初等数学问题解答-3：数的整除性

 

本题适合小学六年级以上数学爱好者解答。

 

问题：

证明：$3^{105} + 4^{105}$ 可以分别被 $13$、$49$、$181$、$379$ 整除，但不可以被 $5$ 或 $11$ 整除。

 

解答：

可以考虑以下基本公式：$$a^{n} + b^{n} = (a + b)\left(a^{n-1} - a^{n-2}b + a^{n-3}b^2 - \cdots - ab^{n-2} + b^{n-1}\right)$$ 其中 $n$ 是奇数。

换句话说，当 $n$ 是奇数时，$(a + b)\ |\ \left(a^n + b^n\right)$. $$\because 3^{105} + 4^{105} = \left(3^3\right)^{35} + \left(4^3\right)^{35} = 27^{35} + 64^{35},$$ $$\therefore (27 + 64)\ |\ \left(3^{105} + 4^{105}\right).$$ 而 $91 = 7\times13$，即 $3^{105} + 4^{105}$ 可以被 $13$ 整除。

同理可得：$$3^{105} + 4^{105} = \left(3^5\right)^{21} + \left(4^5\right)^{21} \Rightarrow \left(3^5 + 4^5\right)\ |\ \left(3^{105} + 4^{105}\right).$$ $3^5 + 4^5 = 7\times181$，因此，$3^{105} + 4^{105}$ 可以被 $181$ 整除。$$3^{105} + 4^{105} = \left(3^7\right)^{15} + \left(4^7\right)^{15} \Rightarrow \left(3^7 + 4^7\right)\ |\ \left(3^{105} + 4^{105}\right).$$ $3^7 + 4^7 = 49\times379$，因此，$3^{105} + 4^{105}$ 可以分别被 $49$ 和 $379$ 整除。

另一方面，由 Fermat 小定理，$$3^4 \equiv 1 \pmod{5} \Rightarrow 3^{105} \equiv \left(3^4\right)^{26} \times 3 \equiv 3 \pmod{5},$$ $$4^4 \equiv 1 \pmod{5} \Rightarrow 4^{105} \equiv \left(4^4\right)^{26} \times 4 \equiv 4 \pmod{5},$$ 因此 $3^{105} + 4^{105} \equiv 3 + 4 \equiv 2 \pmod{5}$，即 $3^{105} + 4^{105}$ 不可以被 $5$ 整除。

类似的，$$3^{10} \equiv 1 \pmod{11} \Rightarrow 3^{105} \equiv 3^5 \equiv 1 \pmod{11},$$ $$4^{10} \equiv 1 \pmod{11} \Rightarrow 4^{105} \equiv 4^5 \equiv 1 \pmod{11},$$ 因此 $3^{105} + 4^{105} \equiv 1 + 1 \equiv 2 \pmod{11}$，即 $3^{105} + 4^{105}$ 不可以被 $11$ 整除。

Q$\cdot$E$\cdot$D

 

 

作者简介：

赵胤，海归双硕士（数学建模 & 数学教育），中国数学奥林匹克一级教练员，曾执教于首师大附属实验学校及北京四中，目前担任猿辅导数学竞赛教学产品中心副总监。在10余年的教学生涯中，培养了300余名国内外数学竞赛获奖选手，包括华杯赛、小奥赛、全国初高中数学联赛一等奖，全美数学竞赛（AMC）、美国数学邀请赛（AIME）满分等。

 

 

联系作者：zhaoyin.math@foxmail.com