质
【典题1】(多选题)如图，椭圆Ⅰ与Ⅱ有公共的左顶点和左焦点，且椭圆Ⅱ的右顶点为椭圆Ⅰ的中心．设椭圆Ⅰ与Ⅱ的长半轴长分别为\(a_1\)和\(a_2\)，半焦距分别为\(c_1\)和\(c_2\)，离心率分别为\(e_1\)和\(e_2\)，则下列结论正确的是( )
A．\(a_{ 1 } + c_{ 1 } \gt 2 ( a _ { 2 } + c _ { 2 } )\) \(\qquad \qquad\) B．\(a _ { 1 } - c _ { 1 } = a _ { 2 } - c _ { 2 }\) \(\qquad \qquad\) C．\(a _ { 1 } c _ { 2 } \gt a _ { 2 } c _ { 1 }\) \(\qquad \qquad\) D．\(e _ { 1 } = \dfrac { e _ { 2 } + 1 } { 2 }\)
E．椭圆Ⅱ比椭圆更扁
【解析】由题图知\(a _ { 1 } = 2 a _ { 2 } , c _ { 1 } \gt 2 c _ { 2 }\)，
对于\(A\)，\(a _ { 1 } + c _ { 1 } \gt 2 ( a _ { 2 } + c _ { 2 } )\)正确；故\(A\)正确；
对于\(B\)，由图可知\(a _ { 1 } - c _ { 1 } = a _ { 2 } - c _ { 2 }\)；故\(B\)正确；
对于\(C\)，\(c _ { 1 } \gt 2 c _ { 2 } \Rightarrow a _ { 2 } c _ { 1 } \gt 2 a _ { 2 } c _ { 2 } \Rightarrow a _ { 2 } c _ { 1 } \gt a _ { 1 } c_ { 2 }\)，
故\(C\)不正确；
对于\(D\)，由图知\(c _ { 1 } = a _ { 2 } + c _ { 2 }\)，所以\(e _ { 1 } = \dfrac { c _ { 1 } } { a _ { 1 } } = \dfrac { a _ { 2 } + c _ { 2 } } { 2 a _ { 2 } }\)；\(\dfrac { e _ { 2 } + 1 } { 2 } = \dfrac { \dfrac { c _ { 2 } } { a _ { 2 } } + 1 } { 2 } = \dfrac { a _ { 2 } + c _ { 2 } } { 2 a _ { 2 } }\)；
所以\(e _ { 1 } = \dfrac { e _ { 2 } + 1 } { 2 }\)；故\(D\)正确；
对于\(E\)，\(e _ { 1 } = \dfrac { c _ { 1 } } { a _ { 1 } } \gt \dfrac { 2 c _ { 2 } } { 2 a _ { 2 } } = e _ { 2 }\)；
∴椭圆Ⅰ比椭圆Ⅱ更扁；故\(E\)不正确；
故正确的为\(ABD\)．
【点拨】椭圆的离心率越大就越扁.
【典题2】如图，已知椭圆\(C\)的中心为原点为\(O\)，\(F ( - 2 \sqrt { 5 } , 0 )\)为\(C\)的左焦点，\(P\)为\(C\)上一点，满足\(| O P | = | O F |\)，且\(| P F | = 4\)，则椭圆\(C\)的方程为\(\underline{\quad \quad }\) .
【解析】由题意可得\(c = 2 \sqrt { 5 }\)，设右焦点为\(F ^ { \prime }\)
由\(| O P | = | O F | = | O F ^ { \prime } |\)，易得\(P F\perp P F ^ { \prime }\)．
\({\color{Red}{(P在∆PFF'三角形外接圆上)}}\)
由勾股定理，得\(| P F ^ { \prime } | = \sqrt { F F ^ { \prime 2 } - P F ^ { 2 } } = \sqrt { ( 4 \sqrt { 5 } ) ^ { 2 } - 4 ^ { 2 } } = 8\)，
由椭圆定义，得\(| P F | + | P F ^ { \prime } | = 2 a = 4 + 8 = 12\)，
从而得\(a=6\)，
于是\(b ^ { 2 } = a ^ { 2 } - c ^ { 2 } = 36 - ( 2 \sqrt { 5 } ) ^ { 2 } = 16\)，
所以椭圆的方程为\(\dfrac { x ^ { 2 } } { 36 } + \dfrac { y ^ { 2 } } { 16 } = 1\)．
【点拨】注意焦点三角形\(\triangle P F F ^ { \prime }\)的运用，常用到椭圆定义\(|PF_1 |+|PF_2 |=2a\).
【典题3】椭圆的离心率为\(\dfrac { \sqrt { 2 } } { 2 }\)，\(F\)为椭圆的一个焦点，若椭圆上存在一点与\(F\)关于直线\(y=x+4\)对称，则椭圆方程为\(\underline{\quad \quad }\).
