【数论】[SDOI2010]古代猪文
大概就是求这个：
$$G^\sum_{k|N} C_{n}^{k}$$
显然只要把后面的$\sum_{k|N}C_{n}^{k}$求出来就好了
几个要用的定理：
欧拉定理的推论：(a和n互质)
$$a^b \equiv a^{b \mod \varphi(n)} \mod n$$
中国剩余定理：
$$x_0=\sum \frac{M}{m_i}*t_i*a_i$$
卢卡斯定理：
$$C_{n}^{m} \equiv C_{n \mod P}^{m \mod P}*C_{\frac{n}{P}}^{\frac{m}{P}} (mod P)$$
先用欧拉定理推论有：
$\sum_{k|N} C_{n}^{k}$可以等价为$ \sum_{k|N} C_{n}^{k} \mod \varphi(P)$
因为999911659是质数，所以显然有$\varphi(P)=P-1$
所以现在我们只要求$ \sum_{k|N} C_{n}^{k} \mod (mod-1)$即可
但是$mod-1$不是质数，卢卡斯定理不适用...
莫非...我们要打一个扩展......
其实并不用！
我们把$mod-1$分解因数有$$999911659=2*3*4679*35617$$
所以就可以做了，把每一个因数都做模数跑一遍，最后用CRT把解合并起来，跑快速幂即可
做这题真的可以复习好多数论知识qwq~
1 #include<bits/stdc++.h> 2 #define int long long 3 #define writeln(x) write(x),puts("") 4 #define writep(x) write(x),putchar(' ') 5 using namespace std; 6 inline int read(){ 7 int ans=0,f=1;char chr=getchar(); 8 while(!isdigit(chr)){if(chr=='-') f=-1;chr=getchar();} 9 while(isdigit(chr)){ans=(ans<<3)+(ans<<1)+chr-48;chr=getchar();} 10 return ans*f; 11 }void write(int x){ 12 if(x<0) putchar('-'),x=-x; 13 if(x>9) write(x/10); 14 putchar(x%10+'0'); 15 }const int P = 999911659,M = 1e6+5; 16 int fac[M],n,m,b[6]={0,2,3,4679,35617},a[M]; 17 int ksm(int x,int p,int mod){ 18 if(p==0)return 1ll; 19 if(p==1)return x%mod; 20 int t=ksm(x,p>>1,mod); 21 if(p&1)return t*t%mod*x%mod; 22 return t*t%mod; 23 } 24 inline void Pre(int mod){fac[0]=1;for(int i=1;i<=mod;i++) fac[i]=fac[i-1]*i%mod;} 25 inline int inv(int x,int mod){return ksm(x,mod-2,mod);} 26 int C(int x,int y,int mod){//Lucas 27 if(x<y) return 0; 28 if(x<mod&&y<mod) return fac[x]*inv(fac[y],mod)%mod*inv(fac[x-y],mod)%mod; 29 return C(x/mod,y/mod,mod)*C(x%mod,y%mod,mod)%mod; 30 }void exgcd(int a,int b,int &x,int &y){ 31 if(b==0) return x=1,y=0,void(); 32 exgcd(b,a%b,x,y); 33 int t=x;x=y;y=t-a/b*y; 34 }inline int CRT(){ 35 int M=P-1,ans=0; 36 for(int i=1;i<=4;i++){ 37 int m=M/b[i],t,p; 38 exgcd(m,b[i],t,p); 39 t=((t%b[i])+b[i])%b[i]; 40 ans=(ans+t*a[i]*m)%M; 41 }return ans; 42 }inline void Solve(){ 43 for(int k=1;k<=4;k++){ 44 int mod=b[k];Pre(mod); 45 for(int i=1;i*i<=n;i++) 46 if(n%i==0){ 47 a[k]=(a[k]+C(n,i,mod))%mod; 48 if(i*i!=n)a[k]=(a[k]+C(n,n/i,mod))%mod; 49 } 50 }cout<<ksm(m,CRT(),P); 51 }signed main(){ 52 n=read(),m=read(); 53 if(m%P==0) return puts("0"),0; 54 Solve(); 55 return 0; 56 }
