2017寒假猿辅导初等数论-6: "同余(二)"作业题解答

 

1. 对任意的正整数 $n$, 证明: $$1897\ \big{|}\ (2903^n - 803^n - 464^n + 261^n).$$ 解答:

$1897 = 7 \times 271$, $(7, 271) = 1$. $$A \equiv 5^n - 5^n - 2^n + 2^n \equiv 0 \pmod{7};$$ $$A \equiv 193^n - 261^n - 193^n + 261^n \equiv 0 \pmod{271}.$$

 

 

2. 证明: $$7\ \big{|}\ (5555^{2222} + 2222^{5555}).$$ 解答:

由 FLT 易得 $$5555^{2222} \equiv 4^{2222} \equiv \left(4^6\right)^{370} \cdot 4^{2} \equiv 1\cdot2 \equiv 2 \pmod{7};$$ $$2222^{5555} \equiv 3^{5555} \equiv \left(3^6\right)^{925}\cdot3^5 \equiv 1\cdot5 \equiv 5 \pmod{7}.$$ $$\Rightarrow 5555^{2222} + 2222^{5555} \equiv 2 + 5 \equiv 0 \pmod{7}.$$

 

 

3. 求最大的正整数$n$, 使得$$2^n\ \big{|}\ 3^{1024} - 1.$$ 解答: $$3^{1024} - 1 = \left(3^{512} + 1\right)\left(3^{256} + 1\right)\cdots\left(3+1\right)(3-1)$$ 另一方面, $$3^{2^{k}} + 1 \equiv (-1)^{2^k} + 1 \equiv 2 \pmod{4},\ k\ge1.$$ 因此在 $3^{1024} - 1$ 分解式 $11$ 项中除 $(3+1)$ 外均为 $2$ 的倍数但不是 $4$ 的倍数, 即右式含有 $12$ 个素因子 $2$, 亦即 $n$ 的最大值为 $12$.

 

 

4. 求$2^{999}$之末两位数字.

解答: $$2^{10} + 1 \equiv 0 \pmod{25} \Rightarrow 2^{10} \equiv -1 \pmod{25}$$ $$\Rightarrow 2^{1000} \equiv 1 \pmod{25} \Rightarrow 2^{1000} - 1 \equiv 0 \pmod{25}.$$ 即 $2^{1000}$ 之末两位数字可能为 $01, 26, 51, 76$, 考虑到其被 $4$ 整除, 因此$2^{1000}$ 末两位数字只能为 $76$.

而 $2^{999} = 2^{1000} \div 2$, 结合其被 $4$ 整除, 故末两位数字只能为 $88$.

 

 

5. 求$7^{7^{7^{7\cdots}}}$的末两位数字, 这里共有$k$ ($k > 1$)个7.

解答:

考虑模 $100$ 余 $1$. $$7^2 \equiv 49 \pmod{100},\ 7^{3} \equiv 43 \pmod{100},\ 7^4 \equiv 1 \pmod{100}.$$ 另一方面 $$7^{7^{7^{7\cdots}}} \equiv 7^{2t+1} \equiv (-1)^{2t+1} \equiv 3 \pmod{4}.$$ $$\Rightarrow 7^{7^{7^{7\cdots}}} \equiv 7^{4m+3} \equiv 7^3 \equiv 43 \pmod{100}.$$ 因此末两位数字为 $43$.