卡特兰数（Catalan）

1.简介：

卡特兰数是组合数学中一个常出现于各种计数问题中的数列。

十以内的卡特兰数，方便打表找规律，稍微记记。
1 2 5 14 42 132 429 1430 4862 16796

2.catalan递推式子

（1）

点击查看代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

#define int long long
const int N=1e5+100;
const int mod=1e9+7;
int n;
int dp[N];
void Catalan(int n)
{
	dp[0]=1;dp[1]=1;
	for(int j=2;j<=n;j++)
	{
		for(int i=0;i<j;i++)
		{
			(dp[j]+=dp[i]*dp[j-1-i]%mod)%=mod;
		}
	}
}

signed main()
{
	scanf("%lld",&n);Catalan(n);
	for(int i=1;i<=n;i++)
	printf("%lld\n",dp[i]);
}

（2）

3.适用范围

（1）括号匹配

数字 n 代表生成括号的对数，请你设计一个函数，用于能够生成所有可能的并且有效的括号组合。

类似的，再来看一道例题：

买卖找零问题：

售票处售卖球票，每张票 50 元。有2n人前来买票

其中一半人手持 50 元钞票
另一半人手持 100 元钞票
若售票处开始没有任何零钱，问：有多少种排队方式，能够让售票顺畅进行。

思路：

把手持 50 元钞票的人视为左括
把手持 100 元钞票的人视为右括号
左右括号合法配对，即先出现左括号，再出现右括号，就可以让售票顺畅执行

可以看到，问题又变成了求解 n 的卡特兰数

（2）出栈顺序

一个栈(无穷大)的进栈序列为1，2，3，…，n，有多少个不同的出栈序列?

（3）凸多边形三角划分

在一个凸多边形中，通过若干条互不相交的对角线，把这个多边形划分成了若干个三角形。任务是键盘上输入凸多边形的边数n，求不同划分的方案数f（n）。比如当n=6时，f（6）=14。

（4）给定节点组成二叉搜索树

给定N个节点，能构成多少种不同的二叉搜索树。

（5）路径统计问题

从左上到右下（或从左下到右上）