谱聚类（spectral clustering）原理总结

谱聚类（spectral clustering）是广泛使用的聚类算法，比起传统的K-Means算法，谱聚类对数据分布的适应性更强，聚类效果也很优秀，同时聚类的计算量也小很多，更加难能可贵的是实现起来也不复杂。在处理实际的聚类问题时，个人认为谱聚类是应该首先考虑的几种算法之一。下面我们就对谱聚类的算法原理做一个总结。

1. 谱聚类概述

　　　　谱聚类是从图论中演化出来的算法，后来在聚类中得到了广泛的应用。它的主要思想是把所有的数据看做空间中的点，这些点之间可以用边连接起来。距离较远的两个点之间的边权重值较低，而距离较近的两个点之间的边权重值较高，通过对所有数据点组成的图进行切图，让切图后不同的子图间边权重和尽可能的低，而子图内的边权重和尽可能的高，从而达到聚类的目的。

　　　　乍一看，这个算法原理的确简单，但是要完全理解这个算法的话，需要对图论中的无向图，线性代数和矩阵分析都有一定的了解。下面我们就从这些需要的基础知识开始，一步步学习谱聚类。

2. 谱聚类基础之一：无向权重图

　　　　由于谱聚类是基于图论的，因此我们首先温习下图的概念。对于一个图GG，我们一般用点的集合VV和边的集合EE来描述。即为G(V,E)G(V,E)。其中VV即为我们数据集里面所有的点(v1,v2,...vn)(v1,v2,...vn)。对于VV中的任意两个点，可以有边连接，也可以没有边连接。我们定义权重wijwij为点vivi和点vjvj之间的权重。由于我们是无向图，所以wij=wjiwij=wji。

　　　　对于有边连接的两个点vivi和vjvj，wij>0wij>0,对于没有边连接的两个点vivi和vjvj，wij=0wij=0。对于图中的任意一个点vivi，它的度didi定义为和它相连的所有边的权重之和，即

di=∑j=1nwijdi=∑j=1nwij

 

　　　　利用每个点度的定义，我们可以得到一个nxn的度矩阵DD,它是一个对角矩阵，只有主对角线有值，对应第i行的第i个点的度数，定义如下：

 

D=⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜d1…⋮……d2⋮………⋱dn⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟D=(d1………d2…⋮⋮⋱……dn)

 

　　　　利用所有点之间的权重值，我们可以得到图的邻接矩阵WW，它也是一个nxn的矩阵，第i行的第j个值对应我们的权重wijwij。

　　　　除此之外，对于点集VV的的一个子集A⊂VA⊂V，我们定义：

|A|:=子集A中点的个数|A|:=子集A中点的个数

vol(A):=∑i∈Adivol(A):=∑i∈Adi

 

3. 谱聚类基础之二：相似矩阵

　　　　在上一节我们讲到了邻接矩阵WW，它是由任意两点之间的权重值wijwij组成的矩阵。通常我们可以自己输入权重，但是在谱聚类中，我们只有数据点的定义，并没有直接给出这个邻接矩阵，那么怎么得到这个邻接矩阵呢？

　　　　基本思想是，距离较远的两个点之间的边权重值较低，而距离较近的两个点之间的边权重值较高，不过这仅仅是定性，我们需要定量的权重值。一般来说，我们可以通过样本点距离度量的相似矩阵SS来获得邻接矩阵WW。

　　　　构建邻接矩阵WW的方法有三类。ϵϵ-邻近法，K邻近法和全连接法。

　　　　对于ϵϵ-邻近法，它设置了一个距离阈值ϵϵ，然后用欧式距离sijsij度量任意两点xixi和xjxj的距离。即相似矩阵的sij=||xi−xj||22sij=||xi−xj||22,  然后根据sijsij和ϵϵ的大小关系，来定义邻接矩阵WW如下：

 

Wij={0ϵsij>ϵsij≤ϵWij={0sij>ϵϵsij≤ϵ

 

　　　　从上式可见，两点间的权重要不就是ϵϵ,要不就是0，没有其他的信息了。距离远近度量很不精确，因此在实际应用中，我们很少使用ϵϵ-邻近法。

　　　　第二种定义邻接矩阵WW的方法是K邻近法，利用KNN算法遍历所有的样本点，取每个样本最近的k个点作为近邻，只有和样本距离最近的k个点之间的wij>0wij>0。但是这种方法会造成重构之后的邻接矩阵W非对称，我们后面的算法需要对称邻接矩阵。为了解决这种问题，一般采取下面两种方法之一：

