主成分分析（PCA）原理总结

主成分分析（Principal components analysis，以下简称PCA）是最重要的降维方法之一。在数据压缩消除冗余和数据噪音消除等领域都有广泛的应用。一般我们提到降维最容易想到的算法就是PCA，下面我们就对PCA的原理做一个总结。

1. PCA的思想

　　　　PCA顾名思义，就是找出数据里最主要的方面，用数据里最主要的方面来代替原始数据。具体的，假如我们的数据集是n维的，共有m个数据(x(1),x(2),...,x(m))(x(1),x(2),...,x(m))。我们希望将这m个数据的维度从n维降到n'维，希望这m个n'维的数据集尽可能的代表原始数据集。我们知道数据从n维降到n'维肯定会有损失，但是我们希望损失尽可能的小。那么如何让这n'维的数据尽可能表示原来的数据呢？

　　　　我们先看看最简单的情况，也就是n=2，n'=1,也就是将数据从二维降维到一维。数据如下图。我们希望找到某一个维度方向，它可以代表这两个维度的数据。图中列了两个向量方向，u1u1和u2u2，那么哪个向量可以更好的代表原始数据集呢？从直观上也可以看出，u1u1比u2u2好。

　　　　为什么u1u1比u2u2好呢？可以有两种解释，第一种解释是样本点到这个直线的距离足够近，第二种解释是样本点在这个直线上的投影能尽可能的分开。

　　　　假如我们把n'从1维推广到任意维，则我们的希望降维的标准为：样本点到这个超平面的距离足够近,或者说样本点在这个超平面上的投影能尽可能的分开。

　　　　基于上面的两种标准，我们可以得到PCA的两种等价推导。

2. PCA的推导:基于小于投影距离

　　　　我们首先看第一种解释的推导，即样本点到这个超平面的距离足够近。

　　　　假设m个n维数据(x(1),x(2),...,x(m))(x(1),x(2),...,x(m))都已经进行了标准化，即∑i=1mx(i)=0∑i=1mx(i)=0。经过投影变换后得到的新坐标系为{w1,w2,...,wn}{w1,w2,...,wn},其中ww是标准正交基，即||w||2=1,wTiwj=0||w||2=1,wiTwj=0。

　　　　如果我们将数据从n维降到n'维，即丢弃新坐标系中的部分坐标，则新的坐标系为{w1,w2,...,wn′}{w1,w2,...,wn′},样本点x(i)x(i)在n'维坐标系中的投影为：z(i)=(z(i)1,z(i)2,...,z(i)n′)z(i)=(z1(i),z2(i),...,zn′(i)).其中，z(i)j=wTjx(i)zj(i)=wjTx(i)是x(i)x(i)在低维坐标系里第j维的坐标。

　　　　如果我们用z(i)z(i)来恢复原始数据x(i)x(i),则得到的恢复数据x¯¯¯(i)=∑j=1n′z(i)jwj=Wz(i)x¯(i)=∑j=1n′zj(i)wj=Wz(i),其中，W为标准正交基组成的矩阵。

　　　　现在我们考虑整个样本集，我们希望所有的样本到这个超平面的距离足够近，即最小化下式：

∑i=1m||x¯¯¯(i)−x(i)||22∑i=1m||x¯(i)−x(i)||22

 

　　　　将这个式子进行整理，可以得到:

 

