10%的高考数学题小学生全做对了，你呢？

 

有人说，为什么每年高考大家都热衷于讨论作文呢，还不是因为除了作文，别的内容，大家都不会了。尤其是数学、物理、化学等理科科目，大概是连题目都读不懂了。

但是真的是这样吗？

昨天下午，2017年全国高考数学考试结束之后没多久，几个小学生告诉我，他们发现有几道高考数学题目自己也能解决。这几个小同学中最小的只有四年级，最大的也不过马上小学毕业。其实，这并不是什么稀奇的事情。毕竟，有不少高考数学题对小学奥数生来说都是 so easy！

据不完全统计，绝大部分高考试卷中都有至少 $10$ 分的内容可以用小学奥数的知识解决。2017年全国高考理科数学全国II卷(满分 $150$ 分)中，有至少不低于 $15$ 分的题目来源于小学奥数，占分比高达 $10\%$！

这就不难理解为什么学过小学奥数的孩子在初高中数学学习中能够保持领先, 人家刚四年级就已经在高考数学考试中预定了 $15$ 分啊！

 

下面我们就一起来看看今年高考数学卷中出现的小学生就能做的题目：

 

1、2017年理科数学全国I卷第2题(原题为选择题, 5分)：

如图，正方形 $ABCD$ 内的图形来自中国古代的太极图. 正方形内切圆中的黑色部分和白色部分位于正方形的中心成中心对称, 在正方形内随机取一点, 则此点取自黑色部分的概率是多少?

分析与解答:

基本思路是求出黑色部分面积和正方形面积之比.

问题在于题目并没有给出具体数值, 那怎么求面积呢? 这对于小学同学来说根本不是个事儿！

假设正方形边长是 $2$, 那么正方形面积是 $2 \times 2 = 4$. 而黑色部分面积是正方形内大圆（即内切圆）面积的一半, 即 $$\frac{1}{2}\times\pi\times1^2 = \frac{1}{2}\pi.$$ 因此题目所求之概率为 $$P = \frac{\frac{\pi}{2}}{4} = \frac{\pi}{8}.$$

小奥知识点: 正方形面积、圆的面积、概率基本概念

适合年级: 小学五、六年级

 

2、2017年理科数学全国I卷第4题(原题为选择题, 5分)：

记 $S_n$ 为等差数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和, 若 $a_4 + a_5 = 24$, $S_6 = 48$, 则 $\{a_n\}$ 的公差是多少?

分析与解答:

这是一道等差数列的问题, 对于小学四年级学生来说, 等差数列求通项、求和都是非常简单的问题. 当然, 这道题目还需要用到一点方程的知识, 因此更适合五、六年级同学来解答.

设首项是 $x$, 公差是 $d$, 由题意有 $$\begin{cases}(x+3d) + (x + 4d) = 24\\ (x+x+5d)\cdot 6 \cdot \dfrac{1}{2} = 48  \end{cases} \Rightarrow \begin{cases}2x + 7d = 24\\ 2x + 5d = 16 \end{cases} \Rightarrow d = 4.$$ 因此所求之公差为 $4$.

小奥知识点: 等差数列通项、等差数列求和、解方程组

适合年级: 小学五、六年级

 

3、2017年理科数学全国II卷第3题(原题为选择题, 5分)：

我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题: “远望巍巍塔七层, 红光点点倍加增, 共灯三百八十一, 请问尖头几盏灯?” 意思是: 一座 $7$ 层塔共挂了 $381$ 盏灯, 且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的 $2$ 倍, 则塔的顶层共有多少盏灯?

分析与解答:

数列, 又是数列!

这是一道等比数列的题目, 对于具备小学四年级以上奥数水平的学生来说, 非常简单.

题目给出的信息是: 一个等比数列, 公比是 $2$, 前 $7$ 项和为 $381$, 求首项 $x$.

运用等比数列求和公式(或错位相减法)可得: $$\frac{x\cdot\left(1 - 2^7\right)}{1 - 2} = 381 \Rightarrow x = 3.$$

即塔的顶层共有 $3$ 盏灯.

