数位 DP 学习笔记

因为 ABC 考了一次，而且放在 C 题，所以特地来学习一下。

适用范围

数位 DP 的题目好像不太容易考，但是一旦考了数位 DP 就可以愉快地套板子了。

数位 DP 的题目一般长这个样子：
给定整数 $L$ 和 $R$，求：

$$\sum _{i=L}^{R}f(i)$$

其中，$f(i)$ 可以表示一个式子的取值，也可能是对于 $i$ 这个数是否有一些特性的判断。
然后数据范围特别大，一般是 ${10}^9$ 或者 ${10}^{18}$ 量级。

还是比较容易识别的。

解决问题

对于数位 DP，解决方式一般是套板子。

考虑将原式化为： $$\sum _{i=1}^{R}f(i)-\sum _{i=1}^{L-1}f(i)$$

运用前缀和的思想就可以明白。

对于求 $\sum _{i=1}^{X}f(i)$ 的问题，考虑用记忆化搜索来做。

考虑设置哪些状态。

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pos

首先，我们既然需要一位一位地填数字，必然需要一个状态 $pos$ 表示当前搜索到了第几位。

lst / sum

第二个状态根据题目来定。
如果题目是求数字各数位间关系，那么显然存上一个数位用的数字 $lst$；
如果题目是求数字各数位的和之类的问题，那么就需要用一个 $sum$ 来表示当前的总和。

limit

然后还需要一个状态来约束搜索的范围，将其称为 $limit$，意义为：“前面所有位有没有填满”。

为什么需要它？它有什么用？

考虑一个例子： $114514$。

在这个例子里面，打比方说，假如我们已经搜索到了这个位置：$$1145??$$

接下来 $limit$ 就派上了用场。

现在前 $4$ 位已经被填满了，填第 $5$ 位的时候，$limit$ 就等于 $1$。

所以当前位需要收到 $limit$ 的约束：这一位的搜索上界只能到 $1$，而不能到 $9$。

现在显然了，如果没有 $limit$，那将会在 $114514$ 的范围里搜出一个不符条件的 $114524$。

lead

最后，肯定需要一个东西来判断前导 $0$。

题目里一般都会说：不计入前导 $0$，$lead$ 的存在就是为了防止这种情况。

其中，$lead=0$ 代表前导为 $0$，$lead=1$ 则表示无前导 $0$。

有时，有无前导 $0$ 的情况还需要分开计算。

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接着开始搜索。

首先，如果我们已经搜完所有的数位，必然需要结束。此时即 $pos=0$。
这时直接返回，如果求个数就是 $1$ 个，求总和就是和为 $sum$。

接着，记忆化搜索必然需要记忆。如果记忆过了，那么就可以结束了。

其中，$limit=0$ 且 $lead=1$ 才能读取，如果不是这样，这个状态所形成的数就是不合法的，肯定是不能读取的。

第三步，寻找搜索上界。显然，如果前面搜完了即 $limit=1$，那么上界就是 $X$ 的第 $pos$ 位。否则上界为 $9$。

下界显然是 $0$。

对于每个数码，进行判断，如果满足条件才能继续搜下一位。