支持向量机原理(四)SMO算法原理
在SVM的前三篇里,我们优化的目标函数最终都是一个关于αα向量的函数。而怎么极小化这个函数,求出对应的αα向量,进而求出分离超平面我们没有讲。本篇就对优化这个关于αα向量的函数的SMO算法做一个总结。
1. 回顾SVM优化目标函数
我们首先回顾下我们的优化目标函数:
我们的解要满足的KKT条件的对偶互补条件为:
根据这个KKT条件的对偶互补条件,我们有:
由于w∗=∑j=1mα∗jyjϕ(xj)w∗=∑j=1mαj∗yjϕ(xj),我们令g(x)=w∗∙ϕ(x)+b=∑j=1mα∗jyjK(x,xj)+b∗g(x)=w∗∙ϕ(x)+b=∑j=1mαj∗yjK(x,xj)+b∗,则有:
2. SMO算法的基本思想
上面这个优化式子比较复杂,里面有m个变量组成的向量αα需要在目标函数极小化的时候求出。直接优化时很难的。SMO算法则采用了一种启发式的方法。它每次只优化两个变量,将其他的变量都视为常数。由于∑i=1mαiyi=0∑i=1mαiyi=0.假如将α3,α4,...,αmα3,α4,...,αm 固定,那么α1,α2α1,α2之间的关系也确定了。这样SMO算法将一个复杂的优化算法转化为一个比较简单的两变量优化问题。
为了后面表示方便,我们定义Kij=ϕ(xi)∙ϕ(xj)Kij=ϕ(xi)∙ϕ(xj)
由于α3,α4,...,αmα3,α4,...,αm都成了常量,所有的常量我们都从目标函数去除,这样我们上一节的目标优化函数变成下式:
3. SMO算法目标函数的优化
为了求解上面含有这两个变量的目标优化问题,我们首先分析约束条件,所有的α1,α2α1,α2都要满足约束条件,然后在约束条件下求最小。
根据上面的约束条件α1y1+α2y2=ς0≤αi≤Ci=1,2α1y1+α2y2=ς0≤αi≤Ci=1,2,又由于y1,y2y1,y2均只能取值1或者-1, 这样α1,α2α1,α2在[0,C]和[0,C]形成的盒子里面,并且两者的关系直线的斜率只能为1或者-1,也就是说α1,α2α1,α2的关系直线平行于[0,C]和[0,C]形成的盒子的对角线,如下图所示:
由于α1,α2α1,α2的关系被限制在盒子里的一条线段上,所以两变量的优化问题实际上仅仅是一个变量的优化问题。不妨我们假设最终是α2α2的优化问题。由于我们采用的是启发式的迭代法,假设我们上一轮迭代得到的解是αold1,αold2α1old,α2old,假设沿着约束方向α2α2未经剪辑的解是αnew,unc2α2new,unc.本轮迭代完成后的解为αnew1,αnew2α1new,α2new
由于αnew2α2new必须满足上图中的线段约束。假设L和H分别是上图中αnew2α2new所在的线段的边界。那么很显然我们有:
而对于L和H,我们也有限制条件如果是上面左图中的情况,则
如果是上面右图中的情况,我们有:
也就是说,假如我们通过求导得到的αnew,unc2α2new,unc,则最终的αnew2α2new应该为:
那么如何求出αnew,unc2α2new,unc呢?很简单,我们只需要将目标函数对α2α2求偏导数即可。
首先我们整理下我们的目标函数。
为了简化叙述,我们令
,
其中g(x)g(x)就是我们在第一节里面的提到的
我们令
这样我们的优化目标函数进一步简化为:
由于α1y1+α2y2=ςα1y1+α2y2=ς,并且y2i=1yi2=1,可以得到α1用α2α1用α2表达的式子为:
将上式带入我们的目标优化函数,就可以消除α1α1,得到仅仅包含α2α2的式子。
忙了半天,我们终于可以开始求αnew,unc2α2new,unc了,现在我们开始通过求偏导数来得到αnew,unc2α2new,unc。
整理上式有:
将ς=α1y1+α2y2ς=α1y1+α2y2带入上式,我们有:
我们终于得到了αnew,unc2α2new,unc的表达式:
利用上面讲到的αnew,unc2α2new,unc和αnew2α2new的关系式,我们就可以得到我们新的αnew2α2new了。利用αnew2α2new和αnew1α1new的线性关系,我们也可以得到新的αnew1α1new。
4. SMO算法两个变量的选择
SMO算法需要选择合适的两个变量做迭代,其余的变量做常量来进行优化,那么怎么选择这两个变量呢?