∑i=1m||x¯¯¯(i)−x(i)||22=∑i=1m||Wz(i)−x(i)||22=∑i=1m(Wz(i))T(Wz(i))−2∑i=1m(Wz(i))Tx(i)+∑i=1mx(i)Tx(i)=∑i=1mz(i)Tz(i)−2∑i=1mz(i)TWTx(i)+∑i=1mx(i)Tx(i)=∑i=1mz(i)Tz(i)−2∑i=1mz(i)Tz(i)+∑i=1mx(i)Tx(i)=−∑i=1mz(i)Tz(i)+∑i=1mx(i)Tx(i)=−tr(WT（∑i=1mx(i)x(i)T)W)+∑i=1mx(i)Tx(i)=−tr(WTXXTW)+∑i=1mx(i)Tx(i)(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(1)∑i=1m||x¯(i)−x(i)||22=∑i=1m||Wz(i)−x(i)||22(2)=∑i=1m(Wz(i))T(Wz(i))−2∑i=1m(Wz(i))Tx(i)+∑i=1mx(i)Tx(i)(3)=∑i=1mz(i)Tz(i)−2∑i=1mz(i)TWTx(i)+∑i=1mx(i)Tx(i)(4)=∑i=1mz(i)Tz(i)−2∑i=1mz(i)Tz(i)+∑i=1mx(i)Tx(i)(5)=−∑i=1mz(i)Tz(i)+∑i=1mx(i)Tx(i)(6)=−tr(WT（∑i=1mx(i)x(i)T)W)+∑i=1mx(i)Tx(i)(7)=−tr(WTXXTW)+∑i=1mx(i)Tx(i)

 

　　　　其中第（1）步用到了x¯¯¯(i)=Wz(i)x¯(i)=Wz(i),第二步用到了平方和展开，第（3）步用到了矩阵转置公式(AB)T=BTAT(AB)T=BTAT和WTW=IWTW=I,第（4）步用到了z(i)=WTx(i)z(i)=WTx(i)，第（5）步合并同类项，第（6）步用到了z(i)=WTx(i)z(i)=WTx(i)和矩阵的迹,第7步将代数和表达为矩阵形式。

　　　　注意到∑i=1mx(i)x(i)T∑i=1mx(i)x(i)T是数据集的协方差矩阵，W的每一个向量wjwj是标准正交基。而∑i=1mx(i)Tx(i)∑i=1mx(i)Tx(i)是一个常量。最小化上式等价于：

argminW−tr(WTXXTW)s.t.WTW=Iargmin⏟W−tr(WTXXTW)s.t.WTW=I

 

　　　　这个最小化不难，直接观察也可以发现最小值对应的W由协方差矩阵XXTXXT最大的n'个特征值对应的特征向量组成。当然用数学推导也很容易。利用拉格朗日函数可以得到

J(W)=−tr(WTXXTW)+λ(WTW−I)J(W)=−tr(WTXXTW)+λ(WTW−I)

 

　　　　对W求导有−XXTW+λW=0−XXTW+λW=0, 整理下即为：

XXTW=λWXXTW=λW

 

　　　　这样可以更清楚的看出，W为XXTXXT的n'个特征向量组成的矩阵，而λλ为XXTXXT的特征值。当我们将数据集从n维降到n'维时，需要找到最大的n'个特征值对应的特征向量。这n'个特征向量组成的矩阵W即为我们需要的矩阵。对于原始数据集，我们只需要用z(i)=WTx(i)z(i)=WTx(i),就可以把原始数据集降维到最小投影距离的n'维数据集。

　　　　如果你熟悉谱聚类的优化过程，就会发现和PCA的非常类似，只不过谱聚类是求前k个最小的特征值对应的特征向量，而PCA是求前k个最大的特征值对应的特征向量。　　

3. PCA的推导:基于最大投影方差

　　　　现在我们再来看看基于最大投影方差的推导。

假设m个n维数据(x(1),x(2),...,x(m))(x(1),x(2),...,x(m))都已经进行了标准化，即∑i=1mx(i)=0∑i=1mx(i)=0。经过投影变换后得到的新坐标系为{w1,w2,...,wn}{w1,w2,...,wn},其中ww是标准正交基，即||w||2=1,wTiwj=0||w||2=1,wiTwj=0。

　　　　如果我们将数据从n维降到n'维，即丢弃新坐标系中的部分坐标，则新的坐标系为{w1,w2,...,wn′}{w1,w2,...,wn′},样本点x(i)x(i)在n'维坐标系中的投影为：z(i)=(z(i)1,z(i)2,...,z(i)n′)z(i)=(z1(i),z2(i),...,zn′(i)).其中，z(i)j=wTjx(i)zj(i)=wjTx(i)是x(i)x(i)在低维坐标系里第j维的坐标。