【解析】由椭圆的离心率\(e = \dfrac { c } { a } = \dfrac { \sqrt { 2 } } { 2 }\)，则\(a = \sqrt { 2 } c\)，
由\(b ^ { 2 } = a ^ { 2 } - c ^ { 2 } = c ^ { 2 }\)，则\(b=c\)，
不妨设椭圆方程为\(x ^ { 2 } + 2 y ^ { 2 } = 2 b ^ { 2 }\)，
所以右焦点\(( - b , 0 )\)关于\(l : y = x + 4\)的对称点设为\(( x ^ { \prime } , y ^ { \prime } )\)，
则\(\begin{cases} { \dfrac { y ^ { \prime } } { x y + b } = - 1 } \\ { \dfrac { y ^ { \prime } } { 2 } = \dfrac { x - b } { 2 } + 4 } \end{cases}\)，解得\(\begin{cases} { x ^ { \prime } = - 4 } \\ { y ^ { \prime } = 4 - b } \end{cases}
\)
由点\(( - 4 , 4 - b )\)在椭圆上，得\(16 + 2 ( 4 - b ) ^ { 2 } = 2 b ^ { 2 }\)，\(b=3\)，\(a = 3 \sqrt { 2 }\)，
由椭圆的对称性可知椭圆的焦点坐标也可以在\(y\)轴上，
所以椭圆的标准方程为：\(\dfrac { x ^ { 2 } } { 18 } + \dfrac { y ^ { 2 } } { 9 } = 1\)或\(\dfrac { x ^ { 2 } } { 9 } + \dfrac { y ^ { 2 } } { 18 } = 1\)．
\({\color{Red}{(注意焦点的位置)}}\)
【点拨】点\(A ( x _ { 1 } , y _ { 1 } )\)与点\(A ^ { \prime } ( x _ { 2 } , y _ { 2 } )\)关于直线\(l\)对称
\(\Rightarrow\)\(A A ^ { \prime }\)的中点\(( \dfrac { x _ { 1 } + x _ { 2 } } { 2 } , \dfrac { y _ { 1 } + y _ { 2 } } { 2 } )\)在直线\(l\)上，\(k _ { A A ^ { \prime } } \cdot k _ { I } = - 1\).
【典题4】已知椭圆\(C : \dfrac { x ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } + \dfrac { y ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } = 1 ( a \gt b \gt 0 )\)的左右焦点分别为\(F _ { 1 } , F _ { 2 }\)，点\(A\)是椭圆上一点，线段\(A F _ { 1 }\)的垂直平分线与椭圆的一个交点为\(B\)，若\(\overrightarrow{AB} =3\overrightarrow{F_2B}\)，则椭圆\(C\)的离心率为( )
A．\(\dfrac { 1 } { 3 }\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) B．\(\dfrac { \sqrt{3} } { 3 }\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) C．\(\dfrac{2}{3}\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) D．\(\dfrac { \sqrt { 6 } } { 3 }\)
【解析】如图所示，
线段段\(A F _ { 1 }\)的垂直平分线与椭圆的一个交点为\(B\)，连接\(B F _ { 1 }\),
则\(| A B | = | B F _ { 1 } |\)．
因为\(\overrightarrow{AB} =3\overrightarrow{F_2B}\)，\(| B F _ { 1 } | + | B F _ { 2 } | = 2 a\)，
所以\(| B F _ { 2 } | = \dfrac { a } { 2 }\)，\(| A F _ { 2 } | = a\)
所以点\(A\)是椭圆短轴的一个端点，不妨设为上端点．
作\(B C \perp x\)轴，垂足为点\(C\)，则\(\triangle A O F _ { 2 } \sim \triangle B C F _ { 2 }\)，
所以\(\dfrac { | B C | } { | A O | } = \dfrac { | C F _ { 2 } | } { | O F _ { 2 } | } = \dfrac { | B F _ { 2 } | } { | A F _ { 2 } | } = \dfrac { 1 } { 2 }\)．
\({\color{Red}{(对\overrightarrow{AB} =3\overrightarrow{F_2B}用向量坐标法也可求出点B坐标) }}\)
所以\(y _ { B } = - \dfrac { 1 } { 2 } b\)，\(| C F _ { 2 } | = \dfrac { 1 } { 2 } c\)，所以\(B ( \dfrac { 3 c } { 2 } , - \dfrac { b } { 2 } )\)．
代入椭圆方程可得：\(\dfrac { 9 c ^ { 2 } } { 4 a ^ { 2 } } + \dfrac { 1 } { 4 } = 1\)，解得\(\dfrac { c ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } = \dfrac { 1 } { 3 }\)．
所以\(e = \dfrac { c } { a } = \dfrac { \sqrt { 3 } } { 3 }\)．
故选：\(B\)．
【点拨】处理类似\(\overrightarrow{AB}=3\overrightarrow{F_2 B}\)这样的向量共线条件，可以用坐标法或相似三角形的方法处理.
