3.1 椭圆
\(\mathbf{{\large {\color{Red} {欢迎到学科网下载资料学习}} } }\)【高分突破系列】 高二数学上学期同步知识点剖析精品讲义!
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模块导图
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知识剖析
定义
平面内与两个定点\(F _ { 1 } , F _ { 2 }\)的距离之和等于常数(大于\(F _ { 1 }F _ { 2 }\))的点的轨迹称为椭圆.这两个定点称为椭圆的焦点,两焦点的距离称为椭圆的焦距.
如图:\(P\)是椭圆上一点,\(PF_{ 1 } + PF_{ 2 } = 2 a \gt F _ { 1 } F _ { 2 }\).
\({\color{Red}{解释}}\)
\(P F _ { 1 } + P F _ { 2 } = 2 a \gt F _ { 1 } F _ { 2 } \Rightarrow\)点\(P\)的轨迹是以\(F _ { 1 } , F _ { 2 }\)为焦点的椭圆;
\(P F _ { 1 } + P F _ { 2 } = 2 a= F _ { 1 } F _ { 2 } \Rightarrow\)点\(P\)的轨迹是线段;
\(P F _ { 1 } + P F _ { 2 } = 2 a < F _ { 1 } F _ { 2 } \Rightarrow\)点\(P\)的轨迹是无轨迹.
几何性质
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一些常见结论
①通径:过焦点且垂直于长轴的弦,其长度为\(\dfrac{2b^2}{a}\);
②最大角,\(P\)是椭圆上一点,当运动到短轴端点时,\(∠F_1 PF_2\)为最大角;
③焦点三角形面积\(S_{∆PF_1 F_2 }=b^2 \tan\dfrac{∠F_1 PF_2}{2}\);
④焦半径\(PF_1=a+ex_0,PF_2=a-ex_0\);
⑤椭圆\(\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2} =1(a>b>0)\)的参数方程\(\begin{cases} { x = a \cos \theta } \\ { y = b \sin \theta } \end{cases} (θ为参数)\).
经典例题
【题型一】椭圆的定义
【典题1】设定点\(F _ { 1 } ( 0 , - 3 ) , F _ { 2 } ( 0 , 3 )\)动点\(P\)满足条件\(| P F _ { 1 } | - a = \dfrac { 9 } { a } - | P F _ { 2 } | ( a \gt 0 )\)则点的轨迹是 ( )
A.椭圆 \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) B.线段 \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) C.不存在 \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) D.椭圆或线段
【解析】由题意得\(| P F _ { 1 } | - a = \dfrac { 9 } { a } - | P F _ { 2 } | ( a \gt 0 )\)
所以\(| P F _ { 1 } | + | P F _ { 2 } | = a + \dfrac { 9 } { a } \geq 2 \sqrt { a \cdot \dfrac { 9 } { a } } = 6\)
当且仅当\(a = \dfrac { 9 } { a }\)时取等号,此时\(a=3\),则\(| P F _ { 1 } | + | P F _ { 2 } | \geq 6\)
因为定点\(F _ { 1 } ( 0 , - 3 ) , F _ { 2 } ( 0 , 3 )\),所以\(| F _ { 1 } F _ { 2 } | = 6\)
当\(| P F _ { 1 } | + | P F _ { 2 } | = 6\)时,点\(P\)的轨迹是线段\(F _ { 1 } F _ { 2 }\);
当\(| P F _ { 1 } | + | P F _ { 2 } | > 6\)时,点\(P\)的轨迹是以\(F _ { 1 } ,F _ { 2 }\)为焦点的椭圆;
故选:D.
【点拨】
\(P F _ { 1 } + P F _ { 2 } = 2 a \gt F _ { 1 } F _ { 2 } \Rightarrow\)点\(P\)的轨迹是以\(F _ { 1 } , F _ { 2 }\)为焦点的椭圆;
\(P F _ { 1 } + P F _ { 2 } = 2 a= F _ { 1 } F _ { 2 } \Rightarrow\)点\(P\)的轨迹是线段;
\(P F _ { 1 } + P F _ { 2 } = 2 a < F _ { 1 } F _ { 2 } \Rightarrow\)点\(P\)的轨迹是无轨迹.
【典题2】如图,点\(A\)是平面\(\alpha\)外一定点,过\(A\)作平面\(\alpha\)的斜线\(l\),斜线\(l\)与平面\(\alpha\)所成角为\(50 ^ { \circ }\).若点\(P\)在平面\(\alpha\)内运动,并使直线\(AP\)与\(l\)所成角为\(35 ^ { \circ }\),则动点\(P\)的轨迹是( )
A.圆 \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) B.椭圆 \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) C.抛物线 \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) D.双曲线的一支
【解析】用垂直于锥轴的平面去截圆锥,得到的是圆;把平面渐渐倾斜,得到椭圆;当平面和圆锥的一条母线平行时,得到抛物线;当平面再倾斜一些就可以得到双曲线.
故可知动点\(P\)的轨迹是椭圆的一部分.
故选:B.
巩固练习
1 (★) 设为定点\(F _ { 1 } ( - 4 , 0 ) , F _ { 2 } ( 4 , 0 )\),动点\(M\)满足\(| M F _ { 1 } | + | M F _ { 2 } | = 8\),则动点\(M\)的轨迹是( )
A.椭圆 \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) B.直线 \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) C.圆 \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) D.线段
2 (★★) 在棱长为\(1\)的正方体\(A B C D - A ^ { \prime } B ^ { \prime } C ^ { \prime } D ^ { \prime }\)中,若点\(P\)是棱上一点,则满足\(| P A | + | P C ^ { \prime } | = 2\)的点\(P\)的个数为( )
A.\(4\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) B.\(6\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) C.\(8\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) D.\(12\)
答案
1.\(B\)
2.\(B\)
【题型二】椭圆方程
【典题1】已知方程\(4 x ^ { 2 } + k y ^ { 2 } = 1\)的曲线是焦点在\(y\)轴上的椭圆,则实数\(k\)的取值范围为\(\underline{\quad \quad }\) .
