2017寒假猿辅导初等数论-1: "奇偶分析"作业题解答

 

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1. $100$ 个同学, 每天早上三个人值周. 证明: 不能排出这样一个值周表, 使得任何两人在一起值周的次数为 $1$.

解答:

选出学生$A$, 如果按题目要求之值周表可行, 则其余 $99 $ 人可以两两配对, 每组均与 $A$ 一起值周一次. 而 $99$ 是个奇数, 无法完成要求配对.

 

 

2. 证明: 当 $x$, $y$, $z$ 是奇数时, 不存在整数 $a$, $b$, $c$ 使下列等式同时成立: $$\begin{cases}abc - a = x,\\ abc - b = y,\\ abc - c = z. \end{cases}$$ 解答: $$\begin{cases}abc - a = x,\\ abc - b = y,\\ abc - c = z. \end{cases}\Rightarrow \begin{cases}a(bc - 1) = x,\\ b(ac - 1) = y,\\ c(ab - 1) = z. \end{cases}$$ 因此 $a$, $b$, $c$, $bc - 1$, $ac - 1$, $ab - 1$ 均为奇数, 这显然矛盾.

 

 

3. 证明: 若正整数 $n$ 可以写成两个整数的平方和, 则 $2n$ 也可以写成两个整数的平方和, 反之亦然.

解答:

若 $n = x^2 + y^2$ ($x, y\in\mathbf{Z}$), 则 $$2n = 2x^2 + 2y^2 = (x+y)^2 + (x - y)^2.$$ 反之, 若 $2n = a^2 + b^2$ ($a, b\in\mathbf{Z}$), 易知 $a$, $b$ 具有相同的奇偶性, 则 $$n = \frac{a^2 + b^2}{2} = \left(\frac{a + b}{2}\right)^2 + \left(\frac{a - b}{2}\right)^2.$$

 

 

4. 设$n$是正整数且不能被4整除, 证明: $$5\ \big{|}\ \left(1^n + 2^n + 3^n + 4^n\right).$$ 解答:

若 $n$ 为奇数, 则 $$1^n + 2^n + 3^n + 4^n = \left(1^n + 4^n\right) + \left(2^n + 3^n\right) = 5M,\ M\in\mathbf{N^*}.$$ 若 $n$ 为偶数, 不妨设 $n = 2m$ ($m$ 是奇数), 则 $$\left(1^n + 2^n + 3^n + 4^n\right) = 1^m + 4^m + 9^m + 16^m = 5N_1 + 25N_2,\ N_1,N_2\in\mathbf{N^*}.$$

 

 

5. 试找出所有不能表示为任何正整数的平方差的正整数.

解答:

设 $n = x^2 - y^2$, $x, y\in\mathbf{N^*}$.

易知 $n = (x + y)(x - y)$, 且 $x+y$, $x - y$ 有相同的奇偶性, 即 $n$ 可以写成 $4k$ 或 $4k\pm1$ 的形式.

若 $n = 4k$ ($k \in \mathbf{N^*}$), 令 $x = k + 1$, $y = k-1$ ($k > 1$), 则 $$(x+y)(x-y) = 4k.$$ 若 $n = 4k\pm1$ ($k \in \mathbf{N^*}$), 即 $n$ 是奇数, 令 $x = t+1$, $y = t$ ($t > 0$), 则 $$(x+y)(x - y) = 2t + 1.$$ 综上, 当且仅当 $n = 1$, $n = 4$, 及形如 $n = 4k+2$ 的正整数不能表示为两个正整数的平方差.