小奥知识点: 等比数列求和

适合年级: 小学四、五、六年级

 

 

4、2017年理科数学全国II卷第6题(原题为选择题, 5分)：

安排 $3$ 名志愿者完成 $4$ 项工作, 每人至少完成 $1$ 项, 每项工作由 $1$ 人完成, 则不同的安排方式共有多少种?

分析与解答:

如果这道题目出现在某次小学奥数比赛中, 那么一定会被认为是一道“水题”. 原因很简单, 这个类型的题目早已成为了小学奥数基础训练题.

下面我们来一起解答一下本题.

这三个志愿者完成工作只能是 $(1, 1, 2)$ 这种情形, 即有两个人各完成一项工作, 余下一人完成两项工作. 先选出那两项工作, 再对三人进行全排列即可: $$\text{C}_{4}^{2}\cdot\text{A}_{3}^{3} = 6 \cdot 6 = 36.$$ 因此不同的排列方式共有 $36$ 种.

小奥知识点: 排列组合

适合年级: 小学四、五、六年级

 

 

5、2017年理科数学全国II卷第7题(5分)：

甲、乙、丙、丁四位同学一起去问老师询问成语竞赛的成绩. 老师说: 你们四人中有 $2$ 位优秀, $2$ 位良好, 我现在给甲看乙、丙的成绩, 给乙看丙的成绩, 给丁看甲的成绩. 看后甲对大家说: 我还是不知道我的成绩. 根据以上信息, 则 $\_\_\_\_\_\_\_\_$.

A. 乙可以知道四人的成绩

B. 丁可以知道四人的成绩

C. 乙、丁可以知道对方的成绩

D. 乙、丁可以知道自己的成绩

分析与解答:

这是一道典型的逻辑推理问题(高考考点为“逻辑规律”), 难度不大, 比较适合具备小学四年级以上奥数水平的同学来解答.

由题意, 四人中有 $2$ 位优秀, $2$ 位良好, 我们从甲开始推理:

若乙、丙二人成绩相同, 则甲必能判断出自己的成绩(比如: 乙、丙均为优秀则甲为良好). 因而乙、丙二人一个为优秀, 另一个为良好.

乙同样清楚甲的判断, 而且TA看到了丙的成绩, 因此可以判断出自己的成绩.

丁同样清楚甲的判断(即自己和甲一个优秀、一个良好), 而且TA看到了甲的成绩, 因此可以判断出自己的成绩.

所以, 本题正确答案为D.

小奥知识点: 逻辑推理

适合年级: 小学四、五、六年级

 

 

以上五道题目都是刚刚出炉的2017年高考数学题，大家不妨和孩子一起做一做，看看能否成功挑战高考题。

其实无论什么学科的学习, 都会进行由低到高至少三个层面的训练，即知识、方法和思维。我们仅仅只是从知识层面对今年理科高考全国卷 I、II 进行了分析，如果从方法和思维层面进行分析，那么小学奥数所蕴含的能量就不止 $10\%$ 了，而是可以达到 $80\%$ 甚至更多。

见微以知著，见端以知末。现在就能探索高考数学题目并且做对，说明这些小学生对数学学科和数学学习有着浓厚的兴趣，也能预测到将来这些小学生们能够在数学学科上取得更大的成就。

虽然现在能够轻松解决这些高考题的小学生，并不意味着就一定能在若干年后获得高考满分。但是, 好的开始已经是成功的一半, 对么？

Better late than never，but better never later.

 

 

作者简介：

赵胤，海归双硕士（数学建模 & 数学教育），中国数学奥林匹克一级教练员，曾执教于首师大附属实验学校及北京四中，目前担任猿辅导数学竞赛教学产品中心副总监。在10余年的教学生涯中，培养了300余名国内外数学竞赛获奖选手，包括华杯赛、小奥赛、全国初高中数学联赛一等奖，全美数学竞赛（AMC）、美国数学邀请赛（AIME）满分等。

 

联系作者：zhaoyin0506（微信）