基于概率判断矩阵A*B是否等于C

如果是$O(n^3)$的暴力肯定会T，那么我们想有没有一种方法可以不用直接让 $A\ast B$ 而是间接得到，
我们可以随一个n*1的矩阵 D 出来，矩阵乘法是满足结合律的：

$A\ast B=C$
$A\ast B\ast D=C\ast D$
$A\ast (B\ast D)=C\ast D$
这样我们就可以在$O(n^2)$的复杂度完成判断,
根据不知道是啥的秩_零化度定理，这样出错的概率极低，只有${998244353}^{-1}$。

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#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

#define int long long
const int N=3e3+107;
const int mod=998244353;
int a[N][N],b[N][N],c[N][N];
int d[N],e[N],f[N];

int read()
{
	int f=1,s=0;char ch=getchar();
	while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-') f=-1; ch=getchar();}
	while(ch>='0'&&ch<='9'){s=(s<<1)+(s<<3)+(ch^48);ch=getchar();}
	return f*s;
}
signed main()
{
	freopen("in.in","r",stdin);
	freopen("out.out","w",stdout);
	mt19937_64 gen(time(0));
	int T=read();
	while(T--)
	{
		int n=read();
		for(int i=1;i<=n;i++) for(int j=1;j<=n;j++) a[i][j]=read();
		for(int i=1;i<=n;i++) for(int j=1;j<=n;j++) b[i][j]=read();
		for(int i=1;i<=n;i++) for(int j=1;j<=n;j++) c[i][j]=read();
		
		for(int i=1;i<=n;i++)
		{
			f[i]=gen()%(mod-1)+1;
			d[i]=e[i]=0;
		}
		for(int i=1;i<=n;i++) 
		{
			for(int j=1;j<=n;j++)
			{
				d[i]=(d[i]+b[i][j]*f[j]%mod)%mod;
			}
		}
		for(int i=1;i<=n;i++)
		{
			for(int j=1;j<=n;j++)
			{
				e[i]=(e[i]+c[i][j]*f[j]%mod)%mod;
			}
		}
		for(int i=1;i<=n;i++) f[i]=d[i],d[i]=0;
		for(int i=1;i<=n;i++)
		{
			for(int j=1;j<=n;j++)
			{
				d[i]=(d[i]+a[i][j]*f[j]%mod)%mod;
			}
		}
		bool flag=0;
		for(int i=1;i<=n;i++) if(d[i]%mod!=e[i]%mod) flag=1;
		if(flag) printf("No\n");
		else printf("Yes\n");
	}
}