【解析】椭圆方程\(4 x ^ { 2 } + k y ^ { 2 } = 1\)化为\(\dfrac { x ^ { 2 } } { \dfrac { 1 } { 4 } } + \dfrac { y ^ { 2 } } { \dfrac { 1 } { k } } = 1\), \({\color{Red}{(化为标准式)}}\)
由于椭圆的焦点在\(y\)轴上,则\(\dfrac { 1 } { k } \gt \dfrac { 1 } { 4 }\),即\(0 \lt k \lt 4\),
故答案为:\((0 ,4)\).
【点拨】
曲线方程\(C : \dfrac { x ^ { 2 } } { m } + \dfrac { y ^ { 2 } } { n } = 1\)
当\(m \gt 0 , n \gt 0\)且\(m \neq n\)时为椭圆(若\(m=n\)那就是圆了);
当\(m \gt n \gt 0\)时,\(C\)为焦点在\(x\)轴上的椭圆且\(a ^ { 2 } = m\);
当\(n\gt m \gt 0\)时,\(C\)为焦点在\(y\)轴上的椭圆且\(a ^ { 2 } = n\).
简而言之:看分母大小.
【典题2】经过两点\(A ( 0 , 2 ) , B ( \dfrac { 1 } { 2 } , \sqrt { 3 } )\)的椭圆的标准方程为\(\underline{\quad \quad }\).
【解析】由题意,设椭圆的方程为\(\dfrac { x ^ { 2 } } { m } + \dfrac { y ^ { 2 } } { n } = 1\),\({\color{Red}{(待定系数法)}}\)
则\(\left\{\begin{array}{l}
\dfrac{4}{n}=1 \\
\dfrac{1}{4 m}+\dfrac{3}{n}=1
\end{array}\right.\),解得\(\{ \begin{array} { l } { m = 1 } \\ { n = 4 } \end{array}\).
所以椭圆的标准方程为\(x ^ { 2 } + \dfrac { y ^ { 2 } } { 4 } = 1\).
【点拨】过两个点的椭圆设为\(\dfrac { x ^ { 2 } } { m } + \dfrac { y ^ { 2 } } { n } = 1\)可避免对焦点在轴还是轴的分类讨论.
【典题3】已知\(F ( \sqrt { 2 } , 0 )\)是椭圆\(E : \dfrac { x ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } + \dfrac { y ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } = 1 ( a \gt b \gt 0 )\)的右焦点,且\(E\)过点\(( \sqrt { 2 } , 1 )\),则椭圆\(E\)的标准方程为\(\underline{\quad \quad }\) .
【解析】 \({\color{Red}{ 方法一}}\) 已知\(F ( \sqrt { 2 } , 0 )\)是椭圆\(E : \dfrac { x ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } + \dfrac { y ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } = 1 ( a \gt b \gt 0 )\)的右焦点,且\(E\)过点\(( \sqrt { 2 } , 1 )\),,
可得解得\(\left\{\begin{array}{l}
a^{2}-b^{2}=c^{2}=2 \\
\dfrac{2}{a^{2}}+\dfrac{1}{b^{2}}=1
\end{array}\right.\),解得\(a= 2 , b = \sqrt { 2 }\),
\({\color{Red}{(这里求a,b可“猜”,由 \dfrac { 2 } { a ^ { 2 } } + \dfrac { 1 } { b ^ { 2 } } = 1可猜a^2 =3或4等,若解方程计算量较大)}}\)
所以所求椭圆方程为:\(\dfrac { x ^ { 2 } } { 4 } + \dfrac { y ^ { 2 } } { 2 } = 1\).
\({\color{Red}{方法二}}\) 依题意可知,椭圆的两个焦点分别为\(F _ { 1 } ( - \sqrt { 2 } , 0 ) , F _ { 2 } ( \sqrt { 2 } , 0 )\),
由椭圆的定义,可知\(2 a = E F _ { 1 } + E F _ { 2 } = \sqrt { ( \sqrt { 2 } + \sqrt { 2 } ) ^ { 2 } + ( 1 - 0 ) ^ { 2 } + 1 } = 4 \Rightarrow a = 2\),
又\(c = \sqrt { 2 }\),所以\(b = \sqrt { a ^ { 2 } - c ^ { 2 } } = \sqrt { 2 }\);
所以所求椭圆方程为:\(\dfrac { x ^ { 2 } } { 4 } + \dfrac { y ^ { 2 } } { 2 } = 1\).
【点拨】方法二利用椭圆的定义求解,计算量较小.
巩固练习
1 (★)已知方程\(\dfrac { x ^ { 2 } } { 4 - k } + \dfrac { y ^ { 2 } } { k - 1 } = 1\)表示焦点在轴上的椭圆,则\(k\)的取值范围是\(\underline{\quad \quad }\).
2 (★)已知\(B,C\)是两个定点,\(BC=6\),且\(\triangle A B C\)的周长等于\(16\),则顶点\(A\)的轨迹方程为 \(\underline{\quad \quad }\) .
3 (★)焦点在\(x\)轴上,焦距等于\(4\),且经过点\(P ( 3 , - 2 \sqrt { 6 } )\)的椭圆标准方程是\(\underline{\quad \quad }\) .