【典题5】已知椭圆\(\dfrac { x ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } + \dfrac { y ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } = 1 ( a \gt b \gt 0 )\)的左、右焦点分别为\(F _ { 1 } , F _ { 2 }\)，\(B,C\)分别为椭圆的上、下顶点，直线\(B F _ { 2 }\)与椭圆的另一个交点为\(D\)，若\(\cos \angle F _ { 1 } B F _ { 2 } = \dfrac { 7 } { 25 }\)，则直线\(CD\)的斜率为\(\underline{\quad \quad }\) .
【解析】在三角形\(\triangle F _ { 1 } B F _ { 2 }\)中，
由余弦定理可得\(\cos \angle F _ { 1 } B F _ { 2 } = \dfrac { 7 } { 25 }\Rightarrow \dfrac { a ^ { 2 } + a ^ { 2 } - 4 c ^ { 2 } } { 2 a ^ { 2 } } = \dfrac { 7 } { 25 }\)，解得\(\dfrac { c } { a } = \dfrac { 3 } { 5 }\)，
\({\color{Red}{(用二倍角公式求出cos∠OBF_2也可以) }}\)
可设\(a = 5 t ，c = 3 t\)，则\(b = \sqrt { a ^ { 2 } - c ^ { 2 } } = 4 t\)
设\(D ( m , n )\)，即有\(\dfrac { m ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } + \dfrac { n ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } = 1\)，
因为\(B ( 0 , b ) , C ( 0 , - b )\)，
所以\(k _ { B D } \cdot k _ { C D } = \dfrac { n - b } { m } \cdot \dfrac { n + b } { m } = \dfrac { n ^ { 2 } - b ^ { 2 } } { m ^ { 2 } } = \dfrac { n ^ { 2 } - b ^ { 2 } } { a ^ { 2 } ( 1 - \dfrac { n ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } ) } = - \dfrac { b ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } =- \dfrac {16}{25}\)
\({\color{Red}{(这是由一定理想到的：A,B是椭圆上关于原点对称的两点，P是椭圆上异于A,B的一点，且k _ { PA } , k _ { P B }存在，}}\)
\({\color{Red}{则 k _ { PA } \cdot k _ { P B } = e ^ { 2 } - 1 = - \dfrac { b ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } .椭圆第三定义)}}\)
由\(k _ { B D } = k _ { B F _ { 2 } } = - \dfrac { b } { c } = - \dfrac { 4 } { 3 }\)，所以\(k _ { C D } = \dfrac { 12 } { 25 }\)．
【点拨】
①处理斜率问题常用到斜率公式\(k = \dfrac { y _ { 2 } - y _ { 1 } } { x _ { 2 } - x _ { 1 } }\)；
②本题另一思路：求出直线\(BF_2\)的方程---联立方程求出点\(D\)---求\(k_{CD}\)，就是计算量大些.
巩固练习
1 (★) 已知椭圆\(\dfrac { x ^ { 2 } } { 2 m ^ { 2 } - n } + \dfrac { y ^ { 2 } } { n - m ^ { 2 } } = 1\)的焦点在\(x\)轴上，若椭圆的短轴长为\(4\)，则\(n\)的取值范围是( )
A．\(( 12 , + \infty )\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) B．\((4,12)\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) C．\((4,6)\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) D．\(( 6 , + \infty )\)
2 (★) 椭圆\(x ^ { 2 } + m y ^ { 2 } = 1\)的长轴长是短轴长的两倍，则\(m\)的值为\(\underline{\quad \quad }\)．
3 (★) 椭圆\(\dfrac { x ^ { 2 } } { 9 } + \dfrac { y ^ { 2 } } { 2 } = 1\)的焦点为\(F _ { 1 } , F _ { 2 }\)，点\(P\)在椭圆上，若\(| P F _ { 2 } | = 2\)，则\(\angle F _ { 1 } P F _ { 2 }\)的大小为\(\underline{\quad \quad }\) ．
