【专题】概率期望DP
11.22：保持更新状态：主要发一些相关的题目和个人理解
（P.S.如果觉得简单，可以直接看后面的题目）
upd 11.30 更完了
【NO.1】
一道比较坑的题目,多给了一个没用的条件...其实就是利用线性关系，取一个平均值就OK了。
把最优情况和最差情况算出来，取一个算数平均值算出期望就OK了，应该是最简单的一道题了，关键是要想得到
1 #include<iostream> 2 #include<cstdio> 3 #include<cstring> 4 #include<algorithm> 5 using namespace std; 6 inline int read(){ 7 char chr=getchar(); int f=1,ans=0; 8 while(!isdigit(chr)) {if(chr=='-') f=-1;chr=getchar();} 9 while(isdigit(chr)) {ans=(ans<<3)+(ans<<1);ans+=chr-'0';chr=getchar();} 10 return ans*f; 11 } 12 void write(int x){ 13 if(x<0) putchar('-'),x=-x; 14 if(x>9) write(x/10); 15 putchar(x%10+'0'); 16 } 17 int n,d,p,i=0; 18 double ans=0; 19 int main(){ 20 while(n=read(),d=read(),n||d){ 21 ++i;ans=0;int k=0; 22 while(n--){ 23 int x=read(),y=read(),z=read(); 24 k+=y; 25 ans+=2.0*y/z; 26 }ans+=d-k; 27 printf("Case %d: %.3lf\n\n",i,ans); 28 } 29 return 0; 30 }
【NO.2】
SP1026 FAVDICE - Favorite Dice
其实这是一道赠券收集问题，这个看懂了之后，其实就很简单了
1 #include<iostream> 2 #include<cstdio> 3 #include<cstring> 4 #include<algorithm> 5 using namespace std; 6 inline int read(){ 7 char chr=getchar(); int f=1,ans=0; 8 while(!isdigit(chr)) {if(chr=='-') f=-1;chr=getchar();} 9 while(isdigit(chr)) {ans=(ans<<3)+(ans<<1);ans+=chr-'0';chr=getchar();} 10 return ans*f; 11 } 12 void write(int x){ 13 if(x<0) putchar('-'),x=-x; 14 if(x>9) write(x/10); 15 putchar(x%10+'0'); 16 } 17 int n; 18 int main(){ 19 n=read(); 20 while(n--){ 21 int x=read(); 22 double ans=0; 23 for(int i=1;i<=x;i++){ 24 ans+=x*1.0/(x-i+1); 25 } 26 printf("%.2lf\n",ans); 27 } 28 return 0; 29 }
中间小结：我们发现一个特性，代码很短，然而需要一定脑回路，想通了肯能5min就解决了，否则可能会想的很复杂（比如有一次码一百多行，后来发现可以O（1）时间一行直接输出...）
upd:11.26
【NO.3】
KIDS AND PRIZES
P.S. 额...这道题找不到来源，具体是SGU495，但是SGU消失了，Vjudge又不能提交，如果有读者知道怎么提交的话，可以在下面回复一下，谢谢
【题目描述】
n个盒子里装有礼物，m个人随机选择礼物，选完之后空盒子放回 问选中的礼物数的期望。
【思路】
有log(m)的做法（快速幂），在这里先介绍O（m）的做法
令dp[i]表示第i个人去箱子时的得到礼物的概率，那么有方程：
dp[1]=1,dp[i(i>1)]=dp[i-1]*(1-dp[i-1])+dp[i-1]*(dp[i-1]-1.0/n);
关于优化：
对上式进行化简，则有
dp[i]=dp[i-1]*(1-1.0/n)
不难发现1.0/n是一个常数 然后用数列的知识一顿瞎搞->dp[n]=(1-1.0/n)^m-1;
ans=∑dp[i]=n-n*((n-1)/n)^m
然后快速幂就好了
下面代码是O（m）的
1 #include<iostream> 2 #include<cstdio> 3 #include<cstring> 4 #include<algorithm> 5 using namespace std; 6 inline int read(){ 7 char chr=getchar(); int f=1,ans=0; 8 while(!isdigit(chr)) {if(chr=='-') f=-1;chr=getchar();} 9 while(isdigit(chr)) {ans=(ans<<3)+(ans<<1);ans+=chr-'0';chr=getchar();} 10 return ans*f; 11 } 12 void write(int x){ 13 if(x<0) putchar('-'),x=-x; 14 if(x>9) write(x/10); 15 putchar(x%10+'0'); 16 } 17 int n,m; 18 double dp[1000005],ans; 19 int main(){ 20 n=read(),m=read(); 21 dp[1]=1; 22 for(int i=2;i<=m;i++) 23 dp[i]=dp[i-1]*(1-dp[i-1])+dp[i-1]*(dp[i-1]-1.0/n),ans+=dp[i]; 24 printf("%.5lf",ans+1); 25 return 0; 26 } 27 28 啦啦啦~~
感觉有点写不下去了...难受，关键是找不到一些题目...
【NO.4】
ZOJ3640 help me escape
题目描述
英语不太好，翻译不来，用机翻吧...这里就不给出了（懒..）
【思路】
记忆化搜索是个好东西，其实用记忆化搜索做这种题有时候更方便呢...
