小猴打架(luogu4430)(数论+生成树计数)
一开始森林里面有\(N\)只互不相识的小猴子，它们经常打架，但打架的双方都必须不是好朋友。每次打完架后，打架的双方以及它们的好朋友就会互相认识，成为好朋友。经过\(N-1\)次打架之后，整个森林的小猴都会成为好朋友。 现在的问题是，总共有多少种不同的打架过程。 比如当\(N=3\)时，就\(\{1-2,1-3\}\{1-2,2-3\}\{1-3,1-2\}\{1-3,2-3\}\{2-3,1-2\}\{2-3,1-3\}\)六种不同的打架过程。
Input
一个整数N。
Output
一行，方案数\(mod 9999991\)。
Sample Input
4
Sample Output
96
Hint
50%的数据\(N<=10^3\)。 100%的数据\(N<=10^6\)。
题意：
中文题面，不解释
题解：
用矩阵树定理
先得一邻接矩阵\((1)\)
\[\left|
\begin{matrix}
0 & 1 & 1 & \cdots & 1\\
1 & 0 & 1 & \cdots & 1\\
1 & 1 & 0 & \cdots & 1\\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\
1 & 1 & 1 & \cdots & 0
\end{matrix}
\right|\tag{1}
\]
再得一度数矩阵\((2)\)
\[\left|
\begin{matrix}
N-1 & 0 & 0 & \cdots & 0\\
0 & N-1 & 0 & \cdots & 0\\
0 & 0 & N-1 & \cdots & 0\\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\
0 & 0 & 0 & \cdots & N-1
\end{matrix}
\right|\tag{2}
\]
\(\{2\}-\{1\}\)得基尔霍夫矩阵\((3)\)
\[\left|
\begin{matrix}
N-1 & -1 & -1 & \cdots & -1\\
-1 & N-1 & -1 & \cdots & -1\\
-1 & -1 & N-1 & \cdots & -1\\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\
-1 & -1 & -1 & \cdots & N-1
\end{matrix}
\right|\tag{3}
\]
取前\(N-1\)行\(N-1\)列高斯消元，得\((4)\)
\[\left|
\begin{matrix}
1 & 1 & 1 & \cdots & 1\\
0 & N & 0 & \cdots & 0\\
0 & 0 & N & \cdots & 0\\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\
0 & 0 & 0 & \cdots & N
\end{matrix}
\right|\tag{4}
\]
然后求一下行列式就是答案了：
\(N^{N-2}\)
额，好吧还需要乘一个排列，因为打架的顺序可以不同
所以答案其实是：
\(N^{N-2}(N-1)!\)
#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;
const ll p=9999991;
ll a,ans=1;
int main(){
cin>>a;
for(ll i=1;i<=a-2;++i){
ans*=a;
ans%=p;
}
for(ll i=1;i<=a-1;++i){
ans*=i;
ans%=p;
}
cout<<ans<<endl;
}