　　　　对于任意一个样本x(i)x(i)，在新的坐标系中的投影为WTx(i)WTx(i),在新坐标系中的投影方差为WTx(i)x(i)TWWTx(i)x(i)TW，要使所有的样本的投影方差和最大，也就是最大化∑i=1mWTx(i)x(i)TW∑i=1mWTx(i)x(i)TW,即：

argmaxWtr(WTXXTW)s.t.WTW=Iargmax⏟Wtr(WTXXTW)s.t.WTW=I

 

　　　　观察第二节的基于最小投影距离的优化目标，可以发现完全一样，只是一个是加负号的最小化，一个是最大化。

　　　　利用拉格朗日函数可以得到

J(W)=tr(WTXXTW)+λ(WTW−I)J(W)=tr(WTXXTW)+λ(WTW−I)

 

　　　　对W求导有XXTW+λW=0XXTW+λW=0, 整理下即为：

XXTW=（−λ）WXXTW=（−λ）W

 

　　　　和上面一样可以看出，W为XXTXXT的n'个特征向量组成的矩阵，而−λ−λ为XXTXXT的特征值。当我们将数据集从n维降到n'维时，需要找到最大的n'个特征值对应的特征向量。这n'个特征向量组成的矩阵W即为我们需要的矩阵。对于原始数据集，我们只需要用z(i)=WTx(i)z(i)=WTx(i),就可以把原始数据集降维到最小投影距离的n'维数据集。

4. PCA算法流程

　　　　从上面两节我们可以看出，求样本x(i)x(i)的n'维的主成分其实就是求样本集的协方差矩阵XXTXXT的前n'个特征值对应特征向量矩阵W，然后对于每个样本x(i)x(i),做如下变换z(i)=WTx(i)z(i)=WTx(i)，即达到降维的PCA目的。

　　　　下面我们看看具体的算法流程。

　　　　输入：n维样本集D=(x(1),x(2),...,x(m))D=(x(1),x(2),...,x(m))，要降维到的维数n'.

　　　　输出：降维后的样本集D′D′

　　　　1) 对所有的样本进行中心化： x(i)=x(i)−1m∑j=1mx(j)x(i)=x(i)−1m∑j=1mx(j)

　　　　2) 计算样本的协方差矩阵XXTXXT

　　　　3) 对矩阵XXTXXT进行特征值分解

　　　　4）取出最大的n'个特征值对应的特征向量(w1,w2,...,wn′)(w1,w2,...,wn′), 将所有的特征向量标准化后，组成特征向量矩阵W。

　　　　5）对样本集中的每一个样本x(i)x(i),转化为新的样本z(i)=WTx(i)z(i)=WTx(i)

　　　　6) 得到输出样本集D′=(z(1),z(2),...,z(m))D′=(z(1),z(2),...,z(m))

　　　　有时候，我们不指定降维后的n'的值，而是换种方式，指定一个降维到的主成分比重阈值t。这个阈值t在（0,1]之间。假如我们的n个特征值为λ1≥λ2≥...≥λnλ1≥λ2≥...≥λn,则n'可以通过下式得到:

∑i=1n′λi∑i=1nλi≥t∑i=1n′λi∑i=1nλi≥t

 

5. PCA实例

　　　　下面举一个简单的例子，说明PCA的过程。

　　　　假设我们的数据集有10个二维数据(2.5,2.4), (0.5,0.7), (2.2,2.9), (1.9,2.2), (3.1,3.0), (2.3, 2.7), (2, 1.6), (1, 1.1), (1.5, 1.6), (1.1, 0.9)，需要用PCA降到1维特征。