　　　　第一种K邻近法是只要一个点在另一个点的K近邻中，则保留SijSij

 

Wij=Wji={0exp(−||xi−xj||222σ2)xi∉KNN(xj)andxj∉KNN(xi)xi∈KNN(xj)orxj∈KNN(xi)Wij=Wji={0xi∉KNN(xj)andxj∉KNN(xi)exp(−||xi−xj||222σ2)xi∈KNN(xj)orxj∈KNN(xi)

 

　　　　第二种K邻近法是必须两个点互为K近邻中，才能保留SijSij

 

Wij=Wji={0exp(−||xi−xj||222σ2)xi∉KNN(xj)orxj∉KNN(xi)xi∈KNN(xj)andxj∈KNN(xi)Wij=Wji={0xi∉KNN(xj)orxj∉KNN(xi)exp(−||xi−xj||222σ2)xi∈KNN(xj)andxj∈KNN(xi)

 

　　　　第三种定义邻接矩阵WW的方法是全连接法，相比前两种方法，第三种方法所有的点之间的权重值都大于0，因此称之为全连接法。可以选择不同的核函数来定义边权重，常用的有多项式核函数，高斯核函数和Sigmoid核函数。最常用的是高斯核函数RBF，此时相似矩阵和邻接矩阵相同：

Wij=Sij=exp(−||xi−xj||222σ2)Wij=Sij=exp(−||xi−xj||222σ2)

 

　　　　在实际的应用中，使用第三种全连接法来建立邻接矩阵是最普遍的，而在全连接法中使用高斯径向核RBF是最普遍的。

4. 谱聚类基础之三：拉普拉斯矩阵

　　　　单独把拉普拉斯矩阵(Graph Laplacians)拿出来介绍是因为后面的算法和这个矩阵的性质息息相关。它的定义很简单，拉普拉斯矩阵L=D−WL=D−W。DD即为我们第二节讲的度矩阵，它是一个对角矩阵。而WW即为我们第二节讲的邻接矩阵，它可以由我们第三节的方法构建出。

　　　　拉普拉斯矩阵有一些很好的性质如下：

　　　　1）拉普拉斯矩阵是对称矩阵，这可以由DD和WW都是对称矩阵而得。

　　　　2）由于拉普拉斯矩阵是对称矩阵，则它的所有的特征值都是实数。

　　　　3）对于任意的向量ff,我们有

fTLf=12∑i,j=1nwij(fi−fj)2fTLf=12∑i,j=1nwij(fi−fj)2

 

　　　　　　这个利用拉普拉斯矩阵的定义很容易得到如下：

 

fTLf=fTDf−fTWf=∑i=1ndif2i−∑i,j=1nwijfifjfTLf=fTDf−fTWf=∑i=1ndifi2−∑i,j=1nwijfifj

=12(∑i=1ndif2i−2∑i,j=1nwijfifj+∑j=1ndjf2j)=12∑i,j=1nwij(fi−fj)2=12(∑i=1ndifi2−2∑i,j=1nwijfifj+∑j=1ndjfj2)=12∑i,j=1nwij(fi−fj)2

 

　　　　4) 拉普拉斯矩阵是半正定的，且对应的n个实数特征值都大于等于0，即0=λ1≤λ2≤...≤λn0=λ1≤λ2≤...≤λn， 且最小的特征值为0，这个由性质3很容易得出。

5. 谱聚类基础之四：无向图切图

　　　　对于无向图GG的切图，我们的目标是将图G(V,E)G(V,E)切成相互没有连接的k个子图，每个子图点的集合为：A1,A2,..AkA1,A2,..Ak，它们满足Ai∩Aj=∅Ai∩Aj=∅,且A1∪A2∪...∪Ak=VA1∪A2∪...∪Ak=V.