4 (★★)已知椭圆\(C : \dfrac { x ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } + \dfrac { y ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } = 1 ( a \gt b \gt 0 )\)的左、右焦点为\(F _ { 1 } , F _ { 2 }\)，\(O\)为坐标原点\(M\)为椭圆上一点．\(F _ { 1 } M\)与\(y\)与轴交于一点\(N\)，\(| O M | = | O F _ { 2 } | = \sqrt { 3 } | O N |\)，则椭圆\(C\)的离心率为 \(\underline{\quad \quad }\)．
5 (★★)设点\(P\)为椭圆\(\dfrac { x ^ { 2 } } { 49 } + \dfrac { y ^ { 2 } } { 24 } = 1\)上一点、\(F _ { 1 } , F _ { 2 }\)分别是椭圆的左、右焦点，\(G\)为\(\triangle P F _ { 1 } F _ { 2 }\)的重心，且\(P F _ { 1 } \perp P F _ { 2 }\)，那么\(\triangle GPF _ { 2 }\)的面积为 \(\underline{\quad \quad }\) ．
参考答案
1.\(A\)
2.\(4\)或\(\dfrac { 1 } { 4 }\)
3.\(120 ^ { \circ }\)
4.\(\sqrt { 3 } - 1\)
5.\(8\)
【题型四】最值问题
情况1 求离心率范围
【典题1】如图，已知椭圆\(C : \dfrac { x ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } + \dfrac { y ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } = 1 ( a \gt b \gt 0 )\)的左，右焦点分别为\(F _ { 1 } , F _ { 2 }\)，焦距为\(2c\)，\(P\)是椭圆上一点(不在坐标轴上)，\(Q\)是\(\angle F _ { 1 } P F _ { 2 }\)的平分线与轴的交点，若\(| Q F _ { 2 } | = 2 | O Q |\)，则椭圆离心率的范围是\(\underline{\quad \quad }\) ．
【解析】因为\(| Q F _ { 2 } | = 2 | O Q |\)，所以\(| Q F _ { 2 } | = \dfrac { 2 } { 3 } c ， | Q F _ { 1 } | = \dfrac { 4 } { 3 } c\)
因为\(PQ\)是\(\angle F _ { 1 } P F _ { 2 }\)的角平分线，所以\(\dfrac { | P F _ { 1 } | } { | P F_ { 2 } |} = \dfrac { | Q F _ { 1 } | } { | Q F _ { 2 } | } = \dfrac { \dfrac { 4 } { 3 } c } { \dfrac { 2 } { 3 }c } = 2\)
则\(| P F _ { 1 } | = 2 | P F _ { 2 } |\)，
由\(| P F _ { 1 } | + | P F _ { 2 } | = 3 | P F _ { 2 } | = 2 a\)，得\(| P F _ { 2 } | = \dfrac { 2 a } { 3 }\)
由\(a - c \lt \dfrac { 2 a } { 3 } \lt a + c\)，可得\(e = \dfrac { c } { a } \gt \dfrac { 1 } { 3 }\)，
由\(0 \lt e \lt 1\)，所以椭圆离心率的范围是\(( \dfrac { 1 } { 3 } , 1 )\)．
【点拨】
①角平分线定理：如图，在\(\triangle A B C\)中，\(AD\)是\(\angle B A C\)的角平分线，则\(\dfrac { AB } { B D } = \dfrac { A C } { C D }\).
②求离心率的范围的一般思路：求出\(a,b,c\)任意两个量比值的范围得到关于离心率\(e\)的不等式，从而求出\(e\)的范围，同时也要注意椭圆中\(0 \lt e \lt 1\).
【典题2】已知椭圆\(\dfrac { x ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } + \dfrac { y ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } = 1 ( a \gt b \gt 0 )\)的左、右焦点分别为\(F _ { 1 } , F _ { 2 }\)，点\(P\)是椭圆上一点，直线\(F _ { 2 } M\)垂直于\(OP\)且交线段\(F _ { 1 } P\)于点\(M\)，\(| F _ { 1 } M | = 2 | M P |\)，则该椭圆的离心率的取值范围是\(\underline{\quad \quad }\) .