参考答案
- \(( 1 , \dfrac { 5 } { 2 } )\)
- \(\dfrac { x ^ { 2 } } { 25 } + \dfrac { y ^ { 2 } } { 16 } = 1 ( y \neq 0 )\)或\(\dfrac { y ^ { 2 } } { 25 } + \dfrac { x ^ { 2 } } { 16 } = 1 ( x \neq 0 )\)
- \(\dfrac { x ^ { 2 } } { 36 } + \dfrac { y ^ { 2 } } { 32 } = 1\)
【题型三】椭圆的图像及其性质
【典题1】(多选题)如图,椭圆Ⅰ与Ⅱ有公共的左顶点和左焦点,且椭圆Ⅱ的右顶点为椭圆Ⅰ的中心.设椭圆Ⅰ与Ⅱ的长半轴长分别为\(a_1\)和\(a_2\),半焦距分别为\(c_1\)和\(c_2\),离心率分别为\(e_1\)和\(e_2\),则下列结论正确的是( )
A.\(a_{ 1 } + c_{ 1 } \gt 2 ( a _ { 2 } + c _ { 2 } )\) \(\qquad \qquad\) B.\(a _ { 1 } - c _ { 1 } = a _ { 2 } - c _ { 2 }\) \(\qquad \qquad\) C.\(a _ { 1 } c _ { 2 } \gt a _ { 2 } c _ { 1 }\) \(\qquad \qquad\) D.\(e _ { 1 } = \dfrac { e _ { 2 } + 1 } { 2 }\)
E.椭圆Ⅱ比椭圆更扁
【解析】由题图知\(a _ { 1 } = 2 a _ { 2 } , c _ { 1 } \gt 2 c _ { 2 }\),
对于\(A\),\(a _ { 1 } + c _ { 1 } \gt 2 ( a _ { 2 } + c _ { 2 } )\)正确;故\(A\)正确;
对于\(B\),由图可知\(a _ { 1 } - c _ { 1 } = a _ { 2 } - c _ { 2 }\);故\(B\)正确;
对于\(C\),\(c _ { 1 } \gt 2 c _ { 2 } \Rightarrow a _ { 2 } c _ { 1 } \gt 2 a _ { 2 } c _ { 2 } \Rightarrow a _ { 2 } c _ { 1 } \gt a _ { 1 } c_ { 2 }\),
故\(C\)不正确;
对于\(D\),由图知\(c _ { 1 } = a _ { 2 } + c _ { 2 }\),所以\(e _ { 1 } = \dfrac { c _ { 1 } } { a _ { 1 } } = \dfrac { a _ { 2 } + c _ { 2 } } { 2 a _ { 2 } }\);\(\dfrac { e _ { 2 } + 1 } { 2 } = \dfrac { \dfrac { c _ { 2 } } { a _ { 2 } } + 1 } { 2 } = \dfrac { a _ { 2 } + c _ { 2 } } { 2 a _ { 2 } }\);
所以\(e _ { 1 } = \dfrac { e _ { 2 } + 1 } { 2 }\);故\(D\)正确;
对于\(E\),\(e _ { 1 } = \dfrac { c _ { 1 } } { a _ { 1 } } \gt \dfrac { 2 c _ { 2 } } { 2 a _ { 2 } } = e _ { 2 }\);
∴椭圆Ⅰ比椭圆Ⅱ更扁;故\(E\)不正确;
故正确的为\(ABD\).
【点拨】椭圆的离心率越大就越扁.
【典题2】如图,已知椭圆\(C\)的中心为原点为\(O\),\(F ( - 2 \sqrt { 5 } , 0 )\)为\(C\)的左焦点,\(P\)为\(C\)上一点,满足\(| O P | = | O F |\),且\(| P F | = 4\),则椭圆\(C\)的方程为\(\underline{\quad \quad }\) .
【解析】由题意可得\(c = 2 \sqrt { 5 }\),设右焦点为\(F ^ { \prime }\)
由\(| O P | = | O F | = | O F ^ { \prime } |\),易得\(P F\perp P F ^ { \prime }\).
\({\color{Red}{(P在∆PFF'三角形外接圆上)}}\)
由勾股定理,得\(| P F ^ { \prime } | = \sqrt { F F ^ { \prime 2 } - P F ^ { 2 } } = \sqrt { ( 4 \sqrt { 5 } ) ^ { 2 } - 4 ^ { 2 } } = 8\),
由椭圆定义,得\(| P F | + | P F ^ { \prime } | = 2 a = 4 + 8 = 12\),
从而得\(a=6\),
于是\(b ^ { 2 } = a ^ { 2 } - c ^ { 2 } = 36 - ( 2 \sqrt { 5 } ) ^ { 2 } = 16\),
所以椭圆的方程为\(\dfrac { x ^ { 2 } } { 36 } + \dfrac { y ^ { 2 } } { 16 } = 1\).
【点拨】注意焦点三角形\(\triangle P F F ^ { \prime }\)的运用,常用到椭圆定义\(|PF_1 |+|PF_2 |=2a\).
【典题3】椭圆的离心率为\(\dfrac { \sqrt { 2 } } { 2 }\),\(F\)为椭圆的一个焦点,若椭圆上存在一点与\(F\)关于直线\(y=x+4\)对称,则椭圆方程为\(\underline{\quad \quad }\).
【解析】由椭圆的离心率\(e = \dfrac { c } { a } = \dfrac { \sqrt { 2 } } { 2 }\),则\(a = \sqrt { 2 } c\),
由\(b ^ { 2 } = a ^ { 2 } - c ^ { 2 } = c ^ { 2 }\),则\(b=c\),
不妨设椭圆方程为\(x ^ { 2 } + 2 y ^ { 2 } = 2 b ^ { 2 }\),
所以右焦点\(( - b , 0 )\)关于\(l : y = x + 4\)的对称点设为\(( x ^ { \prime } , y ^ { \prime } )\),
则\(\begin{cases} { \dfrac { y ^ { \prime } } { x y + b } = - 1 } \\ { \dfrac { y ^ { \prime } } { 2 } = \dfrac { x - b } { 2 } + 4 } \end{cases}\),解得\(\begin{cases} { x ^ { \prime } = - 4 } \\ { y ^ { \prime } = 4 - b } \end{cases}
\)
由点\(( - 4 , 4 - b )\)在椭圆上,得\(16 + 2 ( 4 - b ) ^ { 2 } = 2 b ^ { 2 }\),\(b=3\),\(a = 3 \sqrt { 2 }\),
由椭圆的对称性可知椭圆的焦点坐标也可以在\(y\)轴上,
所以椭圆的标准方程为:\(\dfrac { x ^ { 2 } } { 18 } + \dfrac { y ^ { 2 } } { 9 } = 1\)或\(\dfrac { x ^ { 2 } } { 9 } + \dfrac { y ^ { 2 } } { 18 } = 1\).
\({\color{Red}{(注意焦点的位置)}}\)
【点拨】点\(A ( x _ { 1 } , y _ { 1 } )\)与点\(A ^ { \prime } ( x _ { 2 } , y _ { 2 } )\)关于直线\(l\)对称
\(\Rightarrow\)\(A A ^ { \prime }\)的中点\(( \dfrac { x _ { 1 } + x _ { 2 } } { 2 } , \dfrac { y _ { 1 } + y _ { 2 } } { 2 } )\)在直线\(l\)上,\(k _ { A A ^ { \prime } } \cdot k _ { I } = - 1\).