4.1 第一个变量的选择
SMO算法称选择第一个变量为外层循环,这个变量需要选择在训练集中违反KKT条件最严重的样本点。对于每个样本点,要满足的KKT条件我们在第一节已经讲到了:
一般来说,我们首先选择违反0≤α∗i≤C⇒yig(xi)=10≤αi∗≤C⇒yig(xi)=1这个条件的点。如果这些支持向量都满足KKT条件,再选择违反α∗i=0⇒yig(xi)≥1αi∗=0⇒yig(xi)≥1 和 α∗i=C⇒yig(xi)≤1αi∗=C⇒yig(xi)≤1的点。
4.2 第二个变量的选择
SMO算法称选择第二一个变量为内层循环,假设我们在外层循环已经找到了α1α1, 第二个变量α2α2的选择标准是让|E1−E2||E1−E2|有足够大的变化。由于α1α1定了的时候,E1E1也确定了,所以要想|E1−E2||E1−E2|最大,只需要在E1E1为正时,选择最小的EiEi作为E2E2, 在E1E1为负时,选择最大的EiEi作为E2E2,可以将所有的EiEi保存下来加快迭代。
如果内存循环找到的点不能让目标函数有足够的下降, 可以采用遍历支持向量点来做α2α2,直到目标函数有足够的下降, 如果所有的支持向量做α2α2都不能让目标函数有足够的下降,可以跳出循环,重新选择α1α1
4.3 计算阈值b和差值EiEi
在每次完成两个变量的优化之后,需要重新计算阈值b。当0≤αnew1≤C0≤α1new≤C时,我们有
于是新的bnew1b1new为:
计算出E1E1为:
可以看到上两式都有y1−∑i=3mαiyiKi1y1−∑i=3mαiyiKi1,因此可以将bnew1b1new用E1E1表示为:
同样的,如果0≤αnew2≤C0≤α2new≤C, 那么有:
最终的bnewbnew为:
得到了bnewbnew我们需要更新EiEi:
其中,S是所有支持向量xjxj的集合。
好了,SMO算法基本讲完了,我们来归纳下SMO算法。
5. SMO算法总结
输入是m个样本(x1,y1),(x2,y2),...,(xm,ym),(x1,y1),(x2,y2),...,(xm,ym),,其中x为n维特征向量。y为二元输出,值为1,或者-1.精度e。
输出是近似解αα
1)取初值α0=0,k=0α0=0,k=0
2)按照4.1节的方法选择αk1α1k,接着按照4.2节的方法选择αk2α2k,求出新的αnew,unc2α2new,unc。
3)按照下式求出αk+12α2k+1
4)利用αk+12α2k+1和αk+11α1k+1的关系求出αk+11α1k+1
5)按照4.3节的方法计算bk+1bk+1和EiEi
6)在精度e范围内检查是否满足如下的终止条件:
7)如果满足则结束,返回αk+1αk+1,否则转到步骤2)。
SMO算法终于写完了,这块在以前学的时候是非常痛苦的,不过弄明白就豁然开朗了。希望大家也是一样。写完这一篇, SVM系列就只剩下支持向量回归了,胜利在望!