[luoguP1045] 麦森数（快速幂 + 高精度）

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这道题纯粹是考数学。编程复杂度不大（别看我写了一百多行其实有些是可以不必写的）。

计算位数不必用高精时刻存，不然可想而知时间复杂度之大。首先大家要知道一个数学公式 logn(a*b)=logn(a)+logn(b)至于证明翻数学书吧。而且，用log10(n)+1即可求出n的位数。

则2^p的位数=log10(2^p)+1=p*log10(2)+1。这样，我们算的时候就不必随时存着位数了。

但是，如果直接写高精和n次循环，时间复杂度依旧很高。所以我们就要用快速幂。幂的运算是初中内容，几个公式如下:n^a*n^b=n^(a+b)，(n^a)^b=n^(a*b)。

所以，我们就可以将乘方的复杂度优化成O(logn)了。

 

代码

#include <cmath>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>

using namespace std;

const int MAXN = 2001;

char c[MAXN];

inline char *read()
{
    scanf("%s", c);
    return c;
}

struct Big_int
{
    int s[MAXN], idx;
    Big_int()
    {
        idx = 0;
        memset(s, 0, sizeof(s));
    }
    inline void operator = (char *c)
    {
        idx = strlen(c);
        for(int i = 0; i < idx; i++) s[i] = c[idx - i - 1] - '0';
    }
    inline void operator = (int x)
    {
    	idx = 0;
    	memset(s, 0, sizeof(s));
    	if(!x) idx++;
        while(x)
        {
            s[idx] = x % 10;
            x /= 10;
            idx++;    
        }
    }
    inline void print()
    {
        if(!idx) printf("0");
        else for(int i = idx - 1; i >= 0; i--)
        {
        	if(!((i + 1) % 50)) puts("");
        	printf("%d", s[i]);
    	}
        puts("");
    }
};

inline Big_int operator + (const Big_int x, const Big_int y)
{
    Big_int ret;
    ret.idx = max(x.idx, y.idx) + 1;
    for(int i = 0; i < ret.idx; i++)
    {
        ret.s[i] += x.s[i] + y.s[i];
        if(ret.s[i] >= 10)
            ret.s[i + 1] += 1, ret.s[i] -= 10;
    }
    while(!ret.s[ret.idx - 1] && ret.idx > 1) ret.idx--;
    return ret;
}

inline bool operator < (const Big_int x, const Big_int y)
{
    if(x.idx < y.idx) return 1;
    if(x.idx > y.idx) return 0;
    for(int i = x.idx - 1; i >= 0; i--)
        if(x.s[i] ^ y.s[i])
            return x.s[i] < y.s[i];
    return 0;
}

inline Big_int operator - (Big_int x, Big_int y)
{
    Big_int ret;
    if(x < y) swap(x, y);
    ret.idx = x.idx;
    for(int i = 0; i < ret.idx; i++)
    {
        if(x.s[i] < y.s[i])
        {
            x.s[i] += 10;
            x.s[i + 1]--;
        }
        ret.s[i] = x.s[i] - y.s[i];
    }
    while(!ret.s[ret.idx - 1] && ret.idx > 1) ret.idx--;
    return ret;
}

inline Big_int operator * (const Big_int x, const Big_int y)
{
    Big_int ret;
    ret.idx = x.idx + y.idx;
    for(int i = 0; i < x.idx; i++)
        for(int j = 0; j < y.idx; j++)
        {
            ret.s[i + j] += x.s[i] * y.s[j];
            ret.s[i + j + 1] += ret.s[i + j] / 10;
            ret.s[i + j] %= 10;
        }
    while(!ret.s[ret.idx - 1] && ret.idx > 1) ret.idx--;
    return ret;
}

int p;
Big_int a, ans;

int main()
{
    int i, j, k, x, y;
	scanf("%d", &p);
	cout << floor(log(2) / log(10) * p + 1);
    ans = 1;
    a = 2;
	while(p)
    {
    	if(p & 1) ans = ans * a, ans.idx = min(ans.idx, 500);
    	a = a * a, a.idx = min(a.idx, 500);
    	p >>= 1;
    }
	a = 1; 
    ans = ans - a;
    ans.idx = 500;
	ans.print();
    return 0;
}