【典题4】已知椭圆\(C : \dfrac { x ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } + \dfrac { y ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } = 1 ( a \gt b \gt 0 )\)的左右焦点分别为\(F _ { 1 } , F _ { 2 }\),点\(A\)是椭圆上一点,线段\(A F _ { 1 }\)的垂直平分线与椭圆的一个交点为\(B\),若\(\overrightarrow{AB} =3\overrightarrow{F_2B}\),则椭圆\(C\)的离心率为( )
A.\(\dfrac { 1 } { 3 }\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) B.\(\dfrac { \sqrt{3} } { 3 }\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) C.\(\dfrac{2}{3}\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) D.\(\dfrac { \sqrt { 6 } } { 3 }\)
【解析】如图所示,
线段段\(A F _ { 1 }\)的垂直平分线与椭圆的一个交点为\(B\),连接\(B F _ { 1 }\),
则\(| A B | = | B F _ { 1 } |\).
因为\(\overrightarrow{AB} =3\overrightarrow{F_2B}\),\(| B F _ { 1 } | + | B F _ { 2 } | = 2 a\),
所以\(| B F _ { 2 } | = \dfrac { a } { 2 }\),\(| A F _ { 2 } | = a\)
所以点\(A\)是椭圆短轴的一个端点,不妨设为上端点.
作\(B C \perp x\)轴,垂足为点\(C\),则\(\triangle A O F _ { 2 } \sim \triangle B C F _ { 2 }\),
所以\(\dfrac { | B C | } { | A O | } = \dfrac { | C F _ { 2 } | } { | O F _ { 2 } | } = \dfrac { | B F _ { 2 } | } { | A F _ { 2 } | } = \dfrac { 1 } { 2 }\).
\({\color{Red}{(对\overrightarrow{AB} =3\overrightarrow{F_2B}用向量坐标法也可求出点B坐标) }}\)
所以\(y _ { B } = - \dfrac { 1 } { 2 } b\),\(| C F _ { 2 } | = \dfrac { 1 } { 2 } c\),所以\(B ( \dfrac { 3 c } { 2 } , - \dfrac { b } { 2 } )\).
代入椭圆方程可得:\(\dfrac { 9 c ^ { 2 } } { 4 a ^ { 2 } } + \dfrac { 1 } { 4 } = 1\),解得\(\dfrac { c ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } = \dfrac { 1 } { 3 }\).
所以\(e = \dfrac { c } { a } = \dfrac { \sqrt { 3 } } { 3 }\).
故选:\(B\).
【点拨】处理类似\(\overrightarrow{AB}=3\overrightarrow{F_2 B}\)这样的向量共线条件,可以用坐标法或相似三角形的方法处理.
【典题5】已知椭圆\(\dfrac { x ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } + \dfrac { y ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } = 1 ( a \gt b \gt 0 )\)的左、右焦点分别为\(F _ { 1 } , F _ { 2 }\),\(B,C\)分别为椭圆的上、下顶点,直线\(B F _ { 2 }\)与椭圆的另一个交点为\(D\),若\(\cos \angle F _ { 1 } B F _ { 2 } = \dfrac { 7 } { 25 }\),则直线\(CD\)的斜率为\(\underline{\quad \quad }\) .
【解析】在三角形\(\triangle F _ { 1 } B F _ { 2 }\)中,
由余弦定理可得\(\cos \angle F _ { 1 } B F _ { 2 } = \dfrac { 7 } { 25 }\Rightarrow \dfrac { a ^ { 2 } + a ^ { 2 } - 4 c ^ { 2 } } { 2 a ^ { 2 } } = \dfrac { 7 } { 25 }\),解得\(\dfrac { c } { a } = \dfrac { 3 } { 5 }\),
\({\color{Red}{(用二倍角公式求出cos∠OBF_2也可以) }}\)
可设\(a = 5 t ,c = 3 t\),则\(b = \sqrt { a ^ { 2 } - c ^ { 2 } } = 4 t\)
设\(D ( m , n )\),即有\(\dfrac { m ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } + \dfrac { n ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } = 1\),
因为\(B ( 0 , b ) , C ( 0 , - b )\),
所以\(k _ { B D } \cdot k _ { C D } = \dfrac { n - b } { m } \cdot \dfrac { n + b } { m } = \dfrac { n ^ { 2 } - b ^ { 2 } } { m ^ { 2 } } = \dfrac { n ^ { 2 } - b ^ { 2 } } { a ^ { 2 } ( 1 - \dfrac { n ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } ) } = - \dfrac { b ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } =- \dfrac {16}{25}\)
\({\color{Red}{(这是由一定理想到的:A,B是椭圆上关于原点对称的两点,P是椭圆上异于A,B的一点,且k _ { PA } , k _ { P B }存在,}}\)
\({\color{Red}{则 k _ { PA } \cdot k _ { P B } = e ^ { 2 } - 1 = - \dfrac { b ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } .椭圆第三定义)}}\)
由\(k _ { B D } = k _ { B F _ { 2 } } = - \dfrac { b } { c } = - \dfrac { 4 } { 3 }\),所以\(k _ { C D } = \dfrac { 12 } { 25 }\).
【点拨】
①处理斜率问题常用到斜率公式\(k = \dfrac { y _ { 2 } - y _ { 1 } } { x _ { 2 } - x _ { 1 } }\);
②本题另一思路:求出直线\(BF_2\)的方程---联立方程求出点\(D\)---求\(k_{CD}\),就是计算量大些.
巩固练习
1 (★) 已知椭圆\(\dfrac { x ^ { 2 } } { 2 m ^ { 2 } - n } + \dfrac { y ^ { 2 } } { n - m ^ { 2 } } = 1\)的焦点在\(x\)轴上,若椭圆的短轴长为\(4\),则\(n\)的取值范围是( )
A.\(( 12 , + \infty )\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) B.\((4,12)\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) C.\((4,6)\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) D.\(( 6 , + \infty )\)
2 (★) 椭圆\(x ^ { 2 } + m y ^ { 2 } = 1\)的长轴长是短轴长的两倍,则\(m\)的值为\(\underline{\quad \quad }\).