【解析】设\(P ( m , n ) , | m | \lt a\)，
又\(F _ { 1 } ( - c , 0 ) , F _ { 2 } ( c , 0 )\)，所以\(\overrightarrow{F _ { 1 } P} = ( m + c , n ) ,\overrightarrow{ F _ { 1 } M }= ( x _ { M } + c , y _ { M } )\)，
因为\(| F _ { 1 } M | = 2 | M P |\)，所以\(\overrightarrow{F _ { 1 } M} = \dfrac { 2 } { 3 } \overrightarrow{ F _ { 1 } P }\)，所以\(x _ { M } = \dfrac { 2 m - c } { 3 } , y _ { M } = \dfrac { 2 n } { 3 }\)，
即\(M ( \dfrac { 2 m - c } { 3 } , \dfrac { 2 n } { 3 } )\)，所以\(\overrightarrow{F _ { 2 } M} = ( \dfrac { 2 m - 4 c } { 3 } , \dfrac { 2 n } { 3 } )\)
又\(\overrightarrow {OP}= ( m , n ) , O P \perp F _ { 2 } M\)，所以\(\overrightarrow {OP} \cdot \overrightarrow {F _ { 2 } M }= 0\)，
所以\(\dfrac { 2 m - 4 c } { 3 } \cdot m + \dfrac { 2 n } { 3 } \cdot n = 0\)，化为\(n ^ { 2 } = m ( 2 c - m )\)，
由\(P\)在椭圆上，可得\(n ^ { 2 } = b ^ { 2 } ( 1 - \dfrac { m ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } )\)，
可得\(m ( 2 c - m ) = b ^ { 2 } ( 1 - \dfrac { m ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } )\)，
化为\(\dfrac { c ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } m ^ { 2 } - 2 c m + a ^ { 2 } - c ^ { 2 } = 0\)，解得\(m = \dfrac { a ^ { 2 } } { c } - a\)或\(m = \dfrac { a ^ { 2 } } { c } + a\)(舍去)，
由\(\dfrac { a ^ { 2 } } { c } - a \lt a\)，可得\(2 c \gt a\)，即有\(e = \dfrac { c } { a } \gt \dfrac { 1 } { 2 }\)，
又\(0 \lt e \lt 1\)，所以\(\dfrac { 1 } { 2 } \lt e \lt 1\)．
【点拨】
①设\(P ( m , n )\)，由\(| F _ { 1 } M | = 2 | M P |\)怎么得到点\(M\)的坐标？解答中用向量坐标法；还可以用相似三角形的方法，过点\(M\)作\(M A \perp F _ { 1 } F _ { 2 }\)，过点\(P\)作\(PB\perp F _ { 1 } F _ { 2 }\)，易得\(\triangle M A F _ { 1 } \sim \triangle P F _ { 1 } B\)，由相似三角形的性质可得\(M ( \dfrac { 2 m - c } { 3 } , \dfrac { 2 n } { 3 } )\)，但本题向量法来得更直接些；
②题中出现\(A B \perp C D\)垂直一般怎么处理呢？
(1) 若要求线段长度，想到勾股定理或直角三角形其他性质；
(2) 想到直线斜率关系，得到\(k _ { A B } \cdot k _ { C D } = - 1 \Rightarrow \dfrac {y_B - y_A}{x_B-x_A} \cdot \dfrac { y _ { D } - y _ { C } } { x _ { D } - x _ { C } } = - 1 \Rightarrow\)
\(( x _ { B } - x _ { A } ) ( x _ { D } - x _ { C } ) + ( y _ { B } - y _ { A } ) ( y _ { D } - y _ { C } ) = 0\)，
但要注意两直线的斜率是否都存在;
(3) 想到向量的关系，得到\(\overrightarrow { A B } \cdot\overrightarrow { C D }= 0 \Rightarrow ( x _ { B } - x _ { A } ) ( x _ { D } - x _ { C } ) + ( y _ { B } - y _ { A } ) ( y _ { D } - y _ { C } ) = 0\);
本题中处理垂直关系\(O P \perp F _ { 2 } M\)用的是向量坐标法.
情况2 几何法求范围
【典题1】在平面直角坐标系\(xoy\)中，\(P\)是椭圆\(\dfrac { y ^ { 2 } } { 4 } + \dfrac { x ^ { 2 } } { 3 } = 1\)上的一个动点，点\(A ( 1 , 1 ) , B ( 0 , - 1 )\)，则\(|P A | + | P B |\)的最大值为 \(\underline{\quad \quad }\).
【解析】因为椭圆方程为\(\dfrac { y ^ { 2 } } { 4 } + \dfrac { x ^ { 2 } } { 3 } = 1\)，
所以焦点坐标为\(B ( 0 , - 1 )\)和\(B ^ { \prime } ( 0 , 1 )\)，连接\(P B ^ { \prime } , A B ^ { \prime }\)
根据椭圆的定义，得\(| P B | + | P B ^ { \prime } | = 2 a = 4\)，
可得\(| P B | = 4 - | P B ^ { \prime } |\)，
因此\(| P A | + | P B | = | P A | + ( 4 - | P B ^ { \prime } | ) = 4 + ( | P A | - | P B ^ { \prime } | )\)，因为\(| P A | - | P B ^ { \prime } | \leq | A B ^ { \prime } |\)，所以\(| P A | + | P B | \leq 4 + | A B ^ { \prime } | = 4 + 1 = 5\)．
当且仅当点在延长线上时，等号成立．
综上所述，可得\(|P A | + | P B |\)的最大值为\(5\)．
【点拨】
①本题主要是通过椭圆的定义得到\(|PB| + |PB^{\prime }|=4\)，把“求\(|P A | + | P B |\)的最大值”转化为“求\(| P A| - | P B ^ { \prime } |\)的最大值”，当\(P , B ^ { \prime } , A\)三点共线取到最值；
②三点共线时就是取到最值，这常用于“求\(AB+AC\)的最小值”与“\(AB-AC\)的最大值”，本题若求\(PA+PB\)的最小值，则是\(AB=\sqrt 5\)；
③本题用函数法求解，设\(P ( x _ { 0 } , y _ { 0 } )\)，则\(P A + P B = \sqrt { ( x _ { 0 } - 1 ) ^ { 2 } + y _ { 0 } ^ { 2 } } + \sqrt { x _ { 0 } ^ { 2 } + ( y _ { 0 } + 1 ) ^ { 2 } }\)，这样再往下思考就比较难了！
情况3 函数法求范围
【典题1】已知椭圆\(C:\dfrac { x ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } + \dfrac { y ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } = 1\)的短轴长为\(2\)，焦距为\(2\sqrt 3\)、\(F_1,F_2\)分别是椭圆的左、右焦点，若点\(P\)为\(C\)上的任意一点，则\(\dfrac { 1 } { | P F _ { 1}| } + \dfrac { 1 } { | P F _ { 2 } | }\)的最小值为\(\underline{\quad \quad }\).