　　　　对于任意两个子图点的集合A,B⊂VA,B⊂V, A∩B=∅A∩B=∅, 我们定义A和B之间的切图权重为：

W(A,B)=∑i∈A,j∈BwijW(A,B)=∑i∈A,j∈Bwij

 

　　　　那么对于我们k个子图点的集合：A1,A2,..AkA1,A2,..Ak，我们定义切图cut为：

cut(A1,A2,...Ak)=12∑i=1kW(Ai,A¯¯¯¯i)cut(A1,A2,...Ak)=12∑i=1kW(Ai,A¯i)

 

 　　　　其中A¯¯¯¯iA¯i为AiAi的补集，意为除AiAi子集外其他V的子集的并集。

　　　　那么如何切图可以让子图内的点权重和高，子图间的点权重和低呢？一个自然的想法就是最小化cut(A1,A2,...Ak)cut(A1,A2,...Ak), 但是可以发现，这种极小化的切图存在问题，如下图：

　　　　我们选择一个权重最小的边缘的点，比如C和H之间进行cut，这样可以最小化cut(A1,A2,...Ak)cut(A1,A2,...Ak), 但是却不是最优的切图，如何避免这种切图，并且找到类似图中"Best Cut"这样的最优切图呢？我们下一节就来看看谱聚类使用的切图方法。

6. 谱聚类之切图聚类

　　　　为了避免最小切图导致的切图效果不佳，我们需要对每个子图的规模做出限定，一般来说，有两种切图方式，第一种是RatioCut，第二种是Ncut。下面我们分别加以介绍。

6.1 RatioCut切图

　　　　RatioCut切图为了避免第五节的最小切图，对每个切图，不光考虑最小化cut(A1,A2,...Ak)cut(A1,A2,...Ak)，它还同时考虑最大化每个子图点的个数，即：

RatioCut(A1,A2,...Ak)=12∑i=1kW(Ai,A¯¯¯¯i)|Ai|RatioCut(A1,A2,...Ak)=12∑i=1kW(Ai,A¯i)|Ai|

 

　　　　那么怎么最小化这个RatioCut函数呢？牛人们发现，RatioCut函数可以通过如下方式表示。

　　　　我们引入指示向量hj={h1,h2,..hk}j=1,2,...khj={h1,h2,..hk}j=1,2,...k,对于任意一个向量hjhj, 它是一个n维向量（n为样本数），我们定义hjihji为：

 

hji=⎧⎩⎨01|Aj|√vi∉Ajvi∈Ajhji={0vi∉Aj1|Aj|vi∈Aj

 

　　　　那么我们对于hTiLhihiTLhi,有：

 

hTiLhi=12∑m=1k∑n=1kwmn(him−hin)2=12(∑m∈Ai,n∉Aiwmn(1|Ai|−−−√−0)2+∑m∉Ai,n∈Aiwmn(0−1|Ai|−−−√)2=12(∑m∈Ai,n∉Aiwmn1|Ai|+∑m∉Ai,n∈Aiwmn1|Ai|=12(cut(Ai,A¯¯¯¯i)1|Ai|+cut(A¯¯¯¯i,Ai)1|Ai|)=cut(Ai,A¯¯¯¯i)|Ai|=RatioCut(Ai,A¯¯¯¯i)(1)(2)(3)(4)(5)(6)(1)hiTLhi=12∑m=1k∑n=1kwmn(him−hin)2(2)=12(∑m∈Ai,n∉Aiwmn(1|Ai|−0)2+∑m∉Ai,n∈Aiwmn(0−1|Ai|)2(3)=12(∑m∈Ai,n∉Aiwmn1|Ai|+∑m∉Ai,n∈Aiwmn1|Ai|(4)=12(cut(Ai,A¯i)1|Ai|+cut(A¯i,Ai)1|Ai|)(5)=cut(Ai,A¯i)|Ai|(6)=RatioCut(Ai,A¯i)

 

　　　　上述第（1）式用了上面第四节的拉普拉斯矩阵的性质3. 第二式用到了指示向量的定义。可以看出，对于某一个子图i，它的RatioCut对应于hTiLhihiTLhi,那么我们的k个子图呢？对应的RatioCut函数表达式为：

RatioCut(A1,A2,...Ak)=∑i=1khTiLhi=∑i=1k(HTLH)ii=tr(HTLH)RatioCut(A1,A2,...Ak)=∑i=1khiTLhi=∑i=1k(HTLH)ii=tr(HTLH)

 

　　　　其中tr(HTLH)tr(HTLH)为矩阵的迹。也就是说，我们的RatioCut切图，实际上就是最小化我们的tr(HTLH)tr(HTLH)。注意到HTH=IHTH=I,则我们的切图优化目标为:

argminHtr(HTLH)s.t.HTH=Iargmin⏟Htr(HTLH)s.t.HTH=I

 

　　　　注意到我们H矩阵里面的每一个指示向量都是n维的，向量中每个变量的取值为0或者1|Aj|√1|Aj|，就有2n2n种取值，有k个子图的话就有k个指示向量，共有k2nk2n种H，因此找到满足上面优化目标的H是一个NP难的问题。那么是不是就没有办法了呢？