3 (★) 椭圆\(\dfrac { x ^ { 2 } } { 9 } + \dfrac { y ^ { 2 } } { 2 } = 1\)的焦点为\(F _ { 1 } , F _ { 2 }\),点\(P\)在椭圆上,若\(| P F _ { 2 } | = 2\),则\(\angle F _ { 1 } P F _ { 2 }\)的大小为\(\underline{\quad \quad }\) .
4 (★★)已知椭圆\(C : \dfrac { x ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } + \dfrac { y ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } = 1 ( a \gt b \gt 0 )\)的左、右焦点为\(F _ { 1 } , F _ { 2 }\),\(O\)为坐标原点\(M\)为椭圆上一点.\(F _ { 1 } M\)与\(y\)与轴交于一点\(N\),\(| O M | = | O F _ { 2 } | = \sqrt { 3 } | O N |\),则椭圆\(C\)的离心率为 \(\underline{\quad \quad }\).
5 (★★)设点\(P\)为椭圆\(\dfrac { x ^ { 2 } } { 49 } + \dfrac { y ^ { 2 } } { 24 } = 1\)上一点、\(F _ { 1 } , F _ { 2 }\)分别是椭圆的左、右焦点,\(G\)为\(\triangle P F _ { 1 } F _ { 2 }\)的重心,且\(P F _ { 1 } \perp P F _ { 2 }\),那么\(\triangle GPF _ { 2 }\)的面积为 \(\underline{\quad \quad }\) .
参考答案
1.\(A\)
2.\(4\)或\(\dfrac { 1 } { 4 }\)
3.\(120 ^ { \circ }\)
4.\(\sqrt { 3 } - 1\)
5.\(8\)
【题型四】最值问题
情况1 求离心率范围
【典题1】如图,已知椭圆\(C : \dfrac { x ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } + \dfrac { y ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } = 1 ( a \gt b \gt 0 )\)的左,右焦点分别为\(F _ { 1 } , F _ { 2 }\),焦距为\(2c\),\(P\)是椭圆上一点(不在坐标轴上),\(Q\)是\(\angle F _ { 1 } P F _ { 2 }\)的平分线与轴的交点,若\(| Q F _ { 2 } | = 2 | O Q |\),则椭圆离心率的范围是\(\underline{\quad \quad }\) .
【解析】因为\(| Q F _ { 2 } | = 2 | O Q |\),所以\(| Q F _ { 2 } | = \dfrac { 2 } { 3 } c , | Q F _ { 1 } | = \dfrac { 4 } { 3 } c\)
因为\(PQ\)是\(\angle F _ { 1 } P F _ { 2 }\)的角平分线,所以\(\dfrac { | P F _ { 1 } | } { | P F_ { 2 } |} = \dfrac { | Q F _ { 1 } | } { | Q F _ { 2 } | } = \dfrac { \dfrac { 4 } { 3 } c } { \dfrac { 2 } { 3 }c } = 2\)
则\(| P F _ { 1 } | = 2 | P F _ { 2 } |\),
由\(| P F _ { 1 } | + | P F _ { 2 } | = 3 | P F _ { 2 } | = 2 a\),得\(| P F _ { 2 } | = \dfrac { 2 a } { 3 }\)
由\(a - c \lt \dfrac { 2 a } { 3 } \lt a + c\),可得\(e = \dfrac { c } { a } \gt \dfrac { 1 } { 3 }\),
由\(0 \lt e \lt 1\),所以椭圆离心率的范围是\(( \dfrac { 1 } { 3 } , 1 )\).
【点拨】
①角平分线定理:如图,在\(\triangle A B C\)中,\(AD\)是\(\angle B A C\)的角平分线,则\(\dfrac { AB } { B D } = \dfrac { A C } { C D }\).
②求离心率的范围的一般思路:求出\(a,b,c\)任意两个量比值的范围得到关于离心率\(e\)的不等式,从而求出\(e\)的范围,同时也要注意椭圆中\(0 \lt e \lt 1\).
【典题2】已知椭圆\(\dfrac { x ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } + \dfrac { y ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } = 1 ( a \gt b \gt 0 )\)的左、右焦点分别为\(F _ { 1 } , F _ { 2 }\),点\(P\)是椭圆上一点,直线\(F _ { 2 } M\)垂直于\(OP\)且交线段\(F _ { 1 } P\)于点\(M\),\(| F _ { 1 } M | = 2 | M P |\),则该椭圆的离心率的取值范围是\(\underline{\quad \quad }\) .
【解析】设\(P ( m , n ) , | m | \lt a\),
又\(F _ { 1 } ( - c , 0 ) , F _ { 2 } ( c , 0 )\),所以\(\overrightarrow{F _ { 1 } P} = ( m + c , n ) ,\overrightarrow{ F _ { 1 } M }= ( x _ { M } + c , y _ { M } )\),
因为\(| F _ { 1 } M | = 2 | M P |\),所以\(\overrightarrow{F _ { 1 } M} = \dfrac { 2 } { 3 } \overrightarrow{ F _ { 1 } P }\),所以\(x _ { M } = \dfrac { 2 m - c } { 3 } , y _ { M } = \dfrac { 2 n } { 3 }\),
即\(M ( \dfrac { 2 m - c } { 3 } , \dfrac { 2 n } { 3 } )\),所以\(\overrightarrow{F _ { 2 } M} = ( \dfrac { 2 m - 4 c } { 3 } , \dfrac { 2 n } { 3 } )\)
又\(\overrightarrow {OP}= ( m , n ) , O P \perp F _ { 2 } M\),所以\(\overrightarrow {OP} \cdot \overrightarrow {F _ { 2 } M }= 0\),
所以\(\dfrac { 2 m - 4 c } { 3 } \cdot m + \dfrac { 2 n } { 3 } \cdot n = 0\),化为\(n ^ { 2 } = m ( 2 c - m )\),
由\(P\)在椭圆上,可得\(n ^ { 2 } = b ^ { 2 } ( 1 - \dfrac { m ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } )\),
可得\(m ( 2 c - m ) = b ^ { 2 } ( 1 - \dfrac { m ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } )\),
化为\(\dfrac { c ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } m ^ { 2 } - 2 c m + a ^ { 2 } - c ^ { 2 } = 0\),解得\(m = \dfrac { a ^ { 2 } } { c } - a\)或\(m = \dfrac { a ^ { 2 } } { c } + a\)(舍去),
由\(\dfrac { a ^ { 2 } } { c } - a \lt a\),可得\(2 c \gt a\),即有\(e = \dfrac { c } { a } \gt \dfrac { 1 } { 2 }\),
又\(0 \lt e \lt 1\),所以\(\dfrac { 1 } { 2 } \lt e \lt 1\).
