2017寒假猿辅导初等数论-3: "素数与惟一分解定理(一)"作业题解答

 

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1. 证明: 对任意给定的正整数 $n$, 存在无穷多个正整数 $a$, 使 $n^4 + a$ 是合数.

解答:

令 $a = 4m^4$, $m\in\mathbf{Z}$, $$n^4 + 4m^4 = (n^2 + 2m^2)^2 - 4m^2n^2$$ $$= (n^2 + 2m^2 + 2mn)(n^2 + 2m^2 - 2mn)$$ 易知, $m > 1$ 时 $n^2 + 2m^2 - 2mn = (n-m)^2 + m^2 > 1$, 即存在无穷多个正整数 $a$, 使得 $n^4 + a$ 是合数.

 

2. 证明: $n\in\mathbf{N^*}$, $n^2 + n + 1$ 不是完全平方数.

解答: $$n^2 < n^2 + n + 1 < (n+1)^2$$ 两个连续完全平方数之间没有完全平方数.

 

3. 证明: 四个连续正整数的乘积加 $1$ 一定是完全平方数.

解答: $$n(n+1)(n+2)(n+3) + 1 = (n^2 + 3n)(n^2 + 3n + 2) + 1$$ $$= (n^2 + 3n)^2 + 2(n^2 + 3n) + 1 = (n^2 + 3n + 1)^2$$

 

4. 设 $p$ 是合数 $n$ 的最小素因数, 证明: 若 $p > n^{\frac{1}{3}}$, 则 $\dfrac{n}{p}$ 是素数.

解答:

假设 $\dfrac{n}{p} = p_1 \cdot k$, 其中 $p_1$ 是素数且 $p <\le p_1 \le k$. $$\Rightarrow n = p\cdot p_1 \cdot k \ge p^3$$ $$\Rightarrow p \le \sqrt[3]{n}.$$ 与已知矛盾.

 

5. 求出满足等式 $x^y + 1 = z$ 的所有素数 $x$, $y$, $z$.

解答:

$x^y$ 与 $z$ 奇偶性不同, 因此 $x = 2$. $$\Rightarrow 2^y + 1 = z$$ 若 $y$ 是奇数, 则 $z$ 是合数, 因此 $y = 2$, $z = 5$.

 

6. 证明: $n > 2$ 时, $n$ 与 $n!$ 之间一定有一个素数.

解答:

易知 $(n!, n! - 1) = 1$. $1\sim n$ 中的素数均能整除 $n!$ 但均不能整除 $n! - 1$, 因此 $n! - 1$ 必含有异于 $1\sim n$ 中所有素数的素数 $p$, 且 $p > n$.

即 $n$ 与 $n!$ 之间一定有一个素数.