常用极限定理

1.数列运算法则

2.函数运算法则

3.有关函数极限定理

4.两边夹定理（夹逼定理）

5.单调有界收敛定理

6.两个重要极限

posted @ 2024-10-31 16:01 zhengchenxi 阅读(142) 评论(0) 编辑收藏举报

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zhengchenxi

常用极限定理

1.数列运算法则

假设 limx→∞xn=a , limy→∞yn=b

（1）limn→∞(xn+yn)=limn→∞xn+limn→∞yn=a+b（减法，乘法同）

（2） limn→∞xnyn=limn→∞xnlimn→∞yn=ab(limn→∞yn=b≠0)

（3）limn→∞xn=limn→∞xn=a(xn≥0,a≥0)

2.函数运算法则

基本等同数列运算法则

拓展

limf(x)n=[limf(x)]n

lim(k∗f(x))=k∗limf(x)

3.有关函数极限定理

定理1： limx→∞f(x)=A 的充要条件是 limx→+∞f(x)=limx→−∞f(x)=A

定理2：函数 f(x) 当 x→x0 时极限存在的充分必要条件是左极限及右极限各自存在且相等，此定理可以用来证明函数极限不存在。

4.两边夹定理（夹逼定理）

准则1（数列） 如果数列 xn,yn,zn 满足下列条件：

（1），为自然数，为自然数yn≤xn≤zn(n=N+1,N+2,...，N为自然数)

（2）limn→∞yn=limn→∞zN=a,

则 limn→∞xn 存在，且为 a 。

准则2（函数） 等同准则1,把范围拓广即可。

5.单调有界收敛定理

准则1：单调有界数列必有极限。

（1）单调递增有上界数列必有极限。

（2）单调递减有下界数列必有极限。

故求解数列极限可分三个步骤：证单调，证有界，列方程求极限（对递推式两边同时区极限，即假定 xn=xn−1 ）。

6.两个重要极限

第一重要极限

limx→0sinxx=1

证明：在单位圆中，如图所示,设 ∠AOB=x(0<x<π2) 则 BD=sinx,AC=tanx,AB⌢=x.

因为 扇形扇形S△AOB<S扇形AOB<S△AOC,即 sinx<x<tanx.

故 cosx<sinxx<1

根据两边夹定理： limx→01=limx→0cosx=1 ,得 limx→0sinxx=1 .

第二重要极限

limx→∞(1+1x)x=e

证明：首先利用二项式定理可以证明数列 xn=(1+1n)n 一定为单调有界的数列（直接二项式定理,然后拆出来每一项即可）,所以 xn=(1+1n)n 存在极限。

于是我们定义 limn→∞(1+1n)n 的极限的值记为 e ，这个值即自然对数 y=lnx 的底。该数列的极限可以推广到函数。

变式：limx→∞(1+x)1x=e

第二重要极限的特征：为 1∞ 型，即指数的极限为 ∞ 。

推论1：

limx→0ln(1+x)x=1

证明： limx→0ln(1+x)x=limx→0ln(1+x)1x=lnlimx→0(1+x)1x=lne=1

推论2：

limx→0ex−1x=1

证明：令 y=ex−1 ，因为 x→0，所以 y→0 ，则 x=In(1+y).

将式子代换得： limy→0yIn(1+y)=limy→01In(1+y)y=1

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假设 $l i m_{x \to \infty} x_{n} = a$ , $l i m_{y \to \infty} y_{n} = b$

（1） $l i m_{n \to \infty} (x_{n} + y_{n}) = l i m_{n \to \infty} x_{n} + l i m_{n \to \infty y_{n}} = a + b$ （减法，乘法同）

（2） $l i m_{n \to \infty} \frac{x_{n}}{y_{n}} = \frac{l i m_{n \to \infty} x_{n}}{l i m_{n \to \infty} y_{n}} = \frac{a}{b} (l i m_{n \to \infty} y_{n} = b \neq 0)$

（3） $l i m_{n \to \infty} \sqrt{x_{n}} = \sqrt{l i m_{n \to \infty} x_{n}} = \sqrt{a} (x_{n} \geq 0, a \geq 0)$

$l i m f (x)^{n} = [l i m f (x)]^{n}$

$l i m (k * f (x)) = k * l i m f (x)$

定理1： $l i m_{x \to \infty} f (x) = A$ 的充要条件是 $l i m_{x \to + \infty} f (x) = l i m_{x \to - \infty} f (x) = A$

定理2：函数 $f (x)$ 当 $x \to x_{0}$ 时极限存在的充分必要条件是左极限及右极限各自存在且相等，此定理可以用来证明函数极限不存在。

准则1（数列）如果数列 $x_{n}, y_{n}, z_{n}$ 满足下列条件：

（1） $y_{n} \leq x_{n} \leq z_{n} (n = N + 1, N + 2, . . . ， N 为自然数)$

（2） $l i m_{n \to \infty} y_{n} = l i m_{n \to \infty} z_{N} = a$ ,

则 $l i m_{n \to \infty} x_{n}$ 存在，且为 $a$ 。

准则2（函数）等同准则1,把范围拓广即可。

故求解数列极限可分三个步骤：证单调，证有界，列方程求极限（对递推式两边同时区极限，即假定 $x_{n} = x_{n - 1}$ ）。

$l i m_{x \to 0} \frac{s i n x}{x} = 1$

证明：在单位圆中，如图所示,设 $∠ A O B = x (0 < x < \frac{π}{2})$ 则 $B D = s i n x, A C = t a n x, \overset{⌢}{A B} = x .$

因为 $S_{△ A O B} < S_{扇形 A O B} < S_{△ A O C}$ ,即 $s i n x < x < t a n x$ .

故 $c o s x < \frac{s i n x}{x} < 1$

根据两边夹定理： $l i m_{x \to 0} 1 = l i m_{x \to 0} c o s x = 1$ ,得 $l i m_{x \to 0} \frac{s i n x}{x} = 1$ .

$l i m_{x \to \infty} (1 + \frac{1}{x})^{x} = e$

证明：首先利用二项式定理可以证明数列 $x_{n} = (1 + \frac{1}{n})^{n}$ 一定为单调有界的数列（直接二项式定理,然后拆出来每一项即可）,所以 $x_{n} = (1 + \frac{1}{n})^{n}$ 存在极限。

于是我们定义 $l i m_{n \to \infty} (1 + \frac{1}{n})^{n}$ 的极限的值记为 $e$ ，这个值即自然对数 $y = l n x$ 的底。该数列的极限可以推广到函数。

变式： $l i m_{x \to \infty} (1 + x)^{\frac{1}{x}} = e$

第二重要极限的特征：为 $1^{\infty}$ 型，即指数的极限为 $\infty$ 。

$l i m_{x \to 0} \frac{l n (1 + x)}{x} = 1$

证明： $l i m_{x \to 0} \frac{l n (1 + x)}{x} = l i m_{x \to 0} l n (1 + x)^{\frac{1}{x}} = l n l i m_{x \to 0} (1 + x)^{\frac{1}{x}} = l n e = 1$

$l i m_{x \to 0} \frac{e^{x} - 1}{x} = 1$

证明：令 $y = e^{x} - 1$ ，因为 $x \to 0$ ，所以 $y \to 0$ ，则 $x = I n (1 + y)$ .

将式子代换得： $l i m_{y \to 0} \frac{y}{I n (1 + y)} = l i m_{y \to 0} \frac{1}{\frac{I n (1 + y)}{y}} = 1$