【转载】赠券收集问题

转载自：https://blog.csdn.net/gogdizzy/article/details/53161214 //在此表示感谢

略有修改，可能会易懂一些（当然不排除把你们带进坑里的可能）

1 定义

如果购买一袋小完能方便面，可以赠送一个卡片，一共有N中卡片，每种卡片出现概率一致（当然实际上商家肯定会把某种卡片出现概率调低），那么如果想收集全部卡片，需要购买多少袋方便面？（求期望值） 
这个问题就称为赠券收集者问题。

2 解决

设f(i)表示收集i种卡片的期望值，那么f(n)即为所求

f(1)=1　

楼主注：由于第一次肯定会抽到一张卡片， 并且不可能重复，所以f(1)=1;

假设我们已经收集了i种，那么要收集第i+1种时，除去已经有了的i种，剩下的卡片任何一个如果我们得到，总类数都增加了1，拿到新卡片的概率是(N-i)/N，所以

f(i+1)=f(i)+N/(N−i)f(i+1)=f(i)+N/(N−i)

楼主注：其实有些人看到这个等式可能会感觉奇怪，f(i+1)为什么等于1呢？我也不知道，其实是因为初值的问题，对每一个来说，第一次抽都是1，不知道怎样说有没有问题，如果有问题的话，希望指出，谢谢~

f(n)=1+N/(N−1)+N/(N−2)+…+N/1   

楼主注：数列的迭代得出的式子