腾讯课堂目标2017初中数学联赛集训队作业题解答-7

 

课程链接：目标2017初中数学联赛集训队-1（赵胤授课）

 

 

1. 锐角三角形 $ABC$ 中, $AD\perp BC$ 于 $D$. 求证: $$AD^2 > BD \cdot DC.$$ 解答:

由结论考虑到射影定理, 因此可以构造直角三角形.

以 $BC$ 为直径作半圆交 $AD$ 于 $E$, 连结 $BE$, $CE$.

由 $\angle{BAC} < 90^\circ$, 可知 $E$ 必在 $AD$ 上. 因此有 $$BD\cdot CD = DE^2 < AD^2.$$

 

 

2. 证明: 引向三角形最大边上的角平分线的长不大于引向最小边上的高线的长.

已知: $\triangle{ABC}$ 中最大角 $\angle{BAC}$ 之角平分线为 $AD$, 最小边 $AC$ 上的高为 $BH$, 求证: $AD \le BH$.

解答:

三角形中最大边或最小边意味着该边所对角不小于或不大于 $60^\circ$, 结合角平分线定理可考虑通过比例证明.

作 $DE\parallel BH$ 交 $AC$ 于 $E$.

$$\angle{BAC} \ge 60^\circ \Rightarrow \angle{DAE} \ge 30^\circ$$ $$\Rightarrow DE = AD\cdot \sin\angle{DAE} \ge AD\cdot \sin30^\circ = {1\over2}AD\Rightarrow AD \le 2DE.$$ 另一方面, $$AB \ge AC \Rightarrow {BH \over DE} = {BC \over CD} = {CD + BD \over CD} = 1 + {BD\over CD} = 1+{AB\over AC} \ge 2.$$ 综上 $$BH \ge 2DE \ge AD.$$

 

 

3. 已知三角形 $ABC$ 中, $\angle{C} = 90^\circ$, $r$ 是内切圆半径, $h$ 为斜边 $AB$ 上的高线. 求证: $$0.4 < {r\over h} < 0.5.$$ 解答:

如图所示, 易知 $2r < h$. 另一方面, $$IC + r > h \Rightarrow \sqrt2 r + r > h \Rightarrow {r\over h} > {1\over\sqrt2 + 1} = \sqrt2 - 1 > 0.4.$$ 综上, $$0.4 < {r\over h} < 0.5.$$

 

 

4. 证明: 顶点在单位圆上的锐角三角形的三个角的余弦的和小于该三角形的周长之半.

已知: 锐角 $\triangle{ABC}$ 外接圆半径为 $1$, 求证: $$\cos A+ \cos B + \cos C < {1\over2}(a+b+c).$$ 解答:

外接圆半径为 $1$, 即直径为 $2$, 由此考虑构造 ${1\over2}$.

$$\cos\angle A = \cos \angle{BC_1C} = {BC_1 \over CC_1} = {BC_1 \over 2} < {AB \over 2} = {c\over2}.$$ 上述不等式成立是因为 $\angle{AC_1B} = 180^\circ - \angle{C} > 90^\circ$.

同理可证 $$\cos\angle{B} < {a\over2},\ \cos\angle{C} < {b\over2}.$$ 综上即有 $$\cos A+ \cos B + \cos C < {1\over2}(a+b+c).$$

 

 

5. 直角三角形 $ABC$ 中, $CD$ 为斜边 $AB$ 上的高线. 求证: $$AC + BC < AB + CD.$$ 解答:

本题可视作第6题之特殊情形.

 

 

 

6. $\triangle{ABC}$ 中, $a$, $b$ 边上的高分别为 $h_a$, $h_b$, 且 $a \ge b$. 求证: $$a + h_a \ge b + h_b.$$ 解答:

$$(a + h_a) - (b + h_b) = a-b + (h_a - h_b)$$ $$= (a-b) + (b\sin C - a\sin C)= (a - b)(1-\sin C) \ge 0$$ $$\Rightarrow a + h_a \ge b + h_b.$$ 当且仅当 $a = b$ 或 $\angle{C} = 90^\circ$ 时取等号.