[JSOI2011]柠檬

可以利用动态规划思想写出转移方程。

令$f_i$表示以i结尾时取得的最大值,$c_i$表示$a_i$这个数在第i个位置是第$c_i$次出现，则有：

$$f_i=f_{j-1}+(c_i-c_j+1)^2*a_i$$

不妨设j>k时从j转移比从i转移更优

则有：

$$f_{j-1}+(c_i-c_j+1)^2·a_i>f_{k-1}+(c_i-c_k+1)^2·a_i$$

其中$a_i$是常数，我们考虑最后再乘回去，所以先不管它

然后化简有：

$$(f_{j-1}+(c_j-1)^2)-(f_{k-1}+(c_k-1)^2)>2c_i(c_j-c_k)$$

不妨再设$dp_i=f_{i-1}+(c_i-1)^2$

$$dp_j-dp_k>2c_i(c_j-c_k)$$

$$\frac{dp_j-dp_k}{c_j-c_k}>2c_i$$

好了于是我们把斜率搞出来了

要求最大值，所以用单调栈维护上凸壳，栈顶元素最优

附上代码

 

//张家奇怎么又AKIOI了呀，怎么CSP也满分啊...怎么清北天天给他打电话啊...怎么会有这么强的人啊
#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
#define writeln(x)  write(x),puts("")
#define writep(x)   write(x),putchar(' ')
using namespace std;
inline int read(){
    int ans=0,f=1;char chr=getchar();
    while(!isdigit(chr)){if(chr=='-') f=-1;chr=getchar();}
    while(isdigit(chr)){ans=(ans<<3)+(ans<<1)+chr-48;chr=getchar();}
    return ans*f;
}void write(int x){
    if(x<0) putchar('-'),x=-x;
    if(x>9) write(x/10);
    putchar(x%10+'0');
}const int M = 1E5+5;
int n,m,a[M];
inline int sqr(int x){return x*x;}
namespace Solution_1{//n^2logn的暴力转移 
    int f[M];vector<int>pos[M];
    inline int Count(int color,int l,int r){
        l=lower_bound(pos[color].begin(),pos[color].end(),l)-pos[color].begin();
        r=upper_bound(pos[color].begin(),pos[color].end(),r)-pos[color].begin()-1;
        return r-l+1;
    }inline void Solve(){
        for(int i=1;i<=n;i++)pos[a[i]].push_back(i);
        f[1]=a[1];
        for(int i=2;i<=n;i++)
            for(int j=0;j<i;j++)
                f[i]=max(f[i],f[j]+sqr(Count(a[j+1],j+1,i))*a[j+1]);
        cout<<f[n]<<endl;
    }
}
namespace Solution_2{
    int f[M],c[M],top,lst[M];vector<int>sta[10005];
    inline double X(int i){return a[i]*c[i];}
    inline double Y(int i){return f[i-1]+a[i]*sqr(c[i]-1);}
    inline double Slope(int i,int j){return (Y(i)-Y(j))/(X(i)-X(j));}
    inline int calc(int i,int j){return f[j-1]+sqr(c[i]-c[j]+1)*a[i];}
    #define A sta[a[i]][sta[a[i]].size()-2]
    #define B sta[a[i]][sta[a[i]].size()-1]
    inline void Solve(){
        for(int i=1;i<=n;i++)c[i]=c[lst[a[i]]]+1,lst[a[i]]=i;
        for(int i=1;i<=n;i++){
            while(sta[a[i]].size()>=2&&Slope(A,i)>=Slope(A,B))sta[a[i]].pop_back();
            sta[a[i]].push_back(i);
            while(sta[a[i]].size()>=2&&calc(i,B)<=calc(i,A))sta[a[i]].pop_back();
            f[i]=calc(i,sta[a[i]].back());
        }cout<<f[n]<<endl;
    }
}
signed main(){
    n=read();
    for(int i=1;i<=n;i++)a[i]=read();
    if(n<=1000)Solution_1::Solve();
    else Solution_2::Solve();
    return 0;
}