【点拨】
①设\(P ( m , n )\),由\(| F _ { 1 } M | = 2 | M P |\)怎么得到点\(M\)的坐标?解答中用向量坐标法;还可以用相似三角形的方法,过点\(M\)作\(M A \perp F _ { 1 } F _ { 2 }\),过点\(P\)作\(PB\perp F _ { 1 } F _ { 2 }\),易得\(\triangle M A F _ { 1 } \sim \triangle P F _ { 1 } B\),由相似三角形的性质可得\(M ( \dfrac { 2 m - c } { 3 } , \dfrac { 2 n } { 3 } )\),但本题向量法来得更直接些;
②题中出现\(A B \perp C D\)垂直一般怎么处理呢?
(1) 若要求线段长度,想到勾股定理或直角三角形其他性质;
(2) 想到直线斜率关系,得到\(k _ { A B } \cdot k _ { C D } = - 1 \Rightarrow \dfrac {y_B - y_A}{x_B-x_A} \cdot \dfrac { y _ { D } - y _ { C } } { x _ { D } - x _ { C } } = - 1 \Rightarrow\)
\(( x _ { B } - x _ { A } ) ( x _ { D } - x _ { C } ) + ( y _ { B } - y _ { A } ) ( y _ { D } - y _ { C } ) = 0\),
但要注意两直线的斜率是否都存在;
(3) 想到向量的关系,得到\(\overrightarrow { A B } \cdot\overrightarrow { C D }= 0 \Rightarrow ( x _ { B } - x _ { A } ) ( x _ { D } - x _ { C } ) + ( y _ { B } - y _ { A } ) ( y _ { D } - y _ { C } ) = 0\);
本题中处理垂直关系\(O P \perp F _ { 2 } M\)用的是向量坐标法.
情况2 几何法求范围
【典题1】在平面直角坐标系\(xoy\)中,\(P\)是椭圆\(\dfrac { y ^ { 2 } } { 4 } + \dfrac { x ^ { 2 } } { 3 } = 1\)上的一个动点,点\(A ( 1 , 1 ) , B ( 0 , - 1 )\),则\(|P A | + | P B |\)的最大值为 \(\underline{\quad \quad }\).
【解析】因为椭圆方程为\(\dfrac { y ^ { 2 } } { 4 } + \dfrac { x ^ { 2 } } { 3 } = 1\),
所以焦点坐标为\(B ( 0 , - 1 )\)和\(B ^ { \prime } ( 0 , 1 )\),连接\(P B ^ { \prime } , A B ^ { \prime }\)
根据椭圆的定义,得\(| P B | + | P B ^ { \prime } | = 2 a = 4\),
可得\(| P B | = 4 - | P B ^ { \prime } |\),
因此\(| P A | + | P B | = | P A | + ( 4 - | P B ^ { \prime } | ) = 4 + ( | P A | - | P B ^ { \prime } | )\),因为\(| P A | - | P B ^ { \prime } | \leq | A B ^ { \prime } |\),所以\(| P A | + | P B | \leq 4 + | A B ^ { \prime } | = 4 + 1 = 5\).
当且仅当点在延长线上时,等号成立.
综上所述,可得\(|P A | + | P B |\)的最大值为\(5\).
【点拨】
①本题主要是通过椭圆的定义得到\(|PB| + |PB^{\prime }|=4\),把“求\(|P A | + | P B |\)的最大值”转化为“求\(| P A| - | P B ^ { \prime } |\)的最大值”,当\(P , B ^ { \prime } , A\)三点共线取到最值;
②三点共线时就是取到最值,这常用于“求\(AB+AC\)的最小值”与“\(AB-AC\)的最大值”,本题若求\(PA+PB\)的最小值,则是\(AB=\sqrt 5\);
③本题用函数法求解,设\(P ( x _ { 0 } , y _ { 0 } )\),则\(P A + P B = \sqrt { ( x _ { 0 } - 1 ) ^ { 2 } + y _ { 0 } ^ { 2 } } + \sqrt { x _ { 0 } ^ { 2 } + ( y _ { 0 } + 1 ) ^ { 2 } }\),这样再往下思考就比较难了!
情况3 函数法求范围
【典题1】已知椭圆\(C:\dfrac { x ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } + \dfrac { y ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } = 1\)的短轴长为\(2\),焦距为\(2\sqrt 3\)、\(F_1,F_2\)分别是椭圆的左、右焦点,若点\(P\)为\(C\)上的任意一点,则\(\dfrac { 1 } { | P F _ { 1}| } + \dfrac { 1 } { | P F _ { 2 } | }\)的最小值为\(\underline{\quad \quad }\).
【解析】根据条件可得\(b=1,c=\sqrt 3\),故\(a=2\),
则根据椭圆定义可知\(| P F _ { 1 } | + | P F _ { 2 } | = 2 a = 4\),
\({\color{Red}{方法一}}\)
所以\(\dfrac {1} {|PF_1| } + \dfrac {1} {|PF_2|} = \dfrac { 1 } { 4 } ( \dfrac { 1 } { |PF_1|} + \dfrac { 1 } { | P F _ { 2 } | } ) (|PF_{ 1 }| + | P F _ { 2 } | ) = \dfrac { 1 } { 4 } ( 2 + \dfrac { | P F _ { 2 } | } { |P F _ { 1 } | } + \dfrac { | P F _ { 1 } | } { | P F _ { 2 } | } ) \geq 1\)
当\(| P F _ { 1 } | = | P F _ { 2 } |\),即\(P\)椭圆上下顶点时,取到等号,
所以\(\dfrac { 1 } { | P F _ { 1}| } + \dfrac { 1 } { | P F _ { 2 } | }\)的最小值为\(1\).
