2017寒假猿辅导初等数论-4: "素数与惟一分解定理(二)"作业题解答

 

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1. 求 $2016$ 的约数个数及其约数和.

解答: $$2016 = 2^5 \times 3^2 \times 7$$ $$\Rightarrow \tau(2016) = (5+1)\cdot(2+1)\cdot(1+1) = 36,$$ $$\sigma(2016) = \frac{2^6 - 1}{2 - 1} \cdot \frac{3^3 - 1}{3 - 1}\cdot \frac{7^2 - 1}{7 - 1} = 6552.$$

 

 

2. 是否存在连续 $2017$ 个正整数都是合数? 请证明之.

解答: $$2018! + 2,\ 2018! + 3,\ \cdots,\ 2018! + 2018$$ 即为所求. 易证每个数均为合数.

 

 

3. $n$ 是不小于 $40$ 的偶数, 证明: $n$ 总可以表示成两个奇合数之和.

解答: 

可通过试验得出如下结论:

个位数字为 $0$ 时, $n = 15 + 5k$, $k \ge 5$ 且为奇数;

个位数字为 $2$ 时, $n = 27 + 5k$, $k\ge 3$ 且为奇数;

个位数字为 $4$ 时, $n = 9 + 5k$, $k \ge 7$ 且为奇数;

个位数字为 $6$ 时, $n = 21 + 5k$, $k\ge5$ 且为奇数;

个位数字为 $8$ 时, $n = 33 + 5k$, $k\ge3$且为奇数.

易证每组两个数均为合数.

 

 

4. 证明有无穷多个正整数 $n$, 使多项式 $n^2 + 3n + 7$ 是 $11$ 的倍数.

解答:

逆向考虑: 被 $11$ 整除时 $n(n+3)$ 模 $11$ 余 $4$, 因此令 $n = 11k+1$ ($k \ge 1$), 则 $$n^2 + 3n + 7 \equiv 1 + 3 + 7 \equiv 11 \equiv 0 \pmod{11}.$$ 且 $n^2 + 3n + 7 > 11$. 因此存在无穷多个正整数 $n$ 使得该多项式是合数.

 

 

5. 设$n\in\mathbf{N^*}$, 若2005可以写成$n$个正的奇合数之和, 则称$n$为\lq\lq 好数\rq\rq, 则这种好数共有多少个?

解答:

注意到最小的奇合数是 $9$ 以及 $2005$ 本身也是奇合数. 易知奇数个奇数的和为奇数, 因此 $n$ 是奇数. $$\left[\frac{2005}{9}\right] = 222 \Rightarrow n \le 221.$$ 而且有 $$2005 = 9\times 220 + 25.$$ 即 $n$ 之最大值为 $221$.

另一方面, $$(2k-1) \cdot 9 = (2k+1)\cdot9 - 9\times 2$$ 即可以不断合并 $9$ 的个数从而减少奇合数个数 (每次减少 $2$ 个).

因此 $n = 221, 219, \cdots, 3$, 最后加上 $2005$ 本身可以构成奇合数, 即 $n = 1, 3, \cdots, 221$ 总计 $111$ 个.