cdq分治

我觉得呢，cdq的本质就是在归并排序消掉一维的影响来处理多维偏序问题。既然本质跟二分有关，那很容易猜到cdq处理k维偏序的时间复杂度为\(O(Nlog^{k-1}N)\)

三维偏序问题：形如：$求满足条件a_i<a_j,b_i<b_j,c_i<c_j且 \(j !=i\) 的 j 个数

比较常考的就是三维偏序，一般做法就是sort消掉一维的影响，cdq消掉一维的影响，在用树状数组维护前缀和来完成。

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#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N=1e6+107;
int n,k;
int b[N],s[N],f[N];
int read()
{
	int f=1,s=0;char ch=getchar();
	while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-') f=-1;ch=getchar();}
	while(ch>='0'&&ch<='9'){s=(s<<1)+(s<<3)+(ch^48);ch=getchar();}
	return f*s;
}


struct lmy
{
	int x,y,z,id;
}a[N];

bool comp1(lmy a,lmy b)
{
	if(a.x!=b.x) return a.x<b.x;
	if(a.y!=b.y) return a.y<b.y;
	return a.z<b.z;
}
bool comp2(lmy a,lmy b)
{
	if(a.y!=b.y) return a.y<b.y;
	if(a.z!=b.z) return a.z<b.z;
	return a.x<b.x;
}
struct tree_array
{
	int c[N];
	int lowbit(int x){return x&(-x);}
	void add(int x,int val)
	{
		while(x<=k)
		{
			c[x]+=val;
			x+=lowbit(x);
		}
	}
	int sum(int x)
	{
		int ans=0;
		while(x)
		{
			ans+=c[x];
			x-=lowbit(x);
		}
		return ans;
	}
}Q;
void cdq(int l,int r)
{
	if(l==r) return ;
	int mid=(l+r)>>1;
	cdq(l,mid); cdq(mid+1,r);
	sort(a+l,a+r+1,comp2);
	for(int i=l;i<=r;i++)
	{
		if(a[i].x<=mid) Q.add(a[i].z,1);
		else s[a[i].id]+=Q.sum(a[i].z);
	}
	for(int i=l;i<=r;i++) if(a[i].x<=mid) Q.add(a[i].z,-1);
}
int main()
{
	n=read(),k=read();
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		a[i].x=read(),a[i].y=read(),a[i].z=read();
		a[i].id=i;
	}
	sort(a+1,a+1+n,comp1);
	int i=1;
	while(i<=n)
	{
		int j=i+1;
		while(j<=n&&a[j].x==a[i].x&&a[j].y==a[i].y&&a[j].z==a[i].z)
			j++;
		while(i<j) 
			b[a[i].id]=a[j-1].id,i++;
	}
	for(int i=1;i<=n;i++) a[i].x=i;
	cdq(1,n);
	for(int i=1;i<=n;i++) f[s[b[a[i].id]]]++;
	for(int i=0;i<n;i++) printf("%d\n",f[i]);
}

至于更多维的偏序问题，我们就可以cdq套cdq套cdq……