关于尾递归

当一个函数调用发生时，电脑必须 “记住” 调用函数的位置 — 返回位置，才可以在调用结束时带着返回值回到该位置，返回位置一般存在调用栈上。在尾调用的情况中，电脑不需要记住尾调用的位置而可以从被调用的函数直接带着返回值返回调用函数的返回位置（相当于直接连续返回两次），尾调用消除即是在不改变当前调用栈（也不添加新的返回位置）的情况下跳到新函数的一种优化（完全不改变调用栈是不可能的，还是需要校正调用栈上形参与局部变量的信息。^[2]）

对函数调用在尾位置的递归或互相递归的函数，由于函数自身调用次数很多，递归层级很深，尾递归优化则使原本 O(n) 的调用栈空间只需要 O(1)。因此一些编程语言的标准要求语言实现进行尾调用消除，例如 Scheme^[3][4]与 ML 家族的语言。在 Scheme 中，语言标准还将尾位置形式化，指定了各种语法中允许尾调用的地方^[5]。

以 Python 为例，主要区分普通递归和尾递归对栈空间的使用^[6]：

def recsum(x):
  if x == 1:
    return x
  else:
    return x + recsum(x - 1)

调用recsum(5)为例，SICP中描述了相应的栈空间变化^[7][8]：

recsum(5)
5 + recsum(4)
5 + (4 + recsum(3))
5 + (4 + (3 + recsum(2)))
5 + (4 + (3 + (2 + recsum(1))))
5 + (4 + (3 + (2 + 1)))
5 + (4 + (3 + 3))
5 + (4 + 6)
5 + 10
15

可观察，堆栈从左到右，增加到一个峰值后再计算从右到左缩小，这往往是我们不希望的，所以在C语言等语言中设计for, while, goto等特殊结构语句，使用迭代、尾递归，对普通递归进行优化，减少可能对内存的极端消耗。修改以上代码，可以成为尾递归：

def tailrecsum(x, running_total=0):
  if x == 0:
    return running_total
  else:
    return tailrecsum(x - 1, running_total + x)

或者使用迭代：

for i in range(6):
  sum += i

对比后者尾递归对内存的消耗：

tailrecsum(5, 0) 
tailrecsum(4, 5) 
tailrecsum(3, 9)
tailrecsum(2, 12) 
tailrecsum(1, 14) 
tailrecsum(0, 15) 
15

则是线性的。