初等数学问题解答-7:分式不等式证明
本题适合初三以上数学爱好者解答。
问题:
设 $x, y, z, a, b, c, r > 0$. 证明: $${x + y + a + b \over x+ y + a + b + c + r} + {y + z + b + c \over y + z + a + b + c} > {x + z + a + c \over x + z + a + b + c + r}.$$
证明:
考虑对左式通分并逐步缩小。$${x + y + a + b \over x+ y + a + b + c + r} + {y + z + b + c \over y + z + a + b + c + r}$$ $$> {x + y + a + b \over x + y + z + a + b + c + r} + {y + z + b + c \over x + y + z + a + b + c + r}$$ $$= {x + 2y + z + a + 2b + c \over x + y + z + a + b + c + r}$$ $$> {x + y + z + a + c \over x + y + z + a + b + c + r}$$ $$ > {x + z + a + c \over x + z + a + b + c + r}.$$ 最后一个不等式成立的依据是, 对于函数 $$f(x) = {x \over x+t} = 1 - {t \over x+t},\ (t>0)$$在 $(-t, +\infty)$ 上单调递增.
作者简介:
赵胤,海归双硕士(数学建模 & 数学教育),中国数学奥林匹克一级教练员,曾执教于首师大附属实验学校及北京四中,目前担任猿辅导数学竞赛教学产品中心副总监。在10余年的教学生涯中,培养了300余名国内外数学竞赛获奖选手,包括华杯赛、小奥赛、全国初高中数学联赛一等奖,全美数学竞赛(AMC)、美国数学邀请赛(AIME)满分等。
作者微信:zhaoyin0506
作者:赵胤
出处:http://www.cnblogs.com/zhaoyin/
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