颠倒原理题解

颠倒原理 / reverse

时间限制：1000ms

空间限制：512MB

题目描述

$GreenDuck$想学习转置原理，但由于它太难了，因此他转而学习更为简单的和图的染色有密切联系的“颠倒原理”$(reverse principle)$。

颠倒原理中有个重要的操作叫做“颠倒操作”。对于一个无向连通图$G$，其节点要么是黑色要么是白色。“颠倒操作”每次会选择$G$的一条无向边$(u, v)$，将$u, v$这两个点的颜色颠倒。也就是说，如果$u$是白色的，那么将$u$变为黑色的；如果$u$是黑色的，那么将u变成白色的。对$v$也同样处理。如果能通过有限次操作使得这张图所有点都变为黑色，那么这张图便是“可颠倒”的。

现在$GreenDuck$有一个具有$n$个点，$m$条边的无向连通图，一开始所有点均为白色。他想知道
这个图是否是“可颠倒”的。请你告诉他是否是“可颠倒”的，如果是，那么输出一种方案。

输入格式

第一行两个正整数$n, m$，表示图的点数和边数。

接下来m行，每行两个正整数$x, y$，表示一条边的两个端点。

输出格式

如果图不是“可颠倒”的，输出一行一个字符串("$No$")(不要双引号)。

否则，先输出一行一个字符串("$Yes$")，再在第二行输出进行“颠倒操作”的边的个数$k$，最后$k$行，每行输出一条边的两个端点。

注意，请严格按照格式输出。同时，如果你输出的边不存在，或者出现不止一遍，那么该测试点将不予评分。一条边两个端点的顺序没有要求。边的输出顺序也没有要求。

样例1输入

4 3
1 2
2 3
2 4

样例1输出

Yes
3
2 1
2 4
2 3

样例1解释

操作$(2, 1)$会将点$1, 2$染成黑色，操作$(2, 4)$会将点$2$染成白色，将点$4$染成黑色，操作$(2, 3)$会将点$2, 3$染成黑色。

样例2输入

3 3
1 2
2 3
3 1

样例2输出

No

数据范围

对于所有测试点，不存在重边或自环

对于$100%$的数据，$n, m <= 300000$。

solution

30pts

我们可以发现每条边最多染色一次。

所以$O(2 ^ m)$枚举每一条边是否染色

50pts

当图是一条边或一条链时，结论比较显然，如果点的个数是单数时，输出$No$，否则输出$Yes$。

70pts

我们考虑$m == n - 1$这个特殊性质。

引理：n为奇数时一定不可能全变黑

证明

当我们进行颠倒操作时，可以分为以下几种情况：

1.两点均为白/黑 => 黑+2，白-2 or 白+2，黑+2。 奇偶不变

2.两点一白一黑 => 相当于两点交换颜色，奇偶不变

所以奇偶不变，也就不可能全变黑。

所以当图是树时，$n$是奇数时无解，考虑$n$是偶数时，用$w_i$记录$i$点的颜色，跑一遍$dfs$,在回溯时更新。

my code

考场上想出来的70分做法，其实已经很接近正解了。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N = 3e5 + 5;
int n, m;
bool flag, v[N];
vector <int> g[N];
int d[N], t[N], cnt1, cnt2, s, c[N], tot, w[N], idx;

struct node{
	int u, v;
}f[N], ans[N];

bool check(int sum)
{
	for(int i = 1;i <= n;i++) d[i] = 0;
	for(int i = 1;i <= sum;i++)
	{
		d[ans[i].u]++;
		d[ans[i].v]++;
	}
	for(int i = 1;i <= n;i++)
	{
		if(d[i] % 2 == 0) return 0;
	}
	return 1;
}

void dfs(int u, int f)
{
	v[u] = 1;
	c[++tot] = u;
	for(int i = 0;i < g[u].size();i++)
	{
		int j = g[u][i];
		if(v[j]) continue;
		dfs(j, u);
	}
}

