二项式定理

二项式定理

$(x+y{)}^n=\sum _{k=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})x^{n-k}{y}^k$

证明

$(x+y{)}^n=(x+y)\ast (x+y)\ast (x+y)\ast ...$
我们考虑多项式乘法$(a+b)\ast (a+b)=a\ast a+a\ast b+b\ast a+b\ast b$
于是我们枚举每个因子相乘，可以发现$(x+y{)}^n$每个括号里的 $x$ 和 $y$ 最多只能选一个，乘出来的每个单项式次数和必然为 $n$ 。
知道这些，那我们再考虑$x^{n-k}{y}^k$会被选出来多少次，这其实也很好知道，无非就是 $n$ 个 $y$
中选出了多少个呗，我们直接枚举即可，于是就得到了这个式子。

例题

推柿子题

设 $cnt[i]$ 数组为字符中问号的前缀和。

那很简单列出原始式子

$$\begin{array}{rl}ans& =\sum _{0\le L<R\le n}(R-L{)}^k\ast \frac{1}{2^{cntR-cntL}}\\ & =\sum _{0\le L<R\le n}\sum _{i=0}^k(\genfrac{}{}{0ex}{}{k}{i})R^{k-i}(-L{)}^i\ast 2^{-cntR}\ast 2^{cntL}\\ & =\sum _{i=0}^k(\genfrac{}{}{0ex}{}{k}{i})\sum _{R=1}^n{R}^{k-i}\ast 2^{-cntR}\sum _{L=0}^{R-1}(-L{)}^i\ast 2^{cntL}\end{array}$$

我们就可以 $O(nk)$ 预处理， $O(n)$ 遍历，即可得到答案。