\({\color{Red}{方法二}}\) 设\(| P F _ { 1 } | = t\),则\(| P F _ { 2 } | = 4 - t\),
所以\(\dfrac { 1 } {| P F _ { 1 } |} + \dfrac { 1 } { | P F _ { 2 } | } = \dfrac { 4 } { | P F _ { 1 } | | P F _ { 2 }| } = \dfrac { 4 } { t ( 4 - t ) } = \dfrac { 4 } { - ( t - 2 ) ^ { 2 } + 4 }\)
令\(f ( t ) = \dfrac { 4 } { - ( t - 2 ) ^ { 2 } + 4 }\),
因为\(a - c \leq | P F _ { 1 } | \leq a + c \Rightarrow 2 - \sqrt { 3 } \leq | P F _ { 1 } | \leq 2 + \sqrt { 3 }\),
所以\(2 - \sqrt { 3 } \leq t \leq 2 + \sqrt { 3 }\),所以\(1 \leq - ( t - 2 ) ^ { 2 } + 4 \leq 4\),
所以\(1 \leq \dfrac { 4 } { - ( t - 2 ) ^ { 2 } + 4 } \leq 4\),
所以\(\dfrac { 1 } { | P F _ { 1}| } + \dfrac { 1 } { | P F _ { 2 } | }\)的最小值为\(1\).
【点拨】
方法一是利用基本不等式\(a + b \geq 2 \sqrt { a b } ( a \gt 0 , b \gt 0 )\),方法二是构造了函数进行求解,此时要注意自变量的取值范围,函数问题谨记“优先考虑定义域”.
【典题2】已知\(F_1,F_2\)分别是椭圆\(C : \dfrac { x ^ { 2 } } { 8 } + \dfrac { y ^ { 2 } } { 4 } = 1\)的左、右焦点,点\(P\)是圆\(O: x ^ { 2 } + y ^ { 2 } = 1\)上的一个动点,则\(| P F _ { 1 } | \cdot | P F _ { 2 } |\)的取值范围是\(\underline{\quad \quad }\).
【解析】由椭圆方程可知\(F _ { 1 } ( - 2 , 0 ) , F _ { 2 } ( 2 , 0 )\),
由\(P\)在圆\(O\)上,设\(P ( \cos \theta , \sin \theta )\),
所以\(| P F _ { 1 } | \cdot | P F _ { 2 } | = \sqrt { ( \cos \theta + 2 ) ^ { 2 } + \sin ^ { 2 } \theta } \cdot \sqrt { ( \cos \theta - 2 ) ^ { 2 } + \sin ^ { 2 } \theta } = \sqrt { 25 - 16 \cos ^ { 2 } \theta }\)
所以\(| P F _ { 1 } | \cdot | P F _ { 2 } |\)的取值范围\([3,5]\).
【点拨】
①\(P\)在圆\(( x - a ) ^ { 2 } + ( y - b ) ^ { 2 } = r ^ { 2 }\)上,可设\(P ( r \cos \theta + a , r \sin \theta + b )\);
②求最值时,线段可用两点距离公式\(A B = \sqrt { ( x _ { 1 } - x _ { 2 } ) ^ { 2 } + ( y _ { 1 } - y _ { 2 } ) ^ { 2 } }\)表示出来;
③本题也可设\(P ( x _ { 0 } , y _ { 0 } )\),则\(| P F _ { 1 } | \cdot | P F _ { 2 } | = \sqrt { ( x _ { 0 } + 2 ) ^ { 2 } + y _ { 0 } ^ { 2 } } \cdot \sqrt { ( x _ { 0 } - 2 ) ^ { 2 } + y _ { 0 } ^ { 2 } } = \sqrt { 25 - 16 x _ { 0 } ^ { 2 } }\)此时要注意\(- 1 \leq x _ { 0 } \leq 1\),则\(3 \leq \sqrt { 25 - 16 x _ { 0 } ^ { 2 } } \leq 5\).
【典题3】已知椭圆\(C : \dfrac { x ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } + \dfrac { y ^ { 2 } } { 16 } = 1 ( a \gt 4 )\)与圆\(O: x ^ { 2 } + y ^ { 2 } = 25\)恰有两个公共点,若点\(P\)在\(C\)上,且位于第一或第四象限,点\(F\)为\(C\)的右焦点,则\(\overrightarrow {O P} \cdot \overrightarrow { P F}\)的取值范围为\(\underline{\quad \quad }\) .
【解析】因为椭圆\(C\)与圆\(O\)恰有两个公共点
所以圆\(O\)过\(C\)的长轴的两个端点,即\(a=5
\),
故\(C\)的方程为\(\dfrac { x ^ { 2 } } { 25 } + \dfrac { y ^ { 2 } } { 16 } = 1\).
设\(P ( m , n ) ( 0 \lt m \lt 5 )\),则\(\dfrac { m ^ { 2 } } { 25 } + \dfrac { n ^ { 2 } } { 16 } = 1\),则\(n ^ { 2 } = 16 - \dfrac { 16 } { 25 } m ^ { 2 }\).
所以\(\overrightarrow {O P} \cdot \overrightarrow { P F}= ( m , n ) \cdot ( 3 - m , - n ) = 3 m - m ^ { 2 } - n ^ { 2 } = 3 m - m ^ { 2 } - ( 16 - \dfrac { 16 } { 25 } m ^ { 2 } )\)
\(= - \dfrac { 9 } { 25 } m ^ { 2 } + 3 m - 16 = - \dfrac { 9 } { 25 } ( m - \dfrac { 25 } { 6 } ) ^ { 2 } - \dfrac { 39 } { 4 }\).