void dg(int dep, int sum)
{
	if(dep > m)
	{
		if(flag == 0 && check(sum) == true) 
		{
			flag = 1;
			cout<<"Yes"<<"\n";
			cout<<sum<<"\n";
			for(int i = 1;i <= sum;i++)
			{
				cout<<ans[i].u<<" "<<ans[i].v<<"\n";
			}
		}
	}
	else
	{
		dg(dep + 1, sum);
		ans[sum + 1] = f[dep];
		dg(dep + 1, sum + 1);
	}
}

void dfs1(int u, int f)
{
	for(int i = 0;i < g[u].size();i++)
	{
		int j = g[u][i];
		if(j == f) continue;
		dfs1(j, u);
		if(w[j] == 0) 
		{
			w[j] ^= 1, w[u] ^= 1;
			ans[++idx] = {j, u};
		}
	}
}

int main()
{
	freopen("reverse.in", "r", stdin);
	freopen("reverse.out", "w", stdout);
	ios :: sync_with_stdio(0);
	cin.tie(0);
	cout.tie(0);
	cin >> n >> m;
	for(int i = 1;i <= m;i++)
	{
		int x, y;
		cin >> x >> y;
		f[i] = {x, y};
		t[x]++;
		t[y]++;
		g[x].push_back(y);
		g[y].push_back(x);
	}
	if(m <= 20)
	{
		dg(1, 0);
		if(flag == 0) cout<<"No"<<"\n";
		return 0;
	}
	for(int i = 1;i <= n;i++)
	{
		if(t[i] == 1) 
		{
			s = i;
			cnt1++;
		}
		if(t[i] == 2) cnt2++;
	}
	if(cnt1 + cnt2 == n && cnt1 == 2)
	{
		if(n % 2 == 0) 
		{
			dfs(s, -1);
			cout<<"Yes"<<"\n";
			cout<<n / 2<<"\n";
			for(int i = 1;i <= n;i+=2)
			{
				cout<<c[i]<<" "<<c[i + 1]<<"\n";
			}
		}
		else cout<<"No"<<"\n";
		return 0;
	}
	if(cnt2 == n)
	{
		if(n % 2 == 0)
		{
			dfs(1, -1);
			cout<<"Yes"<<"\n";
			cout<<n / 2<<"\n";
			for(int i = 1;i <= n;i+=2)
			{
				cout<<c[i]<<" "<<c[i + 1]<<"\n";
			}
		}
		else cout<<"No"<<"\n";
		return 0;
	}
	if(m == n - 1)
	{
		if(n % 2 == 0)
		{
			dfs1(1, -1);
			cout<<"Yes"<<"\n";
			cout<<idx<<"\n";
			for(int i = 1;i <= idx;i++)
			{
				cout<<ans[i].u<<" "<<ans[i].v<<"\n";
			}
		}
		else cout<<"No"<<"\n";
		return 0;
	}
	cout<<"No"<<"\n";
	return 0;
}

100pts

和树判定的方法一样，不过求一颗生成树即可。

std code

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 3e5 + 5;
int h[N], e[N << 1], ne[N << 1], idx;
int st[N], color[N];
void add(int a, int b)
{
    e[idx] = b, ne[idx] = h[a], h[a] = idx++;
}
int n, m;
vector <pair<int, int>> res;
void dfs(int u, int f)
{
    st[u] = 1;
    for(int i = h[u]; ~i;i = ne[i])
    {
        int j = e[i];
        if(st[j]) continue;
        dfs(j, u);
    }
    if(!color[u] && f != -1)
    {
        res.push_back({u, f});
        color[f] = !color[f];
    }
}

int main()
{
    memset(h, -1, sizeof h);
    scanf("%d%d", &n, &m);
    while(m--)
    {
        int a, b;
        scanf("%d%d", &a, &b);
        add(a, b);
        add(b, a);
    }
    if(n % 2)
    {
        puts("No");
        return 0;
    }
    dfs(1, -1);
    printf("Yes\n%d\n", res.size());
    for(int i = 0;i < res.size();i++) 
        printf("%d %d\n",res[i].first, res[i].second);
}