最小生成树-Prim算法和Kruskal算法
Prim算法
1.概览
普里姆算法（Prim算法）。图论中的一种算法，可在加权连通图里搜索最小生成树。意即由此算法搜索到的边子集所构成的树中。不但包括了连通图里的全部顶点，且其全部边的权值之和亦为最小。该算法于1930年由捷克数学家沃伊捷赫·亚尔尼克发现。并在1957年由美国计算机科学家罗伯特·普里姆独立发现。1959年，艾兹格·迪科斯彻再次发现了该算法。
因此，在某些场合，普里姆算法又被称为DJP算法、亚尔尼克算法或普里姆－亚尔尼克算法。
2.算法简单描写叙述
1).输入：一个加权连通图。当中顶点集合为V，边集合为E；
2).初始化：Vnew = {x}，当中x为集合V中的任一节点（起始点），Enew = {},为空；
3).反复下列操作，直到Vnew = V：
a.在集合E中选取权值最小的边<u, v>，当中u为集合Vnew中的元素。而v不在Vnew集合当中。而且v∈V（如果存在有多条满足前述条件即具有同样权值的边，则可随意选取当中之中的一个）；
b.将v增加集合Vnew中，将<u, v>边增加集合Enew中。
4).输出：使用集合Vnew和Enew来描写叙述所得到的最小生成树。
以下对算法的图例描写叙述
| 图例 | 说明 | 不可选 | 可选 | 已选（Vnew） |
|---|---|---|---|---|
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此为原始的加权连通图。每条边一側的数字代表其权值。 | - | - | - |
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顶点D被随意选为起始点。顶点A、B、E和F通过单条边与D相连。A是距离D近期的顶点。因此将A及对应边AD以高亮表示。 | C, G | A, B, E, F | D |
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下一个顶点为距离D或A近期的顶点。B距D为9，距A为7。E为15。F为6。因此，F距D或A近期，因此将顶点F与对应边DF以高亮表示。 | C, G | B, E, F | A, D |
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算法继续反复上面的步骤。距离A为7的顶点B被高亮表示。 | C | B, E, G | A, D, F |
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在当前情况下，能够在C、E与G间进行选择。C距B为8，E距B为7，G距F为11。E近期。因此将顶点E与对应边BE高亮表示。 | 无 | C, E, G | A, D, F, B |
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这里。可供选择的顶点仅仅有C和G。C距E为5。G距E为9，故选取C，并与边EC一同高亮表示。 | 无 | C, G | A, D, F, B, E |
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顶点G是唯一剩下的顶点，它距F为11，距E为9，E近期。故高亮表示G及对应边EG。 | 无 | G | A, D, F, B, E, C |
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如今，全部顶点均已被选取，图中绿色部分即为连通图的最小生成树。在此例中，最小生成树的权值之和为39。 | 无 | 无 | A, D, F, B, E, C, G |
3.简单证明prim算法
反证法：如果prim生成的不是最小生成树
1).设prim生成的树为G0
2).如果存在Gmin使得cost(Gmin)<cost(G0) 则在Gmin中存在<u,v>不属于G0
3).将<u,v>增加G0中可得一个环。且<u,v>不是该环的最长边(这是由于<u,v>∈Gmin)
4).这与prim每次生成最短边矛盾
5).故如果不成立，命题得证.
4.算法代码实现(未检验)
#define MAX 100000 #define VNUM 10+1 //这里没有ID为0的点,so id号范围1~10 int edge[VNUM][VNUM]={/*输入的邻接矩阵*/}; int lowcost[VNUM]={0}; //记录Vnew中每一个点到V中邻接点的最短边 int addvnew[VNUM]; //标记某点是否增加Vnew int adjecent[VNUM]={0}; //记录V中与Vnew最邻近的点 void prim(int start) { int sumweight=0; int i,j,k=0; for(i=1;i<VNUM;i++) //顶点是从1開始 { lowcost[i]=edge[start][i]; addvnew[i]=-1; //将全部点至于Vnew之外,V之内，这里仅仅要对应的为-1，就表示在Vnew之外 } addvnew[start]=0; //将起始点start增加Vnew adjecent[start]=start; for(i=1;i<VNUM-1;i++) { int min=MAX; int v=-1; for(j=1;j<VNUM;j++) { if(addvnew[j]!=-1&&lowcost[j]<min) //在Vnew之外寻找最短路径 { min=lowcost[j]; v=j; } } if(v!=-1) { printf("%d %d %d\n",adjecent[v],v,lowcost[v]); addvnew[v]=0; //将v加Vnew中 sumweight+=lowcost[v]; //计算路径长度之和 for(j=1;j<VNUM;j++) { if(addvnew[j]==-1&&edge[v][j]<lowcost[j]) { lowcost[j]=edge[v][j]; //此时v点增加Vnew 须要更新lowcost adjecent[j]=v; } } } } printf("the minmum weight is %d",sumweight); }