【解析】根据条件可得\(b=1,c=\sqrt 3\)，故\(a=2\)，
则根据椭圆定义可知\(| P F _ { 1 } | + | P F _ { 2 } | = 2 a = 4\)，
\({\color{Red}{方法一}}\)
所以\(\dfrac {1} {|PF_1| } + \dfrac {1} {|PF_2|} = \dfrac { 1 } { 4 } ( \dfrac { 1 } { |PF_1|} + \dfrac { 1 } { | P F _ { 2 } | } ) (|PF_{ 1 }| + | P F _ { 2 } | ) = \dfrac { 1 } { 4 } ( 2 + \dfrac { | P F _ { 2 } | } { |P F _ { 1 } | } + \dfrac { | P F _ { 1 } | } { | P F _ { 2 } | } ) \geq 1\)
当\(| P F _ { 1 } | = | P F _ { 2 } |\)，即\(P\)椭圆上下顶点时，取到等号，
所以\(\dfrac { 1 } { | P F _ { 1}| } + \dfrac { 1 } { | P F _ { 2 } | }\)的最小值为\(1\).
\({\color{Red}{方法二}}\) 设\(| P F _ { 1 } | = t\)，则\(| P F _ { 2 } | = 4 - t\)，
所以\(\dfrac { 1 } {| P F _ { 1 } |} + \dfrac { 1 } { | P F _ { 2 } | } = \dfrac { 4 } { | P F _ { 1 } | | P F _ { 2 }| } = \dfrac { 4 } { t ( 4 - t ) } = \dfrac { 4 } { - ( t - 2 ) ^ { 2 } + 4 }\)
令\(f ( t ) = \dfrac { 4 } { - ( t - 2 ) ^ { 2 } + 4 }\)，
因为\(a - c \leq | P F _ { 1 } | \leq a + c \Rightarrow 2 - \sqrt { 3 } \leq | P F _ { 1 } | \leq 2 + \sqrt { 3 }\)，
所以\(2 - \sqrt { 3 } \leq t \leq 2 + \sqrt { 3 }\)，所以\(1 \leq - ( t - 2 ) ^ { 2 } + 4 \leq 4\)，
所以\(1 \leq \dfrac { 4 } { - ( t - 2 ) ^ { 2 } + 4 } \leq 4\)，
所以\(\dfrac { 1 } { | P F _ { 1}| } + \dfrac { 1 } { | P F _ { 2 } | }\)的最小值为\(1\).
【点拨】
方法一是利用基本不等式\(a + b \geq 2 \sqrt { a b } ( a \gt 0 , b \gt 0 )\)，方法二是构造了函数进行求解，此时要注意自变量的取值范围，函数问题谨记“优先考虑定义域”.
【典题2】已知\(F_1,F_2\)分别是椭圆\(C : \dfrac { x ^ { 2 } } { 8 } + \dfrac { y ^ { 2 } } { 4 } = 1\)的左、右焦点，点\(P\)是圆\(O: x ^ { 2 } + y ^ { 2 } = 1\)上的一个动点，则\(| P F _ { 1 } | \cdot | P F _ { 2 } |\)的取值范围是\(\underline{\quad \quad }\).
【解析】由椭圆方程可知\(F _ { 1 } ( - 2 , 0 ) , F _ { 2 } ( 2 , 0 )\)，
由\(P\)在圆\(O\)上，设\(P ( \cos \theta , \sin \theta )\)，
所以\(| P F _ { 1 } | \cdot | P F _ { 2 } | = \sqrt { ( \cos \theta + 2 ) ^ { 2 } + \sin ^ { 2 } \theta } \cdot \sqrt { ( \cos \theta - 2 ) ^ { 2 } + \sin ^ { 2 } \theta } = \sqrt { 25 - 16 \cos ^ { 2 } \theta }\)
所以\(| P F _ { 1 } | \cdot | P F _ { 2 } |\)的取值范围\([3，5]\).
