[luoguP3172] [CQOI2015]选数(递推+容斥原理)

传送门

 

不会莫比乌斯反演,不会递推。

但是我会看题解。

 

先将区间[L,H]变成(L-1,H],这样方便处理

然后求这个区间内gcd为k的方案数

就是求区间((L-1)/k,H/k]中gcd为1的方案数

 

有个重要的性质:如果有一些不相同的数,最大的为a,最小的为b,任意选取其中的一些数,则他们的gcd<=a-b

 

设f[i]表示gcd为i且所选的数不相同的方案数,但是不好求,只容易求出gcd为i的倍数g[i]的方案数

考虑容斥原理,f[i] = g[i] - f[2i] - f[3i] - ……

计算g[i]的时候要把相同的数的方案数减去,因为我们有个前提,只有数都不相同时gcd的大小才能保证

倒着递推便可以省略g数组

 

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#include <cstdio>
#define N 100001
#define p 1000000007
#define LL long long
 
using namespace std;
 
LL f[N];
int n, k, l, r, flag, len;
 
inline LL ksm(LL x, int y)
{
    LL ret = 1;
    for(; y; y >>= 1)
    {
        if(y & 1) ret = ret * x % p;
        x = x * x % p;
    }
    return ret;
}
 
int main()
{
    int i, j, x, y;
    scanf("%d %d %d %d", &n, &k, &l, &r);
    if(l <= k && k <= r) flag = 1;
    l--, l /= k, r /= k, len = r - l;
    //转变成求区间(l, r]中gcd为1的方案数
    for(i = len; i >= 1; i--)
    {
        x = l / i, y = r / i;
        f[i] = (LL)(ksm(y - x, n) - (y - x)) % p;
        for(j = i + i; j <= len; j += i) f[i] = (f[i] - f[j]) % p;
    }
    printf("%lld\n", (f[1] + flag + p) % p);
    return 0;
}

  

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