二叉树的存储结构

二叉树T：一个有穷的结点集合，这个集合可以为空。它是由根节点和称为其左子树TL和右子树TR的两个不相交的二叉树组成。二叉树的子树有左右顺序之分。

特殊二叉树：

斜二叉树

完美二叉树（满二叉树）：都是两个度

完全二叉树不一定是满二叉树，编号一样就行，可以少

 

二叉树的几个重要性质

一个二叉树第i层的最大节点数为：2^(i-1)，i>=1。

深度为k的二叉树有最大结点总数为：2^k -1,k>=1。

对任何非空二叉树T，若n0表示叶结点的个数，n2是度为2的非叶结点个数，那么两者满足关系n0=n2+1（叶子结点个数等于两个儿子的结点个数+1）

 

顺序存储结构

最适用：完全二叉树，按从上至下，从左到右顺序存储n个结点的完全二叉树的结点父子关系；

完全二叉树用数组实现的规律：

（1）非根节点的父结点的序号是[i/2]；

（2）结点的左孩子结点序号是2i（若2i<=n，否则没有左孩子）；

（3）结点的右孩子结点序号是2i+1（若2i+1<=n，否则没有右孩子）；

一般二叉树也可以用数组，但会造成空间浪费

 

链表存储

typedef struct TreeNode *BinTree;

typedef BinTree Position;

struct TreeNode{

　　ElementType Data;

　　BinTree Left;

　　BinTree Right;

}

 

二叉树的遍历

（1）先序遍历：访问根节点->先序遍历其左子树->先序遍历其右子树

void PreOrderTraversal( BinTree BT ){

　　if ( BT ) {

　　　　printf("%d", BT->Data);

　　　　PreOrderTraversal ( BT->Left );

　　　　PreOrderTraversal ( BT->Right );

　　}

}

 

（2）中序遍历：中序遍历其左子树->访问根节点->中序遍历其右子树

void InOrderTraversal( BinTree BT ) {

　　if ( BT ) {

　　　　InOrderTraversal ( BT->Left );

　　　　printf("%d", BT->Data);

　　　　InOrderTraversal ( BT->Right );

　　}

}

 

（3）后序遍历：后序遍历其左子树->后序遍历其右子树->访问根节点

void PostOrderTraversal( BinTree BT ) {

　　if ( BT ) {

　　　　PostOrderTraversal ( BT->Left );

　　　　PostOrderTraversal ( BT->Right );

　　　　printf("%d", BT->Data);

　　}

}

 

确定一个二叉树至少需要两种遍历序列且一定要有中序遍历

二叉树的非递归遍历

（1）中序遍历非递归遍历算法：使用堆栈。遇到一个结点就压栈，并去遍历它的左子树，当左子树遍历结束后，从栈顶弹出这个结点并访问它，然后按其右指针再去中序遍历该结点的右子树

void InOrderTraversal( BinTree BT ) {

　　BinTree T = BT;

　　Stack S = CreatStack (MaxSize );　　//创建并初始化堆栈S

　　while ( T || !IsEmpty(S) ) {　　//树不空或者堆栈不空

　　　　while (T) {　　//一直向左并将沿途结点压入堆栈

　　　　　　Push(S, T);

　　　　　　T = T->Left;

　　　　}

　　　　if ( !IsEmpty(S) ) {

　　　　　　T = Pop(S);　　//结点弹出堆栈

　　　　　　printf("%5d", T->Data);　　//（访问）打印结点

　　　　　　T = T->Right;　　//转向右子树

　　　　}

　　}

}

 

（2）先序遍历的非递归遍历算法：遇到一个结点，就把它压栈并访问它，当左子树遍历结束后，从栈顶弹出这个结点，然后按其右指针再去遍历该结点的右子树

void PreOrderTraversal( BinTree BT ) {

　　BinTree T = BT;

　　Stack S = CreatStack (MaxSize );　　//创建并初始化堆栈S

　　while ( T || !IsEmpty(S) ) {　　//树不空或者堆栈不空

　　　　while (T) {　　//一直向左并将沿途结点压入堆栈

　　　　　　printf("%5d", T->Data);　　//（访问）打印结点

　　　　　　Push(S, T);

　　　　　　T = T->Left;

　　　　}

　　　　if ( !IsEmpty(S) ) {

　　　　　　T = Pop(S);　　//结点弹出堆栈

　　　　　　T = T->Right;　　//转向右子树

　　　　}

　　}

}

 

 层序遍历：从上至下，从左至右

二叉树遍历的核心问题：二维结构的线性化。

从结点访问其左、右儿子结点。同时需要一个堆栈或者队列保存暂时不访问的结点。

队列实现：遍历从根结点开始，首先将根结点入队，然后开始执行循环：结点出队、访问该结点、其左右儿子入队

 

层序基本过程：先根节点入队，然后：

（1）从队列中取出一个元素

（2）访问该元素所指结点

（3）若该元素所指结点的左、右孩子结点非空，则将其左、右孩子的指针顺序入队

void LevelOrderTraversal( BinTree BT ) {

　　Queue Q;

　　BinTree T;

　　if ( !BT )　　return;　　//若是空树则直接返回

　　Q = CreatQueue( MaxSize );　　//创建并初始化队列Q

　　AddQ ( Q, BT );　　//入队

　　while ( !IsEmptyQ( Q ) ) {

　　　　T = DeleteQ ( Q );

　　　　printf("%d\n", T->Data);　　//访问取出队列结点

　　　　if (T->Left)　　AddQ( Q, T->Left );　　//将其左右孩子入队

　　　　if (T->Right)　　AddQ( Q, T->Right );

　　}

}