　　　　注意观察tr(HTLH)tr(HTLH)中每一个优化子目标hTiLhihiTLhi,其中hh是单位正交基， L为对称矩阵，此时hTiLhihiTLhi的最大值为L的最大特征值，最小值是L的最小特征值。如果你对主成分分析PCA很熟悉的话，这里很好理解。在PCA中，我们的目标是找到协方差矩阵（对应此处的拉普拉斯矩阵L）的最大的特征值，而在我们的谱聚类中，我们的目标是找到目标的最小的特征值，得到对应的特征向量，此时对应二分切图效果最佳。也就是说，我们这里要用到维度规约的思想来近似去解决这个NP难的问题。

　　　　对于hTiLhihiTLhi，我们的目标是找到最小的L的特征值，而对于tr(HTLH)=∑i=1khTiLhitr(HTLH)=∑i=1khiTLhi，则我们的目标就是找到k个最小的特征值，一般来说，k远远小于n，也就是说，此时我们进行了维度规约，将维度从n降到了k，从而近似可以解决这个NP难的问题。

　　　　通过找到L的最小的k个特征值，可以得到对应的k个特征向量，这k个特征向量组成一个nxk维度的矩阵，即为我们的H。一般需要对H里的每一个特征向量做标准化，即hi=hi/|hi|hi=hi/|hi|.

　　　　由于我们在使用维度规约的时候损失了少量信息，导致得到的优化后的指示向量h对应的H现在不能完全指示各样本的归属，因此一般在得到nxk维度的矩阵H后还需要对每一行进行一次传统的聚类，比如使用K-Means聚类.

6.2 Ncut切图

　　　　Ncut切图和RatioCut切图很类似，但是把Ratiocut的分母|Ai||Ai|换成vol(Ai)vol(Ai). 由于子图样本的个数多并不一定权重就大，我们切图时基于权重也更合我们的目标，因此一般来说Ncut切图优于RatioCut切图。

NCut(A1,A2,...Ak)=12∑i=1kW(Ai,A¯¯¯¯i)vol(Ai)NCut(A1,A2,...Ak)=12∑i=1kW(Ai,A¯i)vol(Ai)

 

　　　　，对应的，Ncut切图对指示向量hh做了改进。注意到RatioCut切图的指示向量使用的是1|Aj|√1|Aj|标示样本归属，而Ncut切图使用了子图权重1vol(Aj)√1vol(Aj)来标示指示向量h，定义如下:

 

hji=⎧⎩⎨01vol(Aj)√vi∉Ajvi∈Ajhji={0vi∉Aj1vol(Aj)vi∈Aj

 

　　　　那么我们对于hTiLhihiTLhi,有：

 

hTiLhi=12∑m=1k∑n=1kwmn(him−hin)2=12(∑m∈Ai,n∉Aiwmn(1vol(Aj)−−−−−−√−0)2+∑m∉Ai,n∈Aiwmn(0−1vol(Aj)−−−−−−√)2=12(∑m∈Ai,n∉Aiwmn1vol(Aj)+∑m∉Ai,n∈Aiwmn1vol(Aj)=12(cut(Ai,A¯¯¯¯i)1vol(Aj)+cut(A¯¯¯¯i,Ai)1vol(Aj))=cut(Ai,A¯¯¯¯i)vol(Aj)=NCut(Ai,A¯¯¯¯i)(7)(8)(9)(10)(11)(12)(7)hiTLhi=12∑m=1k∑n=1kwmn(him−hin)2(8)=12(∑m∈Ai,n∉Aiwmn(1vol(Aj)−0)2+∑m∉Ai,n∈Aiwmn(0−1vol(Aj))2(9)=12(∑m∈Ai,n∉Aiwmn1vol(Aj)+∑m∉Ai,n∈Aiwmn1vol(Aj)(10)=12(cut(Ai,A¯i)1vol(Aj)+cut(A¯i,Ai)1vol(Aj))(11)=cut(Ai,A¯i)vol(Aj)(12)=NCut(Ai,A¯i)

 

　　　　推导方式和RatioCut完全一致。也就是说，我们的优化目标仍然是

NCut(A1,A2,...Ak)=∑i=1khTiLhi=∑i=1k(HTLH)ii=tr(HTLH)NCut(A1,A2,...Ak)=∑i=1khiTLhi=∑i=1k(HTLH)ii=tr(HTLH)

 

