平方和公式

$\sum _{i=1}^n{i}^2=\frac{n\ast (n+1)\ast (2n+1)}{6}$

证明

$1^2=1$

$2^2=1+3$

$3^2=1+3+5$

……

$n^2=1+3+5+\dots \dots +(2n-1)$

据此可以得出：

$\sum _{i=1}^n{i}^2=1\ast n+3\ast (n-1)+5\ast (n-2)+\dots \dots +(2n-1)\ast 1$

化简：

$\sum _{i=1}^n{i}^2=\sum _{i=1}^n(2i-1)\ast n-\sum _{i=1}^n(i-1)\ast (2i-1)$

$\sum _{i=1}^n{i}^2=n\ast \sum _{i=1}^n(2i-1)-\sum _{i=1}^n(i-1)\ast (2(i-1)+1)$

$\sum _{i=1}^n{i}^2=n\ast \sum _{i=1}^n(2i-1)-\sum _{i=1}^{n}2\ast (i-1{)}^2+(i-1)$

$\sum _{i=1}^n{i}^2=n\ast \sum _{i=1}^n(2i-1)-2\ast \sum _{i=1}^n(i-1{)}^2+\sum _{i=1}^n(i-1)$

根据数列的性质，我们可以在化简一步：

$\sum _{i=1}^n{i}^2=n\ast \frac{(2n-1+1)\ast n}{2}+\frac{(n-1+0)\ast n}{2}-2\ast \sum _{i=1}^n(i-1{)}^2$

$\sum _{i=1}^n{i}^2=n^3+\frac{n(n-1)}{2}-2\ast \sum _{i=1}^n(i-1{)}^2$

到这里就很难再进行化简了,那我们引入一个显而易见的结论

$\sum _{i=1}^n{i}^2-\sum _{i=1}^n(i-1{)}^2=n^2$

变换一下这个式子

$2\ast \sum _{i=1}^n{i}^2=2\ast \sum _{i=1}^n(i-1{)}^2+2n^2$

用这个式子加上上面的式子

$3\ast \sum _{i=1}^n{i}^2=n^3+2n^2+\frac{n(n-1)}{2}$

最后，终于得到了我们要证的式子了

$\sum _{i=1}^n{i}^2=\frac{n\ast (n+1)\ast (2n+1)}{6}$