猿辅导初中数学竞赛基础班作业题解答-2：因式分解

 

本题为猿辅导2017年秋季初中数学竞赛基础班作业题，适合初一以上数学爱好者作答。

 

问题：

$\triangle{ABC}$ 三边边长 $a,\ b,\ c$ 满足$${1\over a} - {1\over b} + {1\over c} = {1\over a-b+c},$$ 判断 $\triangle{ABC}$ 的形状。

 

解答：

考虑对已知关系式做恒等变形：$$\frac{1}{a} - \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = \frac{1}{a - b + c}$$ $$\Rightarrow \frac{bc - ac + ab}{abc} = \frac{1}{a - b + c}$$ $$\Rightarrow (bc - ac + ab)(a - b + c) = abc$$ $$\Rightarrow -a^2c + a^2b - b^2c - ab^2 + bc^2 - ac^2 + 2abc = 0$$ $$\Rightarrow a^2(b-c) - bc(b-c) - a(b-c)^2 = 0$$ $$\Rightarrow (b-c)\left(a^2 - bc - ab + ac\right) = 0$$ $$\Rightarrow (b-c)(a+c)(a - b) = 0.$$ 由此可得 $b = c$ 或 $a = b$. 

因此， $\triangle{ABC}$ 是以 $a$ 为底边的等腰三角形或以 $c$ 为底边的等腰三角形。

 

 

作者简介：

赵胤，海归双硕士（数学建模 & 数学教育），中国数学奥林匹克一级教练员，曾执教于首师大附属实验学校及北京四中，目前担任猿辅导数学竞赛教学产品中心副总监。在10余年的教学生涯中，培养了300余名国内外数学竞赛获奖选手，包括华杯赛、小奥赛、全国初高中数学联赛一等奖，全美数学竞赛（AMC）、美国数学邀请赛（AIME）满分等。

 

作者微信：zhaoyin0506