2016猿辅导初中数学竞赛训练营作业题解答-12

 

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1. 一水池用甲管注水, 可以在3小时内使空池注满; 用乙管放水, 可以在2小时内使满池水放空; 用丙管放水, 可以在4小时内使满池水放空. 现在先在空池时开甲管1小时, 然后三管齐开, 问什么时候水池放空?

解答:

设再过 $x$ 小时水池放空. $${x + 1 \over 3} = {x\over2} + {x\over4} = 1 \Rightarrow x = 0.8.$$ 因此再过0.8小时水池放空.

 

 

2. 播种一块地, 甲, 乙合作20小时可以做完, 已知甲与乙速度之比是 $5:4$, 甲, 乙若单独做各需几小时?

解答:

设甲, 乙单独做分别需要 $x$, $\displaystyle{5\over4}x$ 小时. $${1\over x} + {1 \over {5\over4}x} = {1\over20}\Rightarrow x = 36.$$ 因此甲需要36小时, 乙需要45小时.

 

 

3. 有一水池底有泉水不断地涌出. 要将满池的水抽干, 用12台水泵需5小时, 用10台水泵需7小时. 问要在2小时抽干, 至少需几台水泵? (设每小时内各水泵抽水量相同, 涌出的水量也相同)

解答:

设水泵工作效率为 $x$, 水池中原有水为 $y$, 泉水涌出效率为 $z$, 2小时抽干水至少需要 $w$ 台水泵. $$\begin{cases}60x = y + 5z\\ 70x = y + 7z\\ 2wx \ge y + 2z\end{cases}$$ $$\Rightarrow \begin{cases}y = 35x\\ z = 5x\\ 2wx \ge y + 2z\end{cases} \Rightarrow 2wx \ge 45x \Rightarrow w \ge 22.5.$$ 因此至少需要23台水泵.

 

 

4. 甲, 乙, 丙三人一起加工一批零件, 加工个数有如下关系: 甲加工的个数的2倍与乙的个数的3倍的和恰好等于丙的个数的8倍; 乙的个数与丙的个数的差恰好等于甲的 $\displaystyle{1\over6}$, 求甲, 乙, 丙三人加工的零件个数的比.

解答:

设甲, 乙, 丙分别为 $x$, $y$, $z$. $$\begin{cases}2x + 3y = 8z\\ y - z = {1\over6}x \end{cases}$$ $$\Rightarrow \begin{cases}x = 2z\\ y = {4\over3}z \end{cases} \Rightarrow x:y:z = 2:{4\over3}:1 = 6:4:3.$$ 因此三人加工零件个数之比为 $6:4:3$.

 

 

5. 有一水库, 在单位时间内有一定量的水流入时, 同时也向外放水, 按现在的放水量, 水库中的水可使用40天, 因最近在水源的地方降雨, 流入水库的量增加 $20\%$, 如果放水量增加 $10\%$, 则仍可使用40天, 如果按原来的放水量放水, 可使用多少天?

解答:

设水库中原来水量为 $a$, 每日流入量为 $b$, 每日放出量为 $c$, 按原来放水量可使用 $x$ 天. $$\begin{cases}a + 40b = 40c\\ a + 40\cdot1.2b = 40\cdot1.1c\\ a + 1.2bx = cx\end{cases}$$ $$\Rightarrow \begin{cases}c = 2b\\ a = 40b\\ a + 1.2bx = cx\end{cases} \Rightarrow 40b + 1.2bx = 2bx \Rightarrow x = 50.$$ 即可使用50天.

 

 

6. $A, B$两地相距30 km, 甲, 乙两人同时骑自行车从 $A$ 地出发到 $B$ 地, 甲比乙每小时快2 km, 结果甲比乙早到半小时, 两人骑自行车每小时各行多少千米?

解答:

设乙的速度为 $x$, 甲的速度为 $x+2$. $${30\over x} = {30 \over x+2} + {1\over2} \Rightarrow x = 10.$$ 因此甲的速度为 $12$, 乙的速度为 $10$.