2017寒假猿辅导初等数论-7: "数论中的著名定理初步"作业题解答

 

1. $314^{162}$ 除以 $163$ 的余数是多少?

解答:

注意到 $163$ 是素数, 且 $(314, 163) = 1$, 因此由 FLT, $$314^{162} \equiv 1 \pmod{163}.$$

 

 

2. $314^{159}$ 除以 $7$ 的余数是多少?

解答:

由 FLT, $$314^{6} \equiv 1 \pmod{7} \Rightarrow 314^{159} \equiv 314^3 \equiv (-1)^3 \equiv 6 \pmod{7}.$$

 

 

3. 证明 Wilson 定理之逆定理: 若 $(n-1)! \equiv -1 \pmod{n}$, 则 $n$ 是素数.

解答:

令 $n = ab$, $a\ne n$. 由此可知 $$n\ \big{|}\ (n-1)! + 1 \Rightarrow a\ \big{|}\ (n-1)! + 1$$ 而 $a\ \big{|}\ (n-1)! \Rightarrow a\ \big{|}\ 1$.

因此 $a = 1$, 即 $n$ 是素数.

 

 

4. 证明: 若 $a$, $b$ 均不被素数 $n+1$ 整除, 则 $a^n - b^n$ 被 $n+1$ 整除.

解答:

由 FLT, $$a^n \equiv b^n \equiv 1 \pmod{n+1} \Rightarrow a^n - b^n \equiv 0 \pmod{n+1}.$$

 

 

5. $n$ 是什么数时, 有 $p\ \big{|}\ (1 + n + n^2 + \cdots + n^{p-2})$, 其中 $p$ 是素数.

解答:

易知 $n \not\equiv 0 \pmod{p}$, 即 $(n, p) = 1$, 由 FLT, $$n^{p-1} \equiv 1 \pmod{p} \Rightarrow n^{p-1} - 1 \equiv 0 \pmod{p}$$ $$\Rightarrow (n-1)\left(1 + n + n^2 + \cdots + n^{p-2}\right) \equiv 0 \pmod {p}.$$ 因此若 $n \not\equiv 0, 1 \pmod{p}$ 则 $p\ \big{|}\ \left(1 + n + n^2 + \cdots + n^{p-2}\right)$.

 

 

6. 设 $p$ 是奇素数, $n$ 是正整数且满足 $n = \dfrac{2^{2p} - 1}{3}$, 证明: $$2^{n-1} \equiv 1 \pmod{n}.$$ 解答: $$n = \dfrac{2^{2p} - 1}{3} \Rightarrow 3n = 2^{2p} - 1 \Rightarrow 3(n-1) = 4\left(2^{2(p-1)} - 1\right) = 4\left(2^{p-1} + 1\right)\left(2^{p-1} - 1\right).$$ 由 FLT, $$2^{p-1} \equiv 1 \pmod{p} \Rightarrow p\ \big{|}\ \left(2^{p-1} - 1\right) \Rightarrow p\ \big{|}\ (n-1).$$ 而 $n-1$ 是偶数, $p$ 是奇素数, 因此 $$2p\ \big{|}\ (n-1) \Rightarrow \left(2^{2p} - 1\right)\ \big{|}\ \left(2^{n-1} - 1\right).$$ 而 $n\ \big{|}\ \left(2^{2p} - 1\right)$, 因此 $$n\ \big{|}\ \left(2^{n-1} - 1\right) \Rightarrow 2^{n-1} \equiv 1 \pmod{n}.$$

 

 

7. 解同余方程组: $$\begin{cases}x \equiv 2 \pmod{11}\\ x \equiv 5 \pmod{7}\\ x \equiv 4 \pmod{5} \end{cases}$$ 解答:

由 CRT, $$\begin{cases}35b_1 \equiv 1 \pmod{11}\\ 55b_2 \equiv 1 \pmod{7}\\ 77b_3 \equiv 1 \pmod{5}\end{cases} \Rightarrow \begin{cases}b_1 = 6\\ b_2 = 6\\ b_3 = 3\end{cases}$$ $$\Rightarrow x = a_1b_1M_1 + a_2b_2M_2 + a_3b_3M_3 + cM$$ $$= 2\cdot6\cdot35 + 5\cdot6\cdot55 + 4\cdot3\cdot77 + 385c$$ $$= 2994 + 385c = 299 + 385l,\ l\in\mathbf{Z}.$$ 另解: $$x \equiv 2 \pmod{11} \Rightarrow x = 11a + 2 \Rightarrow 11a + 2 \equiv 5 \pmod{7} \Rightarrow a \equiv 6 \pmod{7}$$ $$\Rightarrow x = 11(7b+6) + 2 = 77b + 68$$ $$\Rightarrow 77b + 68 \equiv 4 \pmod{5} \Rightarrow b \equiv 3 \pmod{5}$$ $$\Rightarrow x = 77(5c + 3) + 68 = 385c + 299,\ c\in\mathbf{Z}.$$

 

 

8. 解同余方程组: $$\begin{cases}x \equiv 1 \pmod{7}\\ 3x \equiv 4 \pmod{5}\\ 8x \equiv 4 \pmod{9} \end{cases}$$ 解答: $$\begin{cases}x \equiv 1 \pmod{7}\\ 3x \equiv 4 \pmod{5}\\ 8x \equiv 4 \pmod{9} \end{cases} \Rightarrow \begin{cases}x \equiv 1 \pmod{7}\\ x \equiv 3 \pmod{5}\\ x \equiv 5 \pmod{9} \end{cases}.$$ 由上题两种解法均可求出 $x = 315l + 113,\ l\in\mathbf{Z}$.