初等数学问题解答-8：恒等变形（一）

 

本题适合初一以上数学爱好者解答

 

问题：

已知 $a$、$b$、$c$ 都是实数，若 $$\begin{cases}a + b + c = 5\\ a^2 + b^2 + c^2 = 15\\ a^3 + b^3 + c^3 = 47 \end{cases},$$ 求 $\left(a^2 + ab +b^2\right)\left(b^2 + bc + c^2\right)\left(c^2 + ca + a^2\right)$ 的值。

 

解法一：

考虑利用基本乘法公式求出所有对称式，进而恒等变形。

由已知可得 $$\begin{cases}ab + bc + ca = \dfrac{1}{2}\left[(a+b+c)^2 - (a^2 + b^2 + c^2)\right] = 5\\ abc = \dfrac{1}{3}\left[\left(a^3 + b^3 + c^3\right) - (a+b+c)\left(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca\right)\right] = -1 \end{cases}$$ $$\Rightarrow f(x) = x^3 - 5x^2 + 5x + 1 = 0$$ $$\Rightarrow a^3 - b^3 = 5\left(a^2 - b^2\right) + 5(a - b) = 5(a - b)(a + b - 1)$$ $$\Rightarrow \left(a^2 + ab +b^2\right)\left(b^2 + bc + c^2\right)\left(c^2 + ca + a^2\right)$$ $$= 125(a+b-1)(b+c-1)(c+a-1) = 125\cdot M.$$ 先来求 $M$ 的值：$$M = \left(2abc + a^2b + ab^2 + b^2c + bc^2 + c^2a + ca^2\right) - 3(ab + bc + ca) + 2(a+b+c) - \left(a^2 + b^2 + c^2\right) - 1$$ 再令 $N = 2abc + a^2b + ab^2 + b^2c + bc^2 + c^2a + ca^2$, $$N = (a + b)(b + c)(c + a) = (5 - a)(5 - b)(5 - c)$$ $$= 125 + 5(ab + bc + ca) - 25(a + b + c) - abc = 26.$$ $$\Rightarrow M = 26 - 15 + 10 - 15 - 1 = 5$$ $$\Rightarrow \left(a^2 + ab +b^2\right)\left(b^2 + bc + c^2\right)\left(c^2 + ca + a^2\right) = 125 \times 5 = 625.$$

 

解法二：

考虑分别对 $a^2 + ab + b^2$ 等三个轮换式做恒等变形：$$a^2 + ab + b^2 = \frac{1}{2}\left[a^2 + b^2 + (a + b)^2\right]$$ $$= \frac{1}{2}\left[15 - c^2 + (5 - c)^2\right] = 5\cdot(4 - c).$$ 因此 $$\left(a^2 + ab +b^2\right)\left(b^2 + bc + c^2\right)\left(c^2 + ca + a^2\right) = 125(4 - a)(4 - b)(4 - c)$$ $$= 125\left[64 - 16(a+b+c) + 4(ab + bc + ca) - abc\right]$$ $$= 125\cdot(64 - 80 + 20 + 1) = 625.$$

 

 

作者简介：

赵胤，海归双硕士（数学建模 & 数学教育），中国数学奥林匹克一级教练员，曾执教于首师大附属实验学校及北京四中，目前担任猿辅导数学竞赛教学产品中心副总监。在10余年的教学生涯中，培养了300余名国内外数学竞赛获奖选手，包括华杯赛、小奥赛、全国初高中数学联赛一等奖，全美数学竞赛（AMC）、美国数学邀请赛（AIME）满分等。

 

 

作者微信：zhaoyin0506