高速线性筛法求素数
说到求素数。事实上在刚開始学C++的时候就已经见过诸如此类的问题，只是如今最常见的还是筛法求素数
谈及筛法求素数，其大致思路可分为例如以下五步：
(1).把2到n的自然数放入a[2]到a[n]中(所放入的数与下标号同样) ;
(2).在数组元素中下面标为序，按顺序找到未曾找过的最小素数minp和它的位置p(即下标号);
(3).从p+1開始，把凡是能被minp整除的各元素值从a数组中划去(筛掉)，也就是把该元素标记为0;
(4).让p=p+1，反复运行第(2) (3)步骤，知道，minp>floor(sqrt(n))为止;
(5).打印输出a数组中留下来的数，未被筛掉的各元素值;
这样的求素数的算法非常easy被理解，其时间复杂度介于O(n)~O(n*logn)是一种比較流行的方法。
可是相同的。这样的算法也存在先天性的缺陷。我们简单分析：
对于一个数30。可分解为30=2*15=3*10=5*6，显然，当循环,2,3,5,6,10,15时都会筛除一次30这个数。而
当n非常大时。就会出现很多的冗余操作，这个算法能够进一步进行优化来使算法的效率提高，因此，一种名为
高速线性筛法的算法应运而生。这样的算法的智慧之处在于——对于2~n的每个数，它仅仅筛去到眼下为止它能
筛到而之后的其它数筛不到的几个合数。而把它能筛到。另有别的数也能筛到的数留个接下来的数去筛，这
样的话就能使得素数的筛选不重不漏——说起来easy做起来难。这种算法应该怎样实现呢？
对于高速筛法求素数，其步骤也可分为例如以下几个阶段：
(1).开一个n+1大小的数组num[n]来存放每个元素的筛留情况(即对于num[n]的每个数与下标号同样，对于任
意num[n]有num[n]=0,num[n]=1两种情况，假设num[n]=0则是素数，反之num[n]=1时是合数);
(2).再开一个数组prime[n]来存放筛出的素数以便最后输出结果;
(3).对于一个数k,总是进行从n*prime[0]~n*prime[j](由小到大来乘)，直到if(n%prime[j]==0)成立时break掉
这是这个算法的精髓所在，所以弄清楚原因是十分必要的。！
！
对于一个数c=a*b(b为c的最小质因数），当通过该算法的循环循环至c*b时，易得此时c%b==0,假设此时继续循环至b后面的一个素数d，则有：c*d=a*b*d=(a*d)*b。由于d>b,所以a*d>c。当循环从c继续查找到a*d时我们发现当a*d再次与素数b想乘时，就又对c*d进行了一次操作，出现了冗余。所以在if(n%prime[j]==0)成立时要将该层循环break掉；
举个样例，对于一个数9。9*2=18将18标记为合数，循环继续；9*3=27将27标记为合数，此时发现9%3=0，循环退出。假设将循环继续下去会出现筛除9*5=45的情况，而45=15*3。在15时会被在筛去一次。故不可行
(4)完毕了算法中最重要的一步，最后仅仅要将存放筛出的prime[ ]数组中的素数就可以！
这样的算法的写法也十分简单，这里仅仅给出一种与普通筛法求素数比較程序。例如以下：
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<ctime>
#include<cmath>
#define inf 20000005
using namespace std;
int n;
bool a[inf+1];
long num[inf+1]={1,1},prime[inf+1]={0},number=0; //number 记录素数个数
void putongshaifa() //普通筛法求素数
{
clock_t begin,end;
begin=clock();
for(int i=0;i<=n;++i)
a[i]=true;
a[1]=false;
for(int i=2;i<sqrt(n);++i)
if(a[i])
for(int j=2;j<=n/i;++j)
a[i*j]=false;
end=clock();
/*for(int i=2,t=0;i<=n;++i)
if(a[i])
{
cout<<i<<" ";
++t;
if(t%10==0) cout<<endl;
}
cout<<endl;*/
printf("普通筛法-Time used:%d ms\n",end-begin);
return;
}
void kuaisushaifa() //高速筛法求素数
{
clock_t begin,end;
begin=clock();
for(int i=2;i<=n;++i)
{
if(!num[i])
prime[number++]=i;
for(int j=0;j<number && i*prime[j]<=n;j++)
{
num[i*prime[j]]=1; //把全部合数标记为 1
if(!(i%prime[j])) // *为保证不反复筛选*
break;
}
}
end=clock();
/*for(int i=0;i<number;i++)
{
if(i%10==0) printf("\n");
printf("%3d",prime[i]);
} */
printf("高速筛法-Time used:%d ms\n",end-begin);
return;
}
int main()
{
//freopen("prime.txt","w",stdout);
scanf("%d",&n);
int _test=10;
while(_test--)
{
putongshaifa();
kuaisushaifa();
cout<<endl;
}
return 0;
}
通过比較。两种算法的差异一目了然：
由上述数据不难看出。高速线性筛法的效率基本比普通筛法求素数的效率高一倍，说明这的确是一种比較可
靠的关于求素数优化的算法~！
