2017寒假猿辅导初等数论-5: "同余(一)"作业题解答

 

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1. 若 $k\equiv1\pmod{4}$, 那么 $6k+5$ 模4余几?

解答: $$6k + 5 \equiv 2k + 1 \equiv 3 \pmod{4}.$$

 

 

2. 在 $3145\times92653 = 291a93685$ 中, 乘积的一位数字遗漏了, 不计算判断遗漏的数字是多少?

解答: $$291a93685 \equiv a + 7 \equiv 3145 \times 92653 \equiv 4 \times 7 \equiv 1 \pmod{9}$$ $$\Rightarrow a = 3.$$

 

 

3. 证明: 任何三角形数的末位数字不能是 $2, 4, 7, 9$. (形如 $\dfrac{n(n+1)}{2}$ 的数称为三角形数)

解答:

$n = 2k$ 时, $$\frac{n(n+1)}{2} = k \cdot (2k+1) \equiv 0, 1, 3, 5, 6, 8 \pmod{10},$$ $n = 2k+1$ 时, $$\frac{n(n+1)}{2} = (k+1)(2k+1) \equiv 0, 1, 3, 5, 6, 8 \pmod{10}.$$

 

 

4. 已知 $99\ \big{|}\ \overline{141x28y3}$, 求 $x$, $y$.

解答: $$\overline{141x28y3} \equiv x + y + 1 \equiv 0 \pmod{9} \Rightarrow x + y \equiv 8 \pmod{9}.$$ $$\overline{141x28y3} \equiv 3 + 8 + x + 4 - y - 2 - 1 - 1 \equiv x - y \equiv 0 \pmod{11}$$ 因此 $x = y = 4$.

 

 

5. 求一个整数 $n$, 使 $n\equiv1\pmod{2}$, $n\equiv0\pmod{3}$, $n\equiv0\pmod{5}$ 同时成立, 这样的整数有多少个?

解答: $$n = 30k + 15.$$ 这样的整数有无穷多个.