【期望DP】[zoj3329]One Person Game

题描：

有三个均匀的骰子，分别有k1,k2,k3个面，初始分数是0，
当掷三个骰子的点数分别为a,b,c的时候，分数清零，否则分数加上三个骰子的点数和，
当分数>n的时候结束。求需要掷骰子的次数的期望。

令f[i]为当前三个骰子点数和为i时掷骰子期望次数

则易有：(逆推)

$$f[i]=\sum({p[k]*f[i+k]})+f[0]*P_0+1$$

然而这是逆推...

咱并不知道$f[0]$的值

凉了

吗？

注意到求$f[i]$时跟它有关的所有f[k]中只有f[0]是未知的，那我们就把这玩意儿当做未知数

列方程：

令$f[i]=A_i*f[0]+B_i$(①),则有：

$$f[i+k]=A_{i+k}*f[0]+B_{i+k}$$

代入①式有：

$$f[i]=\sum[p[k]*(A_{i+k}*f[0]+B_{i+k})]+f[0]*P_0+1$$

(②)

(p[k]表示三个骰子掷出和为k时的概率)

变形得：

$$f[i]=[\sum(p[k]*A_{i+k})+P_0]*f[0]+\sum(p[k]*B_{i+k})+1$$

（③）

这样就能发现③式与①式的形式已经大致相同了.

综上：

$$A_i= \sum(p[k]*A_{i+k})+P_0$$

$$B_i=\sum(p[k]*B_{i+k})+1$$

令：$i=0$

 有：

$$f[0]=A_0*f[0]+B_0$$

综上：$$f[0]=\frac{B_0}{1-A_0}$$

而f[0]就是我们最后要求的答案

所以我们只需要求a[]和b[]就可以啦

#include<bits/stdc++.h>
#define writeln(x)  write(x),puts("")
#define writep(x)   write(x),putchar(' ')
using namespace std;
inline int read(){
    int ans=0,f=1;char chr=getchar();
    while(!isdigit(chr)){if(chr=='-') f=-1;chr=getchar();}
    while(isdigit(chr)){ans=(ans<<3)+(ans<<1)+chr-48;chr=getchar();}
    return ans*f;
}void write(int x){
    if(x<0) putchar('-'),x=-x;
    if(x>9) write(x/10);
    putchar(x%10+'0');
}const int M = 705;
int k[M],q[M],n;
double P,p[M],a[M],b[M];
inline void Clear_All(){memset(a,0,sizeof(a)),memset(b,0,sizeof(b)),memset(p,0,sizeof(p));} 
int main(){
    int T=read();
    while(Clear_All(),T--){
        n=read();
        for(int i=0;i<=2;i++) k[i]=read();
        for(int i=0;i<=2;i++) q[i]=read();
        P=1.0/(k[0]*k[1]*k[2]);
        for(int i=1;i<=k[0];i++)
            for(int j=1;j<=k[1];j++)
                for(int w=1;w<=k[2];w++)
                    if(i!=q[0]||j!=q[1]||w!=q[2])
                        p[i+j+w]+=P;
        for(int i=n;i>=0;i--){
            a[i]=P,b[i]=1;
            for(int j=0;j<=k[0]+k[1]+k[2];j++)
                a[i]+=a[i+j]*p[j],b[i]+=p[j]*b[i+j];
        }printf("%.15lf\n",b[0]/(1-a[0]));
    }return 0;
}