三门问题与贝叶斯公式

三门问题#

一个抽奖节目，舞台上有三扇门，其中一扇门的后面有汽车，其余两扇没有，选中有汽车的那扇门就可以赢得该汽车。首先参与者从三扇门中选择一扇，接着主持人会故意打开一扇没有车的门，并询问参与者是否要更改自己的选项。请问更改选项和不更改选项哪个的中奖概率更高？

这是一个很容易犯错的问题，许多人会忽略题目中隐藏的一个重要信息——主持人事先知道哪扇门后面有车、哪扇门后面没车。

定义 $A,B$ 两个事件：

• $A$：参与者选择的是有车的门。
• $B$：主持人打开的是没有车的门。（主持人事先知道门后面有无车，故意打开无车的门）

不更改选项的中奖概率为 $P(A|B)$，使用贝叶斯公式可知

$$P(A|B)=\frac{P(AB)}{P(B)}=\frac{P(A)P(B|A)}{P(B)}.$$

由于主持人事先知道门后面有无车，并且总是会故意选择一扇没有车的门打开，因此有

$$\begin{array}{rl}& P(B|A)=1,P(B|\bar{A})=1,\\ & P(AB)=P(A)P(B|A)=P(A)=\frac{1}{3},\\ & P(B)=P(A)P(B|A)+P(\bar{A})P(B|\bar{A})=1,\end{array}$$

不更改选项的中奖概率为 $P(A|B)=\frac{\frac{1}{3}}{1}=\frac{1}{3}$，更改选项的中奖概率为 $1-P(A|B)=\frac{2}{3}$，可见更改选项的中奖概率更高。

变种的三门问题#

接下来看一个变种的三门问题：如果主持人事先不知道门后的情况，是随机开门的，请问更改选项和不更改选项哪个的中奖概率更高？

这里我们将 $B$ 事件的定义修改为：主持人打开的是没有车的门。（主持人不知道门后的情况，随机开门）

此时有

$$\begin{array}{rl}& P(A)=\frac{1}{3},\\ & P(AB)=P(A)P(B|A)=\frac{1}{3}\cdot \frac{2}{2}=\frac{1}{3},\\ & P(B)=P(A)P(B|A)+P(\bar{A})P(B|\bar{A})=\frac{1}{3}+\frac{2}{3}\cdot \frac{1}{2}=\frac{2}{3},\end{array}$$

不更改选项的中奖概率为 $P(A|B)=\frac{P(AB)}{P(B)}=\frac{\frac{1}{3}}{\frac{2}{3}}=\frac{1}{2}$，更改选项的中奖概率为 $1-P(A|B)=\frac{1}{2}$，二者的中奖概率相同。