因为\(0 \lt m \lt 5\),所以\(- 16 \lt - \dfrac { 9 } { 25 } ( m - \dfrac { 25 } { 6 } ) ^ { 2 } - \dfrac { 39 } { 4 } \leq - \dfrac { 39 } { 4 }\),
所以\(\overrightarrow {O P} \cdot \overrightarrow { P F}\)的取值范围为\(( - 16 , - \dfrac { 39 } { 4 } ]\).
【点拨】
①在圆锥曲线中处理向量可用坐标表示,转化为变量之间的关系,求\(\overrightarrow {O P} \cdot \overrightarrow { P F}\)的取值范围变为求\(3 m - m ^ { 2 } - n ^ { 2 }\)的范围;
②求\(\overrightarrow {O P} \cdot \overrightarrow { P F} =3 m - m ^ { 2 } - n ^ { 2 }\)的范围,式子出现两个变量\(m,n\),注意到点\(P\)在椭圆上得\(\dfrac { m ^ { 2 } } { 25 } + \dfrac { n ^ { 2 } } { 16 } = 1\),则\(3 m - m ^ { 2 } - n ^ { 2 } = - \dfrac { 9 } { 25 } m ^ { 2 } + 3 m - 16\),消元达到两变量化为一变量,进而用函数思想处理;
③求\(- \dfrac { 9 } { 25 } m ^ { 2 } + 3 m - 16\)的范围,要注意自变量\(m\)的范围\(0 \lt m \lt 5\).
巩固练习
1 (★★)设椭圆\(C:\dfrac { x ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } + \dfrac { y ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } = 1 ( a \gt b \gt 0 )\)的两个焦点分别为\(F_1,F_2\),若在\(x\)轴上方的\(C\)上存在两个不同的点\(M,N\)满足\(\angle F _ { 1 } M F _ { 2 } =\angle F _ { 1 } N F _ { 2 } = \dfrac { 2 \pi } { 3 }\),则椭圆\(C\)离心率的取值范围是( )
A.\(( 0 , \dfrac { \sqrt { 3 } } { 2 } ]\) \(\qquad \qquad\) B.\(( \dfrac { 1 } { 2 } , 1 )\) \(\qquad \qquad\) C.\(( \dfrac { \sqrt { 3 } } { 2 } , 1 )\) \(\qquad \qquad\)D.\(( \dfrac { \sqrt { 2 } } { 2 } , \dfrac { \sqrt { 3 } } { 2 } )\)
2 (★★) 点\(P\)为椭圆\(\dfrac { x ^ { 2 } } { 25 } + \dfrac { y ^ { 2 } } { 16 } = 1\)上一点,\(M\)、\(N\)分别是圆\(( x + 3 ) ^ { 2 } + y ^ { 2 } = 4\)和\(( x - 3 ) ^ { 2 } + y ^ { 2 } = 1\)上的动点,则\(PM+PN\)的取值范围是\(\underline{\quad \quad }\).
3 (★★) 已知\(F\)是椭圆\(\dfrac { x ^ { 2 } } { 2 } + y ^ { 2 } = 1\)的右焦点,\(P\)是椭圆上一动点,\(A(0,\dfrac {1}{2} )\),则\(\triangle APF\)周长的最大值为\(\underline{\quad \quad }\).
4 (★★★) 已知椭圆\(C: \dfrac { x ^ { 2 } } { 16 } + \dfrac { 3 y ^ { 2 } } { 16 } = 1\),\(M\)为椭圆\(C\)上的一个动点,以\(M\)为圆心,\(2\)为半径作圆为圆\(M\),\(OP,OQ\)为圆\(M\)的两条切线,\(P,Q\)为切点,则\(\angle POQ\)的取值范围是\(\underline{\quad \quad }\)
5 (★★★) 已知椭圆\(C: \dfrac { x ^ { 2 } } { 4 } + \dfrac { y ^ { 2 } } { 3 } = 1\)的右焦点为\(F\),过原点\(O\)的直线与椭圆交于\(A,B\)两点,则\(\dfrac { 1 } { | A F | } + \dfrac { 1 } { | B F | }\)的取值范围为 \(\underline{\quad \quad }\) .
6 (★★★) 已知椭圆\(\dfrac { x ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } + \dfrac { y ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } = 1 ( a \gt b \gt 0 )\)上一点\(A\)关于原点的对称点为\(B\),\(F\)为其右焦点,若\(A F\perp B F\),设\(\angle A B F = \alpha\),且\(\alpha \in [ \dfrac { \pi } { 12 } , \dfrac { \pi } { 6 } ]\),则该椭圆离心率的取值范围为\(\underline{\quad \quad }\).
7 (★★) 已知椭圆\(\dfrac { x ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } + \dfrac { y ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } = 1 ( a \gt b \gt 0 )\)的左焦点为\(F\),\(A(a,0)\),\(B(0,b)\),点\(M\)满足\(\overrightarrow {BM} = 2\overrightarrow {MA}\),则直线\(FM\)的斜率取值范围是\(\underline{\quad \quad }\) .
8 (★★★) 已知椭圆\(C:\dfrac { x ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } + \dfrac { y ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } = 1 ( a \gt b \gt 0 )\)的左、右焦点分别为\(F_1,F_2\),点\(P ( x _ { 1 } , y _ { 1 } ) , Q ( - x _ { 1 } , - y _ { 1 } )\)在椭圆上,其中\(x _ { 1 } \gt 0 , y _ { 1 } \gt 0\),若\(| P Q | = 2 | O F _ { 2 } |\),\(\dfrac {|Q F _ { 1 }| } {| P F_ { 1 } |} \geq \dfrac { \sqrt { 3 } } { 3 }\),则椭圆的离心率的取值范围为\(\underline{\quad \quad }\) .
参考答案
- \(C\)
- \([7,13]\)
- \(\sqrt { 5 } + 2 \sqrt { 2 }\)
- \([ \dfrac { \pi } { 3 } , \dfrac { 2 \pi } { 3 } ]\)
- \([ 1 , \dfrac { 4 } { 3 } ]\)
- \([ \sqrt { 3 } - 1 , \dfrac { \sqrt { 6 } } { 3 } ]\)
- \((0,\dfrac {1}{2})\)
- \(( \dfrac { \sqrt { 2 } } { 2 } , \sqrt { 3 } - 1 ]\)