如果i>c[j] dp[i]+=(int)(p*c[j]*c[j])/n;
如果i<=c[j] dp[i]+=(dfs(i+c[j])+1)/n;
P.S.注意向下取整！！！
1 #include<iostream> 2 #include<cstdio> 3 #include<cstring> 4 #include<algorithm> 5 #include<cmath> 6 using namespace std; 7 inline double read(){ 8 char chr=getchar(); int f=1,ans=0; 9 while(!isdigit(chr)) {if(chr=='-') f=-1;chr=getchar();} 10 while(isdigit(chr)) {ans=(ans<<3)+(ans<<1);ans+=chr-'0';chr=getchar();} 11 return ans*f*1.0; 12 } 13 void write(int x){ 14 if(x<0) putchar('-'),x=-x; 15 if(x>9) write(x/10); 16 putchar(x%10+'0'); 17 } 18 int n,m; 19 double dp[1000005]; 20 int a[1000005],b[1000005]; 21 const double t=(sqrt(5.0)+1.0)/2.0; 22 double dfs(int sum){ 23 if(dp[sum]>0) return dp[sum]; 24 for(int i=1;i<=n;i++){ 25 if(sum>a[i]) 26 dp[sum]+=(double)b[i]/n; 27 else dp[sum]+=(dfs(sum+a[i])+1.0)/n; 28 } 29 return dp[sum]; 30 } 31 int main(){ 32 while(~scanf("%d%d",&n,&m)){ 33 memset(dp,0,sizeof(dp)); 34 for(int i=1;i<=n;i++)cin>>a[i],b[i]=a[i]*a[i]*t; 35 double ans=dfs(m); 36 printf("%.3lf\n",ans); 37 } 38 return 0; 39 }
后面的题目会偏难一点噢.
upd:11.29
好吧，其实也不是很难。。。暴力枚举状态然后转移就好了
前面的题目看懂的话，这道题可以直接上代码了
1 #include<iostream> 2 #include<cstdio> 3 #include<cstring> 4 #include<algorithm> 5 using namespace std; 6 inline int read(){ 7 char chr=getchar(); int f=1,ans=0; 8 while(!isdigit(chr)) {if(chr=='-') f=-1;chr=getchar();} 9 while(isdigit(chr)) {ans=(ans<<3)+(ans<<1);ans+=chr-'0';chr=getchar();} 10 return ans*f; 11 } 12 void write(int x){ 13 if(x<0) putchar('-'),x=-x; 14 if(x>9) write(x/10); 15 putchar(x%10+'0'); 16 } 17 double f[60][10][10][10]; 18 int T,n,a1,a2,a3; 19 double solve(){ 20 double ans=0; 21 f[0][a1][a2][a3]=1; 22 for(int i=0;i<n;i++) 23 for(int a=0;a<=7;a++) 24 for(int b=0;b<=7;b++) 25 for(int c=0;c<=7;c++){ 26 if(a+b+c>7) continue; 27 if(a>0)f[i+1][a-1][b][c]+=(double)f[i][a][b][c]*(double)a/(double)(a+b+c+1); 28 if(b>0&&a+b+c==7)f[i+1][a+1][b-1][c]+=f[i][a][b][c]*(double)b/(double)(a+b+c+1); 29 if(b>0&&a+b+c<7) f[i+1][a+1][b-1][c+1]+=f[i][a][b][c]*(double)b/(double)(a+b+c+1); 30 if(c>0&&a+b+c==7) f[i+1][a][b+1][c-1]+=f[i][a][b][c]*(double)c/(double)(a+b+c+1); 31 if(c>0&&a+b+c<7) f[i+1][a][b+1][c]+=f[i][a][b][c]*(double)c/(double)(a+b+c+1); 32 f[i+1][a][b][c]+=f[i][a][b][c]/(double)(a+b+c+1); 33 ans+=f[i][a][b][c]/(double)(a+b+c+1); 34 }printf("%.2lf\n",ans); 35 } 36 37 int main(){ 38 T=read(); 39 while(T--){memset(f,0,sizeof(f)); 40 n=read(),a1=read(),a2=read(),a3=read();solve(); 41 } 42 return 0; 43 }
最后一道
刷表法就好了，有个技巧就是可以先排序一下，然后就能保证所有背包先被处理（因为与顺序无关，上面的“依次”是骗人的）
f[i][j][k] 表示第i个挑战，赢了j次，背包容量为k，还是暴力枚举状态枚举
具体可以见代码
1 #include<iostream> 2 #include<cstdio> 3 #include<cstring> 4 #include<algorithm> 5 using namespace std; 6 inline int read(){ 7 char chr=getchar(); int f=1,ans=0; 8 while(!isdigit(chr)) {if(chr=='-') f=-1;chr=getchar();} 9 while(isdigit(chr)) {ans=(ans<<3)+(ans<<1);ans+=chr-'0';chr=getchar();} 10 return ans*f; 11 } 12 void write(int x){ 13 if(x<0) putchar('-'),x=-x; 14 if(x>9) write(x/10); 15 putchar(x%10+'0'); 16 } 17 int n,l,k; 18 struct P{double p;int a;}a[100005];//概率 属性 19 double f[205][205][205]; 20 bool cmp(const P &x,const P &b){return x.a>b.a;} 21 int main(){ 22 n=read(),l=read(),k=read(); 23 for(int i=1;i<=n;i++) cin>>a[i].p,a[i].p/=100.0; 24 for(int i=1;i<=n;i++) cin>>a[i].a; 25 sort(a+1,a+n+1,cmp); 26 f[0][0][min(200,k)]=1; 27 for(int i=0;i<n;i++) 28 for(int j=0;j<=i;j++) 29 for(int k=0;k<=n;k++){ 30 f[i+1][j][k]+=f[i][j][k]*(1.0-a[i+1].p);//失败 31 int v=k+a[i+1].a; 32 if(v<0) continue;v=min(n,v); 33 f[i+1][j+1][v]+=f[i][j][k]*a[i+1].p;//成功 34 } 35 double ans=0; 36 for(int i=l;i<=n;i++) 37 for(int j=0;j<=n;j++) 38 ans+=f[n][i][j]; 39 printf("%.6lf",ans); 40 return 0; 41 }