【点拨】
①\(P\)在圆\(( x - a ) ^ { 2 } + ( y - b ) ^ { 2 } = r ^ { 2 }\)上，可设\(P ( r \cos \theta + a , r \sin \theta + b )\);
②求最值时，线段可用两点距离公式\(A B = \sqrt { ( x _ { 1 } - x _ { 2 } ) ^ { 2 } + ( y _ { 1 } - y _ { 2 } ) ^ { 2 } }\)表示出来;
③本题也可设\(P ( x _ { 0 } , y _ { 0 } )\)，则\(| P F _ { 1 } | \cdot | P F _ { 2 } | = \sqrt { ( x _ { 0 } + 2 ) ^ { 2 } + y _ { 0 } ^ { 2 } } \cdot \sqrt { ( x _ { 0 } - 2 ) ^ { 2 } + y _ { 0 } ^ { 2 } } = \sqrt { 25 - 16 x _ { 0 } ^ { 2 } }\)此时要注意\(- 1 \leq x _ { 0 } \leq 1\)，则\(3 \leq \sqrt { 25 - 16 x _ { 0 } ^ { 2 } } \leq 5\).
【典题3】已知椭圆\(C : \dfrac { x ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } + \dfrac { y ^ { 2 } } { 16 } = 1 ( a \gt 4 )\)与圆\(O: x ^ { 2 } + y ^ { 2 } = 25\)恰有两个公共点，若点\(P\)在\(C\)上，且位于第一或第四象限，点\(F\)为\(C\)的右焦点，则\(\overrightarrow {O P} \cdot \overrightarrow { P F}\)的取值范围为\(\underline{\quad \quad }\) .
【解析】因为椭圆\(C\)与圆\(O\)恰有两个公共点
所以圆\(O\)过\(C\)的长轴的两个端点，即\(a=5
\)，
故\(C\)的方程为\(\dfrac { x ^ { 2 } } { 25 } + \dfrac { y ^ { 2 } } { 16 } = 1\)．
设\(P ( m , n ) ( 0 \lt m \lt 5 )\)，则\(\dfrac { m ^ { 2 } } { 25 } + \dfrac { n ^ { 2 } } { 16 } = 1\)，则\(n ^ { 2 } = 16 - \dfrac { 16 } { 25 } m ^ { 2 }\)．
所以\(\overrightarrow {O P} \cdot \overrightarrow { P F}= ( m , n ) \cdot ( 3 - m , - n ) = 3 m - m ^ { 2 } - n ^ { 2 } = 3 m - m ^ { 2 } - ( 16 - \dfrac { 16 } { 25 } m ^ { 2 } )\)
\(= - \dfrac { 9 } { 25 } m ^ { 2 } + 3 m - 16 = - \dfrac { 9 } { 25 } ( m - \dfrac { 25 } { 6 } ) ^ { 2 } - \dfrac { 39 } { 4 }\)．
因为\(0 \lt m \lt 5\)，所以\(- 16 \lt - \dfrac { 9 } { 25 } ( m - \dfrac { 25 } { 6 } ) ^ { 2 } - \dfrac { 39 } { 4 } \leq - \dfrac { 39 } { 4 }\)，
所以\(\overrightarrow {O P} \cdot \overrightarrow { P F}\)的取值范围为\(( - 16 , - \dfrac { 39 } { 4 } ]\)．
【点拨】
①在圆锥曲线中处理向量可用坐标表示，转化为变量之间的关系，求\(\overrightarrow {O P} \cdot \overrightarrow { P F}\)的取值范围变为求\(3 m - m ^ { 2 } - n ^ { 2 }\)的范围；
②求\(\overrightarrow {O P} \cdot \overrightarrow { P F} =3 m - m ^ { 2 } - n ^ { 2 }\)的范围，式子出现两个变量\(m,n\)，注意到点\(P\)在椭圆上得\(\dfrac { m ^ { 2 } } { 25 } + \dfrac { n ^ { 2 } } { 16 } = 1\)，则\(3 m - m ^ { 2 } - n ^ { 2 } = - \dfrac { 9 } { 25 } m ^ { 2 } + 3 m - 16\)，消元达到两变量化为一变量，进而用函数思想处理；
③求\(- \dfrac { 9 } { 25 } m ^ { 2 } + 3 m - 16\)的范围，要注意自变量\(m\)的范围\(0 \lt m \lt 5\).
