[LeetCode 300.] 最长递增子序列

LeetCode 300. 最长递增子序列

题目描述

给你一个整数数组 nums ，找到其中最长严格递增子序列的长度。

子序列是由数组派生而来的序列，删除（或不删除）数组中的元素而不改变其余元素的顺序。例如，[3,6,2,7] 是数组 [0,3,1,6,2,2,7] 的子序列。

示例 1：

输入：nums = [10,9,2,5,3,7,101,18]
输出：4
解释：最长递增子序列是 [2,3,7,101]，因此长度为 4 。

示例 2：

输入：nums = [0,1,0,3,2,3]
输出：4

示例 3：

输入：nums = [7,7,7,7,7,7,7]
输出：1

提示：

• 1 <= nums.length <= 2500
• -104 <= nums[i] <= 104

进阶：

• 你可以设计时间复杂度为 O(n2) 的解决方案吗？
• 你能将算法的时间复杂度降低到 O(n log(n)) 吗?

解题思路

思路一：

首先找出以 nums[i] 为末尾元素的最长递增子序列，然后取最大值即为全局最长递增子序列。
时间复杂度 O(n^2) 空间复杂度 O(n)。

思路二：

从1开始，找出长度为k的递增子序列的最小末尾元素值，然后就可得知自增子序列最大长度。
为何是最小末尾元素值？是为了让递增子序列可以尽可能最长。
时间复杂度 O(n^2) 空间复杂度 O(n)。

思路三：

继续沿着思路二思考，我们观察维护的这个最小末尾元素序列，可以发现其必然是递增序列。此处可用反证法证明。
有了这个发现之后，我们就可以用二分查找来优化我们算法的时间复杂度了。
时间复杂度 O(nlogn) 空间复杂度 O(n)。

参考代码

解法一：

class Solution {
public:
    int lengthOfLIS(vector<int>& nums) {
        size_t n = nums.size();
        vector<int> len(n, 1); // LIS end up with nums[i]
        for (size_t i = 0; i<n; i++) {
            for (size_t j = 0; j<i; j++) {
                if (nums[j] < nums[i]) {
                    len[i] = max(len[i], len[j] + 1);
                }
            }
        }
        int maxlen = 0;
        for (int x : len) {
            if (x > maxlen) {
                maxlen = x;
            }
        }
        return maxlen;
    } // O(n^2) time O(n) space
};

解法二：

class Solution {
public:
    int lengthOfLIS(vector<int>& nums) {
        vector<int> tail;
        tail.push_back(INT32_MIN); // guard, for len=1 update
        for (int x : nums) {
            for (int64_t i = tail.size() - 1; i >= 0; i--) {
                if (tail[i] < x) {
                    if (i == tail.size() - 1) {
                        tail.push_back(x);
                    } else {
                        tail[i+1] = min(tail[i+1], x);
                    }
                }
            }
        }
        return tail.size() - 1;
    } // O(n^2) time O(n) space
};

这里用了一个哨兵，用来解决长度为1的递增子序列的最小末尾值更新，使其和长度大于1的使用相同逻辑来维护。

解法三：

class Solution {
public:
    int lengthOfLIS(vector<int>& nums) {
        vector<int> tail;
        tail.push_back(INT32_MIN); // guard, for len=1 update
        for (int x : nums) {
            auto it = lower_bound(tail.begin(), tail.end(), x);
            if (it == tail.end()) {
                tail.push_back(x);
            } else {
                *it = x;
            }
        }
        return tail.size() - 1;
    } // O(nlogn) time O(n) space
};

还有一种经典写法更精简，充分利用了 lower_bound 返回值是 大于或等于 x 的第一个元素位置 这一特点：

    int lengthOfLIS(vector<int>& nums) {
        size_t n = nums.size();
        vector<int> tail(n, INT32_MAX);
        for (int x : nums) {
            *lower_bound(tail.begin(), tail.end(), x) = x;
        }
        return lower_bound(tail.begin(), tail.end(), INT32_MAX) - tail.begin();
    } // O(nlogn) time O(n) space