5.时间复杂度
这里记顶点数v，边数e
邻接矩阵:O(v2) 邻接表:O(elog2v)
Kruskal算法
1.概览
Kruskal算法是一种用来寻找最小生成树的算法，由Joseph Kruskal在1956年发表。用来解决同样问题的还有Prim算法和Boruvka算法等。三种算法都是贪婪算法的应用。和Boruvka算法不同的地方是，Kruskal算法在图中存在同样权值的边时也有效。
2.算法简单描写叙述
1).记Graph中有v个顶点。e个边
2).新建图Graphnew，Graphnew中拥有原图中同样的e个顶点，但没有边
3).将原图Graph中全部e个边按权值从小到大排序
4).循环：从权值最小的边開始遍历每条边 直至图Graph中全部的节点都在同一个连通分量中
if 这条边连接的两个节点于图Graphnew中不在同一个连通分量中
增加这条边到图Graphnew中
图例描写叙述：
首先第一步。我们有一张图Graph，有若干点和边
将全部的边的长度排序，用排序的结果作为我们选择边的根据。
这里再次体现了贪心算法的思想。资源排序，对局部最优的资源进行选择，排序完毕后。我们领先选择了边AD。这样我们的图就变成了右图
在剩下的变中寻找。我们找到了CE。
这里边的权重也是5
依次类推我们找到了6,7,7，即DF。AB，BE。
以下继续选择， BC或者EF虽然如今长度为8的边是最小的未选择的边。可是如今他们已经连通了（对于BC能够通过CE,EB来连接，相似的EF能够通过EB,BA,AD,DF来接连）。所以不须要选择他们。
相似的BD也已经连通了（这里上图的连通线用红色表示了）。
最后成功的图就是右：
3.简单证明Kruskal算法
对图的顶点数n做归纳，证明Kruskal算法对随意n阶图适用。
归纳基础：
n=1。显然能够找到最小生成树。
归纳过程：
如果Kruskal算法对n≤k阶图适用，那么，在k+1阶图G中。我们把最短边的两个端点a和b做一个合并操作，即把u与v合为一个点v'。把原来接在u和v的边都接到v'上去。这样就能够得到一个k阶图G'(u,v的合并是k+1少一条边)，G'最小生成树T'能够用Kruskal算法得到。
我们证明T'+{<u,v>}是G的最小生成树。
用反证法，如果T'+{<u,v>}不是最小生成树，最小生成树是T。即W(T)<W(T'+{<u,v>})。
显然T应该包括<u,v>，否则，能够用<u,v>增加到T中，形成一个环，删除环上原有的随意一条边，形成一棵更小权值的生成树。而T-{<u,v>}。是G'的生成树。所以W(T-{<u,v>})<=W(T')。也就是W(T)<=W(T')+W(<u,v>)=W(T'+{<u,v>})，产生了矛盾。于是如果不成立。T'+{<u,v>}是G的最小生成树。Kruskal算法对k+1阶图也适用。
由数学归纳法，Kruskal算法得证。
4.代码算法实现
typedef struct { char vertex[VertexNum]; //顶点表 int edges[VertexNum][VertexNum]; //邻接矩阵,可看做边表 int n,e; //图中当前的顶点数和边数 }MGraph; typedef struct node { int u; //边的起始顶点 int v; //边的终止顶点 int w; //边的权值 }Edge; void kruskal(MGraph G) { int i,j,u1,v1,sn1,sn2,k; int vset[VertexNum]; //辅助数组。判定两个顶点是否连通 int E[EdgeNum]; //存放全部的边 k=0; //E数组的下标从0開始 for (i=0;i<G.n;i++) { for (j=0;j<G.n;j++) { if (G.edges[i][j]!=0 && G.edges[i][j]!=INF) { E[k].u=i; E[k].v=j; E[k].w=G.edges[i][j]; k++; } } } heapsort(E,k,sizeof(E[0])); //堆排序，按权值从小到大排列 for (i=0;i<G.n;i++) //初始化辅助数组 { vset[i]=i; } k=1; //生成的边数，最后要刚好为总边数 j=0; //E中的下标 while (k<G.n) { sn1=vset[E[j].u]; sn2=vset[E[j].v]; //得到两顶点属于的集合编号 if (sn1!=sn2) //不在同一集合编号内的话，把边增加最小生成树 { printf("%d ---> %d, %d",E[j].u,E[j].v,E[j].w); k++; for (i=0;i<G.n;i++) { if (vset[i]==sn2) { vset[i]=sn1; } } } j++; } }
时间复杂度：elog2e e为图中的边数