巩固练习
1 (★★)设椭圆\(C:\dfrac { x ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } + \dfrac { y ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } = 1 ( a \gt b \gt 0 )\)的两个焦点分别为\(F_1,F_2\)，若在\(x\)轴上方的\(C\)上存在两个不同的点\(M,N\)满足\(\angle F _ { 1 } M F _ { 2 } =\angle F _ { 1 } N F _ { 2 } = \dfrac { 2 \pi } { 3 }\)，则椭圆\(C\)离心率的取值范围是( )
A．\(( 0 , \dfrac { \sqrt { 3 } } { 2 } ]\) \(\qquad \qquad\) B．\(( \dfrac { 1 } { 2 } , 1 )\) \(\qquad \qquad\) C．\(( \dfrac { \sqrt { 3 } } { 2 } , 1 )\) \(\qquad \qquad\)D．\(( \dfrac { \sqrt { 2 } } { 2 } , \dfrac { \sqrt { 3 } } { 2 } )\)
2 (★★) 点\(P\)为椭圆\(\dfrac { x ^ { 2 } } { 25 } + \dfrac { y ^ { 2 } } { 16 } = 1\)上一点，\(M\)、\(N\)分别是圆\(( x + 3 ) ^ { 2 } + y ^ { 2 } = 4\)和\(( x - 3 ) ^ { 2 } + y ^ { 2 } = 1\)上的动点，则\(PM+PN\)的取值范围是\(\underline{\quad \quad }\)．
3 (★★) 已知\(F\)是椭圆\(\dfrac { x ^ { 2 } } { 2 } + y ^ { 2 } = 1\)的右焦点，\(P\)是椭圆上一动点，\(A(0,\dfrac {1}{2} )\)，则\(\triangle APF\)周长的最大值为\(\underline{\quad \quad }\).
4 (★★★) 已知椭圆\(C: \dfrac { x ^ { 2 } } { 16 } + \dfrac { 3 y ^ { 2 } } { 16 } = 1\)，\(M\)为椭圆\(C\)上的一个动点，以\(M\)为圆心，\(2\)为半径作圆为圆\(M\)，\(OP,OQ\)为圆\(M\)的两条切线，\(P,Q\)为切点，则\(\angle POQ\)的取值范围是\(\underline{\quad \quad }\)
5 (★★★) 已知椭圆\(C: \dfrac { x ^ { 2 } } { 4 } + \dfrac { y ^ { 2 } } { 3 } = 1\)的右焦点为\(F\)，过原点\(O\)的直线与椭圆交于\(A,B\)两点，则\(\dfrac { 1 } { | A F | } + \dfrac { 1 } { | B F | }\)的取值范围为 \(\underline{\quad \quad }\) .
6 (★★★) 已知椭圆\(\dfrac { x ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } + \dfrac { y ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } = 1 ( a \gt b \gt 0 )\)上一点\(A\)关于原点的对称点为\(B\)，\(F\)为其右焦点，若\(A F\perp B F\)，设\(\angle A B F = \alpha\)，且\(\alpha \in [ \dfrac { \pi } { 12 } , \dfrac { \pi } { 6 } ]\)，则该椭圆离心率的取值范围为\(\underline{\quad \quad }\)．
7 (★★) 已知椭圆\(\dfrac { x ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } + \dfrac { y ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } = 1 ( a \gt b \gt 0 )\)的左焦点为\(F\)，\(A(a,0)\)，\(B(0,b)\)，点\(M\)满足\(\overrightarrow {BM} = 2\overrightarrow {MA}\)，则直线\(FM\)的斜率取值范围是\(\underline{\quad \quad }\) ．
8 (★★★) 已知椭圆\(C:\dfrac { x ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } + \dfrac { y ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } = 1 ( a \gt b \gt 0 )\)的左、右焦点分别为\(F_1,F_2\)，点\(P ( x _ { 1 } , y _ { 1 } ) , Q ( - x _ { 1 } , - y _ { 1 } )\)在椭圆上，其中\(x _ { 1 } \gt 0 , y _ { 1 } \gt 0\)，若\(| P Q | = 2 | O F _ { 2 } |\)，\(\dfrac {|Q F _ { 1 }| } {| P F_ { 1 } |} \geq \dfrac { \sqrt { 3 } } { 3 }\)，则椭圆的离心率的取值范围为\(\underline{\quad \quad }\) ．
参考答案
- \(C\)
- \([7,13]\)
- \(\sqrt { 5 } + 2 \sqrt { 2 }\)
- \([ \dfrac { \pi } { 3 } , \dfrac { 2 \pi } { 3 } ]\)
- \([ 1 , \dfrac { 4 } { 3 } ]\)
- \([ \sqrt { 3 } - 1 , \dfrac { \sqrt { 6 } } { 3 } ]\)
- \((0,\dfrac {1}{2})\)
- \(( \dfrac { \sqrt { 2 } } { 2 } , \sqrt { 3 } - 1 ]\)
