2016猿辅导初中数学竞赛训练营作业题解答-14

 

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1. 有两种书, 甲种每册 $1.9$ 元, 乙种每册 $2.8$ 元. 问 $50$ 元钱恰好可买甲, 乙两种书各几册?

解答:

设可买甲 $x$ 册, 乙 $y$ 册. $$1.9x + 2.8y = 50$$ $$\Rightarrow x = \frac{500 - 28y}{19} = 26 - y + \frac{6-9y}{19} \Rightarrow 19\ |\ (2-3y)$$ 令 $2-3y = 19k$ ($k\in \mathbf{Z}$), $$\Rightarrow y = \frac{-19k + 2}{3} = \frac{500-19x}{28} < \frac{500}{28} < 18 \Rightarrow 0 \le \frac{-19k+2}{3} < 18$$ 因此 $k = -2$, $-1$, $0$. 代入检验得 $x = 16$, $y = 7$.

 

 

2. 一批旅游者决定分乘若干辆大汽车, 要使每车有同样的人数, 每辆汽车至多乘 $32$ 人. 起先每车乘 $22$ 人, 可是发现这时有一个坐不上车; 若开走一辆空车, 那么所有旅游者刚好平均分乘余下的汽车. 试问有旅游者多少人? 原有多少辆大汽车?

解答:

设原有 $k$ 辆车, 开走一辆后平均每辆乘 $n$ 人. $$22k + 1 = n(k-1) \Rightarrow n = \frac{22k+1}{k-1} = 22 + \frac{23}{k-1} \Rightarrow (k - 1)\ |\ 23.$$ 因此 $k = 2$, $24$. 代入检验, $k = 24$, $n = 23$.

即旅游者 $529$ 人, 大汽车 $24$ 辆.

 

 

3. 甲, 乙, 丙三箱内共有小球 $384$ 个, 先由甲箱内取出若干放进乙, 丙两箱内, 所放之数分别为乙, 丙当时所有之数; 继而由乙箱取出若干放进甲, 丙箱内; 最后由丙箱取出若干放进甲, 乙两箱内, 放法都同前, 结果三箱内小球个数恰好相等. 问甲, 乙, 丙各箱内原有小球多少个?

解答:

倒推法即可.

甲 $208$, 乙 $112$, 丙 $64$.