　　　　但是此时我们的HTH≠IHTH≠I,而是HTDH=IHTDH=I。推导如下：

hTiDhi=∑j=1nh2ijdj=1vol(Ai)∑vj∈Aiwvj=1vol(Ai)vol(Ai)=1hiTDhi=∑j=1nhij2dj=1vol(Ai)∑vj∈Aiwvj=1vol(Ai)vol(Ai)=1

 

　　　　也就是说，此时我们的优化目标最终为：

argminHtr(HTLH)s.t.HTDH=Iargmin⏟Htr(HTLH)s.t.HTDH=I

 

　　　　此时我们的H中的指示向量hh并不是标准正交基，所以在RatioCut里面的降维思想不能直接用。怎么办呢？其实只需要将指示向量矩阵H做一个小小的转化即可。

　　　　我们令H=D−1/2FH=D−1/2F, 则：HTLH=FTD−1/2LD−1/2FHTLH=FTD−1/2LD−1/2F，HTDH=FTF=IHTDH=FTF=I,也就是说优化目标变成了:

argminFtr(FTD−1/2LD−1/2F)s.t.FTF=Iargmin⏟Ftr(FTD−1/2LD−1/2F)s.t.FTF=I

 

　　　　可以发现这个式子和RatioCut基本一致，只是中间的L变成了D−1/2LD−1/2D−1/2LD−1/2。这样我们就可以继续按照RatioCut的思想，求出D−1/2LD−1/2D−1/2LD−1/2的最小的前k个特征值，然后求出对应的特征向量，并标准化，得到最后的特征矩阵FF,最后对FF进行一次传统的聚类（比如K-Means）即可。

　　　　一般来说， D−1/2LD−1/2D−1/2LD−1/2相当于对拉普拉斯矩阵LL做了一次标准化，即Lijvol(Ai)vol(Aj)√Lijvol(Ai)vol(Aj)

7. 谱聚类算法流程

　　　　铺垫了这么久，终于可以总结下谱聚类的基本流程了。一般来说，谱聚类主要的注意点为相似矩阵的生成方式（参见第二节），切图的方式（参见第六节）以及最后的聚类方法（参见第六节）。

　　　　最常用的相似矩阵的生成方式是基于高斯核距离的全连接方式，最常用的切图方式是Ncut。而到最后常用的聚类方法为K-Means。下面以Ncut总结谱聚类算法流程。

　　　　输入：样本集D=(x1,x2,...,xn)(x1,x2,...,xn)，相似矩阵的生成方式, 降维后的维度k1k1, 聚类方法，聚类后的维度k2k2

　　　　输出： 簇划分C(c1,c2,...ck2)C(c1,c2,...ck2).　

　　　　1) 根据输入的相似矩阵的生成方式构建样本的相似矩阵S

　　　　2）根据相似矩阵S构建邻接矩阵W，构建度矩阵D

　　　　3）计算出拉普拉斯矩阵L

　　　　4）构建标准化后的拉普拉斯矩阵D−1/2LD−1/2D−1/2LD−1/2

　　　　5）计算D−1/2LD−1/2D−1/2LD−1/2最小的k1k1个特征值所各自对应的特征向量ff

　　　　6) 将特征向量ff标准化，最终组成n×k1n×k1维的特征矩阵F

　　　　7）对F中的每一行作为一个k1k1维的样本，共n个样本，用输入v的聚类方法进行聚类，聚类维数为k2k2。

　　　　8）得到簇划分C(c1,c2,...ck2)C(c1,c2,...ck2).　　　　　　　　　

8. 谱聚类算法总结

　　　　谱聚类算法是一个使用起来简单，但是讲清楚却不是那么容易的算法，它需要你有一定的数学基础。如果你掌握了谱聚类，相信你会对矩阵分析，图论有更深入的理解。同时对降维里的主成分分析也会加深理解。

　　　　下面总结下谱聚类算法的优缺点。

　　　　谱聚类算法的主要优点有：

　　　　1）谱聚类只需要数据之间的相似度矩阵，因此对于处理稀疏数据的聚类很有效。这点传统聚类算法比如K-Means很难做到

　　　　2）由于使用了降维，因此在处理高维数据聚类时的复杂度比传统聚类算法好。

　　　　谱聚类算法的主要缺点有：

　　　　1）如果最终聚类的维度非常高，则由于降维的幅度不够，谱聚类的运行速度和最后的聚类效果均不好。

　　　　2) 聚类效果依赖于相似矩阵，不同的相似矩阵得到的最终聚类效果可能很不同。