　　　　首先我们对样本中心化，这里样本的均值为(1.81, 1.91),所有的样本减去这个均值后，即中心化后的数据集为(0.69, 0.49), (-1.31, -1.21), (0.39, 0.99), (0.09, 0.29), (1.29, 1.09), (0.49, 0.79), (0.19, -0.31), (-0.81, -0.81), (-0.31, -0.31), (-0.71, -1.01)。

　　　　现在我们开始求样本的协方差矩阵，由于我们是二维的，则协方差矩阵为：

 

XXT=(cov(x1,x1)cov(x2,x1)cov(x1,x2)cov(x2,x2))XXT=(cov(x1,x1)cov(x1,x2)cov(x2,x1)cov(x2,x2))

 

　　　　对于我们的数据，求出协方差矩阵为：

 

XXT=(0.6165555560.6154444440.6154444440.716555556)XXT=(0.6165555560.6154444440.6154444440.716555556)

 

　　　　求出特征值为（0.490833989， 1.28402771），对应的特征向量分别为：(0.735178656,0.677873399)T(−0.677873399,−0.735178656)T(0.735178656,0.677873399)T(−0.677873399,−0.735178656)T,由于最大的k=1个特征值为1.28402771，对于的k=1个特征向量为(−0.677873399,−0.735178656)T(−0.677873399,−0.735178656)T. 则我们的W=(−0.677873399,−0.735178656)T(−0.677873399,−0.735178656)T

　　　　我们对所有的数据集进行投影z(i)=WTx(i)z(i)=WTx(i)，得到PCA降维后的10个一维数据集为：(-0.827970186， 1.77758033， -0.992197494， -0.274210416， -1.67580142， -0.912949103， 0.0991094375， 1.14457216, 0.438046137， 1.22382056)

6. 核主成分分析KPCA介绍

　　　　在上面的PCA算法中，我们假设存在一个线性的超平面，可以让我们对数据进行投影。但是有些时候，数据不是线性的，不能直接进行PCA降维。这里就需要用到和支持向量机一样的核函数的思想，先把数据集从n维映射到线性可分的高维N>n,然后再从N维降维到一个低维度n', 这里的维度之间满足n'<n<N。

　　　　使用了核函数的主成分分析一般称之为核主成分分析(Kernelized PCA, 以下简称KPCA。假设高维空间的数据是由n维空间的数据通过映射ϕϕ产生。

　　　　则对于n维空间的特征分解：

∑i=1mx(i)x(i)TW=λW∑i=1mx(i)x(i)TW=λW

 

　　　　映射为：

∑i=1mϕ(x(i))ϕ(x(i))TW=λW∑i=1mϕ(x(i))ϕ(x(i))TW=λW

 

　　　　通过在高维空间进行协方差矩阵的特征值分解，然后用和PCA一样的方法进行降维。一般来说，映射ϕϕ不用显式的计算，而是在需要计算的时候通过核函数完成。由于KPCA需要核函数的运算，因此它的计算量要比PCA大很多。

7. PCA算法总结

　　　　这里对PCA算法做一个总结。作为一个非监督学习的降维方法，它只需要特征值分解，就可以对数据进行压缩，去噪。因此在实际场景应用很广泛。为了克服PCA的一些缺点，出现了很多PCA的变种，比如第六节的为解决非线性降维的KPCA，还有解决内存限制的增量PCA方法Incremental PCA，以及解决稀疏数据降维的PCA方法Sparse PCA等。

　　　　PCA算法的主要优点有：

　　　　1）仅仅需要以方差衡量信息量，不受数据集以外的因素影响。　

　　　　2）各主成分之间正交，可消除原始数据成分间的相互影响的因素。

　　　　3）计算方法简单，主要运算是特征值分解，易于实现。

　　　　PCA算法的主要缺点有：

　　　　1）主成分各个特征维度的含义具有一定的模糊性，不如原始样本特征的解释性强。

　　　　2）方差小的非主成分也可能含有对样本差异的重要信息，因降维丢弃可能